多項式関数の連続性
多項式関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
命題（多項式関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
例（多項式関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（多項式関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
多項式関数の片側連続性
片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（多項式関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続である。
例（多項式関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x^{2} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi \)となりますが、これは多項式関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。また、\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x^{2}\)となりますが、これは多項式関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad
\because x>0 \\
&=&0^{2}\quad \because \text{多項式関数の片側極限} \\
&=&0 \\
&\not=&-\pi \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(0\)において右側連続ではありません。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi \right) \quad \because x<0 \\
&=&\sqrt{2}\cdot 0^{3}-\frac{0}{3}-\pi \quad \because \text{多項式関数の片側極限} \\
&=&-\pi \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(0\)において左側連続です。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
\begin{array}{cc}
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x^{2} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi \)となりますが、これは多項式関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。また、\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x^{2}\)となりますが、これは多項式関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad
\because x>0 \\
&=&0^{2}\quad \because \text{多項式関数の片側極限} \\
&=&0 \\
&\not=&-\pi \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(0\)において右側連続ではありません。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi \right) \quad \because x<0 \\
&=&\sqrt{2}\cdot 0^{3}-\frac{0}{3}-\pi \quad \because \text{多項式関数の片側極限} \\
&=&-\pi \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(0\)において左側連続です。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。
演習問題
問題（多項式関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+8x-2
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
問題（多項式関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{5}-2x^{4}-4x^{3}+x^{2}+5
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
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