定数関数の極限
定数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}となります。
命題（定数関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
例（定数関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
定数関数の片側極限
片側極限に関しても同様の主張が成り立ちます。
命題（定数関数の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =c \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =c
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =c \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =c
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
例（定数関数の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because a>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の右側極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
-1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-1\quad \because \text{定数関数の左側極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しません。また、\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a-}\left(
-1\right) \quad \because a<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because a>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の右側極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
-1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-1\quad \because \text{定数関数の左側極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しません。また、\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a-}\left(
-1\right) \quad \because a<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
定数関数の無限大における極限
無限大における極限に関しても同様の主張が成り立ちます。
命題（定数関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =c \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =c
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =c \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =c
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
例（定数関数の無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
演習問題
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた定数関数の極限の証明）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では数列を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では数列を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（定数関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。極限が有限な実数として定まらない場合には、その理由を説明してください。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。極限が有限な実数として定まらない場合には、その理由を説明してください。
問題（離散的な定数関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left\{1,2,3,4,5\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in\left\{ 1,2,3,4,5\right\} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。極限が有限な実数として定まらない場合には、その理由を説明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in\left\{ 1,2,3,4,5\right\} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。極限が有限な実数として定まらない場合には、その理由を説明してください。
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