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不定形の極限の解消:式変形を用いる方法

目次

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約分を用いた不定形の極限の解消

関数の極限が不定形である場合に、関数を約分してから極限をとることにより、不定形を解消できる場合があります。

例(約分を用いた不定形の極限の解消)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x+1}{4\left( x+1\right) }:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限に注目します。分子については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x+1\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}x+\lim_{x\rightarrow +\infty }1 \\
&=&\left( +\infty \right) +1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }4\left( x+1\right) &=&4\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left( x+1\right) \\
&=&4\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }x+\lim_{x\rightarrow +\infty
}1\right) \\
&=&4\left[ \left( +\infty \right) +1\right] \\
&=&4\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+1}{4\left( x+1\right) }
\end{equation*}は\(\frac{\infty }{\infty }\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+1}{4\left( x+1\right) }
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{4}\quad \because \text{約分} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。

 

因数分解を用いた不定形の極限の解消

関数の極限が不定形になる場合には、関数を因数分解してから極限をとることにより、不定形を解消できる場合があります。

例(因数分解を用いた不定形の極限の解消)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow 1\)の場合の極限に注目します。分子については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}-x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
1}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 1}x \\
&=&1^{2}-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left( x^{2}-1\right) &=&\lim_{x\rightarrow
1}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 1}1 \\
&=&1^{2}-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\left( \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}\right)
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\left( \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\frac{x\left( x-1\right) }{\left( x+1\right)
\left( x-1\right) }\quad \because \text{因数分解} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}^{{}}\frac{x}{x+1}\quad \because x\not=1 \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}^{{}}x}{\lim\limits_{x\rightarrow
1}^{{}}\left( x+1\right) } \\
&=&\frac{1}{1+1} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。

例(因数分解を用いた不定形の極限の解消)
以下の関数\begin{equation*}
3x^{2}-7x:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限に注目します。左側の関数については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }3x^{2} &=&3\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} \\
&=&3\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ち、右側の関数については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -7x\right) &=&-7\lim_{x\rightarrow
+\infty }x \\
&=&\left( -7\right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{2}-7x\right)
\end{equation*}は\(\infty -\infty \)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 3x^{2}-7x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }x\left( 3x-7\right) \quad \because \text{因数分解} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
3x-7\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

 

最高次の項で割ることによる不定形の極限の解消

関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の極限が不定形になる場合には、関数\(f\left( x\right) \)および\(g\left( x\right) \)を両者の最高次の項で割ってから極限をとることにより、不定形を解消できる場合があります。

例(最高次の項で割ることによる不定形の極限の解消)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{6x^{4}-3x^{2}}{8x^{7}+3x}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限に注目します。分子については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 6x^{4}-3x^{2}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\left( 6x^{2}-3\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
6x^{2}-3\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 8x^{7}+3x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }8x^{7}+\lim_{x\rightarrow +\infty }3x \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{6x^{4}-3x^{2}}{8x^{7}+3x}
\end{equation*}は\(\frac{\infty }{\infty }\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{6x^{4}-3x^{2}}{8x^{7}+3x}
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{6x^{4}}{x^{7}}-\frac{3x^{2}}{x^{7}}}{\frac{8x^{7}}{x^{7}}+\frac{3x}{x^{7}}}\quad \because \text{最高次の項}x^{7}\text{で割る} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{6}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}}{8+\frac{3}{x^{6}}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{6}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( 8+\frac{3}{x^{6}}\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{6}{x^{3}}-\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{3}{x^{5}}}{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }8+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{3}{x^{6}}} \\
&=&\frac{0-0}{8+0} \\
&=&\frac{0}{8} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

有理化を用いた不定形の極限の解消

関数の極限が不定形になる場合には、関数を有理化してから極限をとることにより、不定形を解消できる場合があります。

例(有理化を用いた不定形の極限の解消)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限に注目します。分子については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x-1\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \sqrt{x}+1\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}
\end{equation*}は\(\frac{\infty }{\infty }\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x-1}{\sqrt{x}+1} &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\frac{\left( x-1\right) \left( \sqrt{x}-1\right) }{\left( \sqrt{x}+1\right) \left( \sqrt{x}-1\right) }\quad \because \text{有理化} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\left( x-1\right) \left( \sqrt{x}-1\right) }{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \sqrt{x}-1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

例(有理化を用いた不定形の極限の解消)
以下の関数\begin{equation*}
\sqrt{x^{2}+1}-x:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限に注目します。左側の関数については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x^{2}+1}=+\infty
\end{equation*}が成り立ち、右側の関数については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right)
\end{equation*}は\(\infty -\infty \)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) \left(
\sqrt{x^{2}+1}+x\right) }{\sqrt{x^{2}+1}+x}\quad \because \text{有理化} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1}{\lim\limits_{x\rightarrow
+\infty }\left( \sqrt{x^{2}+1}+x\right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(不定形の極限の解消)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x^{2}+3x-4}{2x^{2}+3x-5}\right)
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、不定形を解消する形で極限を具体的に特定してください。

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問題(不定形の極限の解消)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2^{x}}{1+2^{x}}\right)
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、不定形を解消する形で極限を具体的に特定してください。

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問題(不定形の極限の解消)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{x^{3}+3x+5}{2x^{3}-6x+1}\right)
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、不定形を解消する形で極限を具体的に特定してください。

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問題(不定形の極限の解消)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x^{20}-1}{x^{10}-1}\right)
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、不定形を解消する形で極限を具体的に特定してください。

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問題(不定形の極限の解消)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{4x+4}{\sqrt{x^{2}+3x+4}+x}\right)
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、不定形を解消する形で極限を具体的に特定してください。

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問題(不定形の極限の解消)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2}\left( \frac{x^{3}+3x^{2}+2x}{x^{2}-x-6}\right)
\end{equation*}が不定形であることを確認した上で、不定形を解消する形で極限を具体的に特定してください。

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問題(不定形の極限の解消)
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \left( x^{2}+1\right) ^{\frac{1}{2}}-\left( x^{2}-1\right) ^{\frac{1}{2}}\right] \end{equation*}が不定形であることを確認した上で、不定形を解消する形で極限を具体的に特定してください。

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