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連続関数と位相

定義域上で連続な関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることの意味を以下のように定義します。

  1. \(f\)が\(a\)を含めその周辺にある任意の点において定義されている場合、\(f\)が\(a\)において連続であることを、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であることとして定義します。つまり、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
    \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
    \end{equation*}が成り立つこととして定義するということです。\(a\)が\(X\)の内点である場合などはこのケースに該当します。
  2. \(f\)が\(a\)の周辺にある\(a\)以上の任意の点において定義されている一方で\(a\)より小さい点において定義されていない場合、\(f\)が\(a\)において連続であることを、\(f\)が\(a\)において右側連続であることとして定義します。つまり、\(f\)が\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
    \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
    \end{equation*}が成り立つこととして定義するということです。
  3. \(f\)が\(a\)の周辺にある\(a\)以下の任意の点において定義されている一方で\(a\)より大きい点において定義されていない場合、\(f\)が\(a\)において連続であることを、\(f\)が\(a\)において左側連続であることとして定義します。つまり、\(f\)が\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
    \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
    \end{equation*}が成り立つこととして定義するということです。
  4. \(f\)が\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、そもそも上のような極限や片側極限が存在することを検討するさえできないため、\(f\)は\(a\)において連続ではないものと定めます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合などはこのケースに該当します。

以上を踏まえた上で、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)の任意の点において連続であるとき、\(f\)は\(X\)上で連続である(continuous on \(X\))とか、\(f\)は連続である(continuous)などと言います。

例(開集合上に定義された関数の連続性)
開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域の点\(a\in X\)を任意に選ぶと、\(X\)が開集合であることから、\begin{equation*}
\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset X
\end{equation*}を満たす正の実数\(\varepsilon >0\)が必ず存在するため、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって、このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続であることとは、任意の点\(a\in X\)において\(f\)が通常の意味で連続であることを意味します。
例(有界な開区間上に定義された関数の連続性)
有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( s,t\right) \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。有界な開区間\(\left( s,t\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その任意の点は\(\left( s,t\right) \)の内点です。したがって、定義域の点\(a\in \left( s,t\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか否かを検討できます。有界な開区間\(\left( s,t\right) \)上に定義された関数\(f\)が連続であることとは、\(\left( s,t\right) \)上の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味で連続であることを意味します。
例(無限開区間上に定義された関数の連続性)
無限開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (s,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。無限開区間\((s,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その任意の点は\((s,+\infty )\)の内点です。したがって、定義域の点\(a\in (s,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか否かを検討できます。無限開区間\((s,+\infty )\)上に定義された関数\(f\)が連続であることとは、\((s,+\infty )\)上の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味で連続であることを意味します。同様に、無限開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,t)\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であることとは、\((-\infty ,t)\)上の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味で連続であることを意味します。
例(全区間上に定義された関数の連続性)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。全区間\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その任意の点は\(\mathbb{R} \)の内点です。したがって、定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか否かを検討できます。全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された関数\(f\)が連続であることとは、\(\mathbb{R} \)の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味で連続であることを意味します。
例(有界な閉区間上に定義された関数の連続性)
有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\(\left[ s,t\right] \)の部分集合である有界な開区間\(\left( s,t\right) \)の任意の点は\(\left[ s,t\right] \)の内点であるため、\(\left( s,t\right) \)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか否かを検討できます。一方、定義域\(\left[ s,t\right] \)の左側の端点\(s\)については、\(f\)が\(s\)において右側連続であるか否かの検討だけが可能であり、定義域\(\left[ s,t\right] \)の右側の端点\(t\)については、\(f\)が\(t\)において左側連続であるか否かの検討だけが可能です。以上を踏まえると、有界な閉区間\(\left[ s,t\right] \)上に定義された関数\(f\)が定義域\(\left[ s,t\right]\)上で連続であることとは、\(\left( s,t\right) \)の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味において連続であるとともに、点\(s\)において右側連続であり、なおかつ点\(t\)において左側連続であることを意味します。
例(有界な半開区間上に定義された関数の連続性)
有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (s,t]\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\((s,t]\)の部分集合である有界な開区間\(\left( s,t\right) \)の任意の点は\((s,t]\)の内点であるため、\(\left( s,t\right) \)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか否かを検討できます。一方、定義域\((s,t]\)の右側の端点\(t\)については、\(f\)が\(t\)において左側連続であるか否かの検討だけが可能です。以上を踏まえると、有界な半開区間\((s,t]\)上に定義された関数\(f\)が定義域\((s,t]\)上で連続であることとは、\(\left( s,t\right) \)の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味において連続であるととともに、点\(t\)において左側連続であることを意味します。同様に、有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,t)\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であることとは、\(\left( s,t\right) \)の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味において連続であるとともに、点\(s\)における右側連続であることを意味します。
例(無限閉区間上に定義された関数の連続性)
無限閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\([s,+\infty )\)の部分集合である無限開区間\((s,+\infty )\)の任意の点は\([s,+\infty )\)の内点であるため、\((s,+\infty )\)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか否かを検討できます。一方、定義域\([s,+\infty )\)の左側の端点\(s\)については、\(f\)が\(s\)において右側連続であるか否かの検討だけが可能です。以上を踏まえると、無限閉区間\([s,+\infty )\)上に定義された関数\(f\)が定義域\([s,+\infty )\)上で連続であることとは、\((s,+\infty )\)の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味において連続であるとともに、点\(s\)において右側連続であることを意味します。同様に、無限閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,t]\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\((-\infty ,t]\)上で連続であることとは、\((-\infty ,t)\)の任意の点\(a\)において\(f\)が通常の意味において連続であるとともに、点\(t\)において左側連続であることを意味します。

 

位相を用いた連続関数の表現

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合には、定義域の点\(a\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon >0\)が存在するため、\(f\)は\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。したがって、開集合上に定義された関数が連続であることとは、その関数が定義域上の任意の点において通常の意味において連続であることを意味します。以上を踏まえたとき、開集合上に定義された関数に関しては、それが連続関数であることを位相を用いて表現できます。以下で順を追って解説します。

開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるものとします。つまり、定義域上の任意の点\(a\in X\)において\(f\)が通常の意味において連続であること、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つということです。点の近傍を用いてこれを言い換えると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ x\in
U_{\delta }\left( a\right) \Rightarrow f\left( x\right) \in U_{\varepsilon
}\left( f\left( a\right) \right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( U_{\delta }\left(
a\right) \right) \subset U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。同様の議論が\(X\)の任意の点\(a\)について成立します。以上が議論の出発点です。このとき、\(f\)の終集合である\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような開集合\(Y\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその逆像\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}をとると、これは\(X\)上の開集合になることが保証されます。証明は以下の通りです。

点\(b\in f^{-1}\left( Y\right) \)を任意に選びます。\(b\)を中心とする近傍の中に\(f^{-1}\left( Y\right) \)の部分集合になるようなものが存在することを示すことが目標です。\(f^{-1}\left( Y\right) \subset X\)であるため、\(b\in f^{-1}\left( Y\right) \)は\(b\in X\)であることを意味します。したがって\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( U_{\delta }\left(
b\right) \right) \subset U_{\varepsilon }\left( f\left( b\right) \right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。加えて、逆像の定義より、\(b\in f^{-1}\left( Y\right) \)であることは\(f\left( b\right) \in Y\)であることと必要十分です。仮定より\(Y\)は開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( f\left( b\right) \right)
\subset Y
\end{equation*}が成り立ちます。この\(\varepsilon >0\)に対しても\(\left( 2\right) \)は成り立つため、このとき、\begin{equation}
\exists \delta >0:f\left( U_{\delta }\left( b\right) \right) \subset Y
\quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。このとき、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}
x\in U_{\delta }\left( b\right) &\Rightarrow &f\left( x\right) \in Y\quad
\because \left( 3\right) \\
&\Leftrightarrow &x\in f^{-1}\left( Y\right) \quad \because f^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( b\right) \subset f^{-1}\left( Y\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、この\(U_{\delta }\left( b\right) \)こそが探している近傍に他なりません。したがって証明が完了しました。

命題(位相を用いた連続関数の表現)
開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続関数であるならば、終集合の部分集合であるような任意の開集合\(Y\subset \mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(X\)上の開集合になる。
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上の命題の逆もまた成立します。証明は以下の通りです。

開集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合であるものとします。目標は\(f\)が\(X\)上で連続であること、すなわち、\(a\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( U_{\delta }\left(
a\right) \right) \subset U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを示すことです。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。近傍は中心を要素として持つため、\begin{equation*}
f\left( a\right) \in U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちますが、逆像の定義より、これは、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。近傍は開集合であるため\(U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right) \)もまた開集合です。すると仮定より、その逆像\(f^{-1}\left( U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right) \right) \)は\(X\)上の開集合です。したがってその要素である\(a\)に対して、\begin{equation}
\exists \delta >0:U_{\delta }\left( a\right) \subset f^{-1}\left(
U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right) \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。このとき、任意の\(y\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
y\in f\left( U_{\delta }\left( a\right) \right) &\Rightarrow &\exists x\in
U_{\delta }\left( a\right) :y=f\left( x\right) \\
&\Rightarrow &\exists x\in f^{-1}\left( U_{\varepsilon }\left( f\left(
a\right) \right) \right) :y=f\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\\
&\Leftrightarrow &y\in U_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right) \quad
\because f^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( U_{\delta }\left( a\right) \right) \subset U_{\varepsilon }\left(
f\left( a\right) \right)
\end{equation*}となるため目標が達成されました。

命題(位相を用いた連続関数の表現)
開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとで、終集合の部分集合であるような任意の開集合\(Y\subset \mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合になるならば、\(f\)は連続関数である。
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以上の2つの命題より以下を得ます。

命題(位相を用いた連続関数の表現)
開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとで、終集合の部分集合であるような任意の開集合\(Y\subset \mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合になることは、\(f\)が連続関数であるための必要十分条件である。
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この命題の興味深いのは、関数の極限や距離の概念などを経由せずとも、開集合の概念さえ与えられれば関数の連続性という概念を表現できることを示唆している点です。この事実は、開集合の概念だけが定義された一般の集合においても(このような集合を位相空間と呼びます)写像の連続が定義可能であることを示唆しています。位相空間については場を改めて解説します。

例(位相を用いた連続関数の表現)
関数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(f\)は開集合上に定義された関数です。終集合の部分集合である開集合\(\left( 2,4\right) \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \left( 2,4\right) \right) =\left[ 1,2\right] \end{equation*}という閉区間であり、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。したがって先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の連続関数ではありません。

先の命題と閉集合の定義を利用することにより以下の命題を得ます(証明は演習問題とします)。つまり、関数の連続性という概念は閉集合を用いて表現することも可能であるということです。

命題(位相を用いた連続関数の表現)
開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとで、終集合の部分集合であるような任意の閉集合\(Y\subset \mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の閉集合になることは、\(f\)が連続関数であるための必要十分条件である。
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例(位相を用いた連続関数の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(f\)は開集合上に定義された関数です。終集合の部分集合である開集合\(\left[ 4,6\right] \subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( \left[ 4,6\right] \right) =(2,3] \end{equation*}という半開区間であり、これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。したがって先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の連続関数ではありません。

次回は関数の上半連続性や下半連続性などについて解説します。

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