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定数関数の極限

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定数関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のとき有限な実数へ収束するか否かを検討できますが、\(f\)は常に同一の値\(c\)をとることを踏まえると、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに\(c\)へ収束しそうです。実際、これは正しい主張です。

命題(定数関数の極限)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。
例(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。しかも\(f\)は定数関数であるため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

定数関数の片側極限

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
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例(定数関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =7
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)であり、その点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、定数関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の左側の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)以下の任意の点において定義されていません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を考えることはできません。一方、\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、定数関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立ちます。同様に、定義域の右側の端点\(1\)についても、定数関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立ちます。

以下はもう少し複雑な場合です。

例(定数関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
2 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は定数関数ではありませんが、\(f\)の定義域を縮小して得られる関数\begin{eqnarray*}f &:&(-\infty ,3]\rightarrow \mathbb{R} \\
f &:&\left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも定数関数です。\(a<3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}1=1
\end{equation*}となり、\(a>3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}2=2
\end{equation*}となります。一方、点\(3\)においては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3+}2=2 \\
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}1=1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため、\(x\rightarrow 3\)のときに\(f\)は通常の意味において収束しません。

 

定数関数の無限大における極限

無限大における極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
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例(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{\pi }{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\frac{\pi }{2}
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(f\)は限りなく大きい任意の点や、限りなく小さい任意の点において定義されているため、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&-\frac{\pi }{2} \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&-\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

演習問題

問題(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つことを、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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問題(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\} \)において、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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次回は恒等関数が収束することを示します。

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