逆正弦関数（arcsin関数）の定義と具体例

逆正弦関数

正弦関数\begin{equation*}
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。正弦関数は周期\(2\pi \)の周期関数であり、その値域は有界閉区間\(\left[ -1,1\right] \)です。つまり、変数\(x\)が定義域\(\mathbb{R} \)上を動くにしたがい\(\sin \left( x\right) \)の値は\(-1\)以上\(1\)以下の範囲で増減を繰り返すため、\(\mathbb{R} \)上に定義された正弦関数は全単射ではなく、したがって、その逆関数は存在しません。ただ、正弦関数の定義域を適当な範囲に制限すれば全単射が得られます。具体的には以下の通りです。

正弦関数の定義域を有界閉区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \subset \mathbb{R} \)に制限して、\begin{equation*}\sin \left( x\right) :\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とした場合、この新たな定義域上において正弦関数は狭義単調増加関数になるとともに、値域は\(\left[ -1,1\right] \)となります。

定義域を有界閉区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に制限した正弦関数\begin{equation*}\sin \left( x\right) :\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は狭義単調増加関数であるとともに、その値域は\(\left[ -1,1\right] \)であることが明らかになりました。狭義単調増加関数は単射です。また、単射の終集合を値域に制限すれば全単射が得られます。したがって、関数\begin{equation}\sin \left( x\right) :\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \left[ -1,1\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}は全単射であるため、その逆関数が存在します。そこで、\(\left(1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}\sin ^{-1}\left( y\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi
}{2},\frac{\pi }{2}\right] \end{equation*}または、\begin{equation*}
\arcsin \left( y\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \end{equation*}などで表記し、これを逆正弦関数（inverse sine function）やアークサイン関数（arcsine function）などと呼びます。順序対\(\left( x,y\right) \in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \times \left[ -1,1\right] \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation*}y=\sin \left( x\right) \Leftrightarrow x=\sin ^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、逆正弦関数を、\begin{equation*}\sin ^{-1}\left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi
}{2},\frac{\pi }{2}\right] \end{equation*}と表現することもできます。逆正弦関数\(\sin ^{-1}\left( x\right) \)の逆関数は正弦関数\begin{equation*}\sin \left( y\right) :\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \left[ -1,1\right] \end{equation*}であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \left[ -1,1\right] \times \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation*}y=\sin ^{-1}\left( x\right) \Leftrightarrow x=\sin \left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例（逆正弦関数）

下図のような直角三角形が与えられているものとします。

斜辺の長さを\(a>0\)で、対辺の長さを\(c>0\)で、斜辺と底辺がつくる角の大きさ（ラジアン）を\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)でそれぞれ表記する場合、正弦の定義より以下の関係\begin{equation*}\sin \left( x\right) =\frac{c}{a}
\end{equation*}が成り立ちます。すると、逆正弦関数の定義より、\begin{equation*}
\sin ^{-1}\left( \frac{c}{a}\right) =x
\end{equation*}を得ます。つまり、逆正弦関数を利用することにより、斜辺の長さと対辺の長さの比\(\frac{c}{a}\in \left( 0,1\right) \)から、斜辺と底辺が作る角の大きさ\(x\)を特定できるということです。

例（逆正弦関数）

ピサの斜塔（Torre di Pisa）はイタリアのピサ市にあるピサ大聖堂の鐘楼です。土台の一部が地中に埋没していることが原因で傾いています。塔の全長は58.36mですが、塔は傾いているため、塔の頂上の中心が本来あるべき場所から5.45mだけずれています。

塔の傾きの大きさを\(x\)で表すのであれば、正弦の定義より、\begin{equation*}\sin \left( x\right) =\frac{5.45}{58.36}=0.09338
\end{equation*}という関係が成り立ちます。すると、逆正弦関数の定義より、\begin{eqnarray*}
x &=&\sin ^{-1}\left( 0.09338\right) \\
&=&5.358
\end{eqnarray*}を得ます。

逆正弦関数のグラフ（逆正弦曲線）

逆正弦関数\(\sin ^{-1}\left( x\right) :\left[-1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \sin ^{-1}\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \left[ -1,1\right] \times \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \ |\ y=\sin ^{-1}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これを逆正弦曲線（inverse sine curve）と呼びます。逆正弦曲線を図示すると以下のようになります。

上図から明らかであるように、逆正弦曲線のグラフは定義域\(\left[ -1,1\right] \)上で狭義単調増加であるとともに、値域は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)です。後ほど厳密に証明します。

逆正弦関数は狭義単調増加関数

逆正弦関数は狭義単調増加関数です。

逆正弦関数の値域

逆正弦関数の値域は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)です。

逆正弦関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、逆正弦関数\begin{equation*}
\sin ^{-1}\left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi
}{2},\frac{\pi }{2}\right] \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の値域が\(\sin ^{-1}\left( x\right) \)の定義域\(\left[-1,1\right] \)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \left[ -1,1\right] \end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\sin ^{-1}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

逆正弦関数\begin{equation*}
\sin ^{-1}\left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ -\frac{\pi
}{2},\frac{\pi }{2}\right] \end{equation*}が与えられているものとします。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\sin ^{-1}\left( x\right) \)の値域\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \sin ^{-1}\left( x\right) \right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

演習問題