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位相を用いた関数の連続性の判定

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開集合を用いた連続関数の表現

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めてその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束し、さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。関数が点において連続であることの意味をイプシロン・デルタ論法や数列を用いて表現できることも明らかにしました。いずれにせよ、関数\(f\)が定義域上の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続であると言います。したがって、関数が連続であることを示すためには、通常、定義域の点を任意に選んだ上で、関数がその点において連続であることを示すという手続きを踏むことになります。その一方で、そのような手続きを踏まずに、関数が定義域上において連続であることを直接示す手法も存在します。以下で順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような開集合\(Y\)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}をとります。\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(X\)の部分集合ですが、これは\(X\)上の開集合であるとは限りません。ただ、\(f\)が連続関数である場合には、先のような逆像\(f^{-1}\left(Y\right) \)が必ず開集合になることが保証されます。

命題(位相を用いた連続関数の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続関数であるならば、終集合の部分集合であるような開集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(X\)上の開集合になる。
証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、終集合\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような開集合\(Y\)を任意に選んだときに、その逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}が開集合になるのであれば、\(f\)は連続であることが保証されます。

命題(位相を用いた連続関数の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、終集合の部分集合であるような開集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合であるならば、\(f\)は連続関数である。
証明

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以上の2つの命題より、連続関数という概念は開集合を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(位相を用いた連続関数の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、終集合の部分集合であるような開集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合であることは、\(f\)が連続関数であるための必要十分条件である。

この命題を用いれば、関数が定義域上のそれぞれの点において連続であることを示さなくても、その関数が定義域上で連続であることを直接的に示すことができます。この命題のもう一つのポイントは、関数の極限や距離の概念などを経由せずとも、開集合の概念(すなわち位相)さえ与えられれば関数の連続性という概念を表現できることを示唆している点です。この事実は、開集合の概念だけが定義された一般の集合においても(このような集合を位相空間と呼びます)写像の連続性を定義できることを示唆しています。位相空間については場を改めて解説します。

 

開区間を用いた連続関数の表現

関数による任意の開集合の逆像が開集合になる場合、その関数は連続であることが明らかになりました。加えて、\(\mathbb{R} \)上の開集合は可算個の互いに素な有界開区間の和集合として表すことができるという事実を踏まえると、先の命題より以下を導くことができます。

命題(開区間を用いた連続関数の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、終集合の部分集合であるような開区間\(I\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による逆像\(f^{-1}\left( I\right) \)が\(X\)上の開集合であることは、\(f\)が連続関数であるための必要十分条件である。
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以上の命題より、開集合上に定義された関数が連続であることを示すためには、有界開区間の逆像が必ず開集合になることを示せば十分であることが明らかになりました。

例(関数の連続性と開区間)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続関数であることを示します。終集合の部分集合であるような有界な開区間\(\left( a,b\right) \subset \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\(f\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left( a,b\right) \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 3x\in \left( a,b\right) \right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{a}{3},\frac{b}{3}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、先の命題より、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(関数の連続性と開区間)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続関数であることを示します。終集合の部分集合であるような有界な開区間\(\left( a,b\right) \subset \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\(f\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left( a,b\right) \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left( a,b\right) \right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f^{-1}\left( a,b\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\phi & \left( if\ b\leq 0\right) \\
\left( \sqrt{a},\sqrt{b}\right) & \left( if\ b>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、先の命題より、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上で連続であることが明らかになりました。

 

関数が連続でないことの証明

先の命題は、関数が連続でないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、ある有界開区間\(I\subset \mathbb{R} \)を適当に選んだとき、\(f\)による逆像\(f^{-1}\left( I\right) \)が開集合でないならば、先の命題より\(f\)は連続関数ではありません。

例(関数が連続でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)において連続ではないため、定義域上において連続ではありませんが、同様のことを先の命題を用いて示します。具体的には、有界開区間\(\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \subset \mathbb{R} \)に注目したとき、\(f\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \right\}
\quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは開集合ではないため、先の命題より\(f\)は連続でないことが示されました。
例(関数が連続でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は定義域の端点\(0,1\)において連続ではないため(ただし、後に導入する「片側連続性」という概念を踏まえると、\(f\)は点\(0,1\)において連続とみなされる)、定義域上において連続ではありませんが、同様のことを先の命題を用いて示します。具体的には、有界開区間\(\left( -1,1\right) \subset \mathbb{R} \)に注目したとき、\(f\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -1,1\right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left(
x\right) \in \left( -1,1\right) \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ 3x\in \left( -1,1\right) \right\} \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{3}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは開集合ではないため、先の命題より\(f\)は連続でないことが示されました。

 

演習問題

問題(関数が連続ではないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続ではないことを証明してください。
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問題(関数の連続性と閉集合)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、終集合の部分集合であるような閉集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の閉集合であることは、\(f\)が連続関数であるための必要十分条件であることを示してください。
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次回は関数の上半連続性や下半連続性などについて解説します。

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