多項式関数の原始関数
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}という形で表されるということです。
区間上に定義された多項式関数は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（多項式関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（多項式関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C\right) \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}+0 \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C\right) \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}+0 \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
例（多項式関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}+5x-9
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x\right) &=&\frac{3}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C \\
&=&x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C
\end{eqnarray*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C\right) \\
&=&3x^{2}+5x-9 \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x\right) &=&\frac{3}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C \\
&=&x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C
\end{eqnarray*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C\right) \\
&=&3x^{2}+5x-9 \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
例（単項式関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は単項式関数です。単項式関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{c}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in I\)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{c}{n+1}x^{n+1}+C\right) \\
&=&cx^{n} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は単項式関数です。単項式関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{c}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in I\)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{c}{n+1}x^{n+1}+C\right) \\
&=&cx^{n} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
例（定数関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =cx+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in I\)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( cx+C\right) \\
&=&c \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =cx+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in I\)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( cx+C\right) \\
&=&c \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
多項式関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である多項式関数について以下が成り立ちます。
命題（多項式関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（多項式関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（多項式関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}+5x-9
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（単項式関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は単項式関数です。単項式関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{c}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は単項式関数です。単項式関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{c}{n+1}x^{n+1}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（定数関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=cx+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=cx+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
多項式関数の定積分
多項式関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、多項式関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（多項式関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}\right] _{a}^{b} \\
&=&c_{0}\left( b-a\right) +\frac{c_{1}}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) +\frac{c_{2}}{3}\left( b^{3}-a^{3}\right) +\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}\left(
b^{n+1}-a^{n+1}\right)
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ c_{0}x+\frac{c_{1}}{2}x^{2}+\frac{c_{2}}{3}x^{3}+\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}x^{n+1}\right] _{a}^{b} \\
&=&c_{0}\left( b-a\right) +\frac{c_{1}}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) +\frac{c_{2}}{3}\left( b^{3}-a^{3}\right) +\cdots +\frac{c_{n}}{n+1}\left(
b^{n+1}-a^{n+1}\right)
\end{eqnarray*}となる。
例（多項式関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-6x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( x^{3}-6x\right) dx \\
&=&\left[ \frac{1}{4}x^{4}-3x^{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&\left( \frac{1}{4}b^{4}-3b^{2}\right) -\left( \frac{1}{4}a^{4}-3a^{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( x^{3}-6x\right) dx \\
&=&\left[ \frac{1}{4}x^{4}-3x^{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&\left( \frac{1}{4}b^{4}-3b^{2}\right) -\left( \frac{1}{4}a^{4}-3a^{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（多項式関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}+5x-9
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 3x^{2}+5x-9\right) dx
\\
&=&\left[ x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x\right] _{a}^{b} \\
&=&\left( b^{3}+\frac{5}{2}b^{2}-9b\right) -\left( a^{3}+\frac{5}{2}a^{2}-9a\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 3x^{2}+5x-9\right) dx
\\
&=&\left[ x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x\right] _{a}^{b} \\
&=&\left( b^{3}+\frac{5}{2}b^{2}-9b\right) -\left( a^{3}+\frac{5}{2}a^{2}-9a\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（単項式関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は単項式関数です。単項式関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}cx^{n}dx \\
&=&\left[ \frac{c}{n+1}x^{n+1}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{c}{n+1}\left( b^{n+1}-a^{n+1}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は単項式関数です。単項式関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}cx^{n}dx \\
&=&\left[ \frac{c}{n+1}x^{n+1}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{c}{n+1}\left( b^{n+1}-a^{n+1}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（定数関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}cdx \\
&=&\left[ cx\right] _{a}^{b} \\
&=&c\left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は特別な多項式関数であるため、先の命題より、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}cdx \\
&=&\left[ cx\right] _{a}^{b} \\
&=&c\left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（多項式関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x^{2}+x+2 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は\(\left[ -1,1\right] \)上でリーマン積分可能でしょうか。積分区間を\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,1\right] \)に分割します。まずは\(\left[ -1,0\right] \)上での積分については、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}1dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ x\right] _{-1}^{0}\quad \because \text{定数関数の定積分} \\
&=&0-\left( -1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(\left[ 0,1\right] \)上での積分について考えます。\(f\)の定義域を\(\left[ 0,1\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、多項式関数\begin{equation*}
x^{2}+x+2:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ 0,1\right]\)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}\left( x^{2}+x+2\right) dx \\
&=&\left[ \frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x^{2}+2x\right] _{0}^{1}\quad \because
\text{定数関数の定積分} \\
&=&\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2\right) -\left( 0+0+0\right) \\
&=&\frac{17}{6}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)はもとの区間\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{定積分の加法性} \\
&=&1+\frac{17}{6}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{23}{6}
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x^{2}+x+2 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は\(\left[ -1,1\right] \)上でリーマン積分可能でしょうか。積分区間を\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,1\right] \)に分割します。まずは\(\left[ -1,0\right] \)上での積分については、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}1dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ x\right] _{-1}^{0}\quad \because \text{定数関数の定積分} \\
&=&0-\left( -1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(\left[ 0,1\right] \)上での積分について考えます。\(f\)の定義域を\(\left[ 0,1\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、多項式関数\begin{equation*}
x^{2}+x+2:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ 0,1\right]\)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}\left( x^{2}+x+2\right) dx \\
&=&\left[ \frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x^{2}+2x\right] _{0}^{1}\quad \because
\text{定数関数の定積分} \\
&=&\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2\right) -\left( 0+0+0\right) \\
&=&\frac{17}{6}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)はもとの区間\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{定積分の加法性} \\
&=&1+\frac{17}{6}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{23}{6}
\end{eqnarray*}となります。
多項式関数関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
関数\(f\)の導関数\(\frac{df}{dx}\)が多項式関数であるものとします。多項式関数は連続であるためリーマン積分可能であり、したがって純変化定理を利用できます。つまり、瞬間変化率\(\frac{df}{dx}\)が多項式関数であるような状況においては、もとの関数\(f\)の変化量\(f\left(b\right) -f\left( a\right) \)は、多項式関数の定積分と一致するということです。
例（多項式関数と純変化量定理）
数直線上を移動する点を観測し、経過時間（秒）と点の位置（数直線上の点の座標）の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\in \mathbb{R} _{+}\)秒後の時点における点の位置を表す座標が\(f\left( x\right) \)であるということです。以下の関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,4\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。導関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ 1,4\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの時点における瞬間速度を特定しますが、これはそれぞれの\(x\in \left[ 1,4\right] \)に対して、\begin{equation}\frac{df\left( x\right) }{dx}=x^{2}-x-6 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。これは多項式関数です。すると、純変化量定理より、\begin{eqnarray*}
f\left( 4\right) -f\left( 1\right) &=&\int_{1}^{4}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{1}^{4}\left( x^{2}-x-6\right) dx\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-6x\right] _{1}^{4}\quad \because
\text{多項式関数の定積分} \\
&=&\left( \frac{1}{3}\cdot 4^{3}-\frac{1}{2}\cdot 4^{2}-6\cdot 4\right)
-\left( \frac{1}{3}\cdot 1^{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^{2}-6\cdot 1\right) \\
&=&-\frac{9}{2}\quad \because \text{恒等関数の定積分}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、観測を始めてから\(1\)秒後から\(4\)秒後までの\(3\)秒間における点の位置の差、すなわち変位は\(-\frac{9}{2}\)であるということです。
\end{equation}を定めるものとします。これは多項式関数です。すると、純変化量定理より、\begin{eqnarray*}
f\left( 4\right) -f\left( 1\right) &=&\int_{1}^{4}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{1}^{4}\left( x^{2}-x-6\right) dx\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-6x\right] _{1}^{4}\quad \because
\text{多項式関数の定積分} \\
&=&\left( \frac{1}{3}\cdot 4^{3}-\frac{1}{2}\cdot 4^{2}-6\cdot 4\right)
-\left( \frac{1}{3}\cdot 1^{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^{2}-6\cdot 1\right) \\
&=&-\frac{9}{2}\quad \because \text{恒等関数の定積分}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、観測を始めてから\(1\)秒後から\(4\)秒後までの\(3\)秒間における点の位置の差、すなわち変位は\(-\frac{9}{2}\)であるということです。
演習問題
問題（多項式関数の定積分）
以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{2}\left( x^{4}-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x-1\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\int_{0}^{2}\left( x^{4}-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{2}{3}x-1\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（多項式関数の定積分）
以下の定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}\left( 1+2x\right) ^{2}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int_{1}^{2}\left( 1+2x\right) ^{2}dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（多項式関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}+2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは放物線ですが、この放物線と\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは放物線ですが、この放物線と\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
問題（多項式関数関数と純変化量定理）
プールから水を抜いたところ、すべての水がなくなるまで\(50\)分かかりました。水を抜き始めてから\(x\)分後の時点における瞬間的な流量は\(200-4x\)リットルでした。プールには何リットルの水が入っていたでしょうか。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】