正弦関数（sin関数）の定義と具体例

正弦関数

単位円上の点\(P\)を任意に選んだ上で、半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転する際にできる角の大きさを\(\theta \)で表記します（下図）。ただし、\(\theta \)の単位はラジアンであり、これは弧\(XP\)の長さと一致します。この場合、ラジアン\(\theta \)の正弦は、\begin{equation*}\sin \left( \theta \right) =\text{点}P\text{の}y\text{座標}
\end{equation*}と定義されます。

ラジアンは任意の実数を値としてとり得ますが、それぞれの値\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して正弦\(\sin \left( \theta \right) \)は1つの実数として定まります。そこで、ラジアンを変数\(x\in \mathbb{R} \)とみなせば、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを正弦関数（sine function）やサイン関数などと呼びます。

例（正弦関数）

下図のような直角三角形が与えられているものとします。

斜辺の長さを\(a>0\)で、対辺の長さを\(c>0\)で、斜辺と底辺がつくる角の大きさ（ラジアン）を\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)でそれぞれ表記する場合、正弦の定義より以下の関係\begin{equation*}\sin \left( x\right) =\frac{c}{a}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、斜辺の長さ\(a\)を固定した上で角の大きさ\(x\)を変化させた場合の対辺の長さ\(c\)を特定する関数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\cdot \sin \left( x\right)
\end{equation*}となります。これは正弦関数の定数倍として定義される関数です。また、対辺の長さ\(c\)を固定した上で角の大きさ\(x\)を変化させた場合の斜辺の長さ\(a\)を特定する関数は、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{c}{\sin \left( x\right) }
\end{equation*}となります。これは定数関数と正弦関数の商として定義される関数です。

例（正弦関数）

三角関数の定義より以下の図が得られます。

平面上の点\(\left( 0,0\right) \)を出発点として、角度\(x\)（ラジアン）の方向に\(1\)（メートル）だけ進むと（上図の矢印）、移動後の点の\(y\)座標は、\begin{equation*}\sin \left( x\right)
\end{equation*}となります。したがって、速さ\(a\)（秒速）と移動時間\(b\)（秒）を固定したとき、移動方向を表す角度が\(x\)である場合の移動後の点の\(y\)座標は、\begin{equation*}f\left( x\right) =ab\cdot \sin \left( x\right)
\end{equation*}となります。これは正弦関数の定数倍として定義される関数です。

正弦関数のグラフ（正弦曲線）

正弦関数\(\sin \left( x\right) \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \sin \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\sin \left( x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これを正弦曲線（sine curve）やサイン・カーブなどと呼びます。正弦曲線を図示すると以下のようになります。

上図から明らかであるように、正弦曲線は同一形状の繰り返しですが、これは正弦関数が周期関数であることを意味しています。実際、以下が成り立ちます。

先の命題は、正弦関数が周期\(2\pi \)の周期関数であることを意味します。では、正弦関数の値はどのようなパターンのもとで変動しているのでしょうか。ラジアン\(x\)を\(0\)から\(2\pi \)まで1周期分だけ動かした場合、正弦関数の値は以下のように変化します。

$$\begin{array}{cccccccccc}\hline
xラジアン & 0 & \cdots & \frac{\pi }{2} & \cdots & \pi & \cdots & \frac{3\pi }{2} & \cdots & 2\pi \\
\hline
x度 & 0^{\circ } & \cdots & 90^{\circ } & \cdots & 180^{\circ } & \cdots & 270^{\circ } & \cdots & 360^{\circ } \\
\hline
\sin \left( x\right) & 0 & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 \\ \hline
\end{array}$$

つまり、正弦関数\(\sin \left(x\right) \)の値は\(\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)の範囲内において\(0\)から\(1\)まで狭義単調増加し、\(\left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right] \)の範囲内において\(1\)から\(-1\)まで狭義単調減少し、\(\left[ \frac{3\pi }{2},2\pi \right] \)の範囲において\(-1\)から\(0\)へ狭義単調増加します。以上が1つの周期です。これを図示すると以下のようになります。

正弦関数の値域

正弦は\(-1\)以上\(1\)以下の値をとり得るため、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}-1\leq \sin \left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立ちますが、これは正弦関数が\(-1\)以上\(1\)以下の実数だけを値としてとることを意味します。加えて、後に導入する関数の連続性の概念を利用することにより、正弦関数が\(-1\)以上\(1\)以下の任意の実数を値として取り得ること、すなわち正弦関数の値域が\(\left[ -1,1\right] \)であることが導かれます。

正弦関数の規則性

ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(-x\)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表すとき、これらの点は\(x\)軸に対して対称な位置にあるため、以下の関係\begin{equation*}P\text{の}y\text{座標}=-\left( P^{\prime }\text{の}y\text{座標}\right)
\end{equation*}が成立します。したがって以下を得ます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、これを奇関数（odd function）と呼びます。先の命題は正弦関数が奇関数であることを主張しています。

ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(x+\pi \)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表す場合、これらの点は原点に対して対称な位置にあるため、以下の関係\begin{equation*}P\text{の}y\text{座標}=-\left( P^{\prime }\text{の}y\text{座標}\right)
\end{equation*}が成立します。したがって以下を得ます。

正弦関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、正弦関数\begin{equation*}
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域は\(\sin \left( x\right) \)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}\sin \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

正弦関数\begin{equation*}
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\sin \left( x\right) \)の値域\(\left[ -1,1\right] \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left[ -1,1\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \sin \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

級数を用いた正弦関数の定義

以下の議論では微分（テイラー展開）に関する知識を利用するため、必要な知識を学んだ後に読み返してください。

正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の点\(0\)における\(n\)次のテイラー多項式、すなわち\(n\)次のマクローリン多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot
x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}\cdot x^{2k+1}}{\left(
2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}であるとともに、マクローリンの定理より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}\sin \left( x\right) \approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなりますが、\(\sin \left( x\right) \)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、ゼロとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}\cdot x^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。ただし、\(x\)はラジアン表記の角度です。

演習問題