局所有界な関数は片側収束するとは限らない
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているものとします。
このような関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)以上の周辺において局所有界であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,a+\varepsilon \right) \cap X:m\leq f\left( x\right)
\leq M
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界になることが保証されます。一方、点\(a\)以上の周辺において局所有界な関数\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)以上の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0+\)の場合に有限な実数へ右側収束しません（演習問題）。
左側極限についても同様です。具体的には以下の通りです。
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているものとします。
このような関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
-\delta <x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)以下の周辺において局所有界であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left( a-\varepsilon ,a\right] \cap X:m\leq f\left( x\right)
\leq M
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ右側収束する場合、関数\(f\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界になることが保証されます。一方、点\(a\)以下の周辺において局所有界な関数\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)以下の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0-\)の場合に有限な実数へ左側収束しません（演習問題）。
有界単調関数の収束定理は万能ではない
点\(a\)以上の周辺において局所有界な関数は\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するとは限らないことが明らかになりました。ただ、関数が点\(a\)以上の周辺において局所有界かつ単調である場合には、有界単調関数の収束定理より、その関数は\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束することが保証されます。その一方で、点\(a\)以上の周辺において局所有界かつ単調ではない関数が有限な実数へ右側収束する事態も起こり得るため、有界単調関数の収束定理は万能ではありません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は単調ではありませんが、点\(0\)以上の周辺において有界であるとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
左側極限についても同様です。具体的には以下の通りです。
関数が点\(a\)以下の周辺において局所有界かつ単調である場合には、有界単調関数の収束定理より、その関数は\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束することが保証されます。その一方で、点\(a\)以下の周辺において局所有界かつ単調ではない関数が有限な実数へ左側収束する事態も起こり得るため、有界単調関数の収束定理は万能ではありません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は単調ではありませんが、点\(0\)以下の周辺において有界であるとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
片側上極限と片側下極限を用いた関数の片側収束判定
単調であるとは限らない局所有界な関数を対象とした場合、それが有限な実数へ右側収束することを判定する方法は存在するのでしょうか。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)以上の周辺において局所有界である場合には、\(x\rightarrow a+\)の場合の\(f\)の右側上極限と右側下極限\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right) \\
\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right)
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まることが保証されますが、両者が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\inf
f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するための必要十分条件です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、関数\(f\)の右側極限は右側上極限や右側下極限と一致します。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は点\(0\)以上の周辺において局所有界であり、単調関数ではなく、さらに\(x\rightarrow 0+\)の場合に有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちますが、同じことを先の命題から導きます。具体的には、十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( 0,\delta \right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ x\sin \left( \frac{1}{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\delta
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\delta \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。その一方で、十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( 0,\delta \right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ x\sin \left( \frac{1}{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\inf
f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
左側極限についても同様です。具体的には以下の通りです。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)以下の周辺において局所有界である場合には、\(x\rightarrow a-\)の場合の\(f\)の左側上極限と左側下極限\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right) \\
\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right)
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まることが保証されますが、両者が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\inf
f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束するための必要十分条件です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、関数\(f\)の左側極限は左側上極限や左側下極限と一致します。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。証明は先の命題と同様です。
f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束するための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は点\(0\)以下の周辺において局所有界であり、単調関数ではなく、さらに\(x\rightarrow 0-\)の場合に有限な実数へ左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちますが、同じことを先の命題から導きます。具体的には、十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( -\delta ,0\right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ x\sin \left( \frac{1}{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。その一方で、十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( -\delta ,0\right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ x\sin \left( \frac{1}{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&-\delta
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\delta \right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\inf
f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
片側上極限と片側下極限を用いた関数の収束判定
以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。
f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\inf
f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(f\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)以上の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0+\)の場合に有限な実数へ右側収束しないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)以下の周辺において局所有界である一方で、\(x\rightarrow 0-\)の場合に有限な実数へ左側収束しないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。これは単調関数ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺において有界である一方で、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。これは単調関数ではありません。\(f\)は点\(0\)以下の周辺において有界である一方で、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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