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多項式関数の連続性

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多項式関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表すことができるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の値において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(多項式関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において連続である。
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例(多項式関数の連続性)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されており、したがって上の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様の議論が成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるということです。
例(多項式関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(多項式関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されており、したがって先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において同様の議論が成立するため、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上で連続です。

 

多項式関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(多項式関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において右側連続であり、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において左側連続である。
証明

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例(多項式関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{3}-1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の右側連続性より、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、\(f\)は点\(1\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の左側連続性、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。以上より、\(f\)は\(\left[0,1\right] \)上において連続であることが明らかになりました。

次回は有理関数の連続性について解説します。

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