有界変動関数どうしの商

有界変動関数の逆数

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)は非ゼロの値をとるため、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\frac{1}{f}\left( x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{1}{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるものとします。つまり、関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まるということです。加えて、関数\(\frac{1}{f}\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるものとします。この場合、\begin{equation*}\sup \frac{1}{f}\left( \left[ a,b\right] \right) =\sup \left\{ \frac{1}{f\left( x\right) }\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} <+\infty
\end{equation*}が成り立ち、したがって、\begin{equation*}
\sup \frac{1}{\left\vert f\right\vert }\left( \left[ a,b\right] \right)
=\sup \left\{ \frac{1}{\left\vert f\left( x\right) \right\vert }\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} <+\infty
\end{equation*}もまた成り立つことに注意してください。この場合、関数\(\frac{1}{f}\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動になることが保証されるとともに、これらの関数の全変動の間には以下の関係\begin{equation*}TV\left( \frac{1}{f}\right) \leq \left( \sup \frac{1}{\left\vert
f\right\vert }\left( \left[ a,b\right] \right) \right) ^{2}\cdot TV\left(
f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

有界変動関数の逆数が有界変動であるための条件の吟味

関数\(f\)が有界変動であり、関数\(\frac{1}{f}\)が有界である場合には、関数\(\frac{1}{f}\)もまた有界変動になることが明らかになりました。

有界変動関数は有界であるため、関数\(f\)が有界変動である場合、その関数\(f\)は有界になります。その一方で、関数\(f\)が有界変動であっても関数\(\frac{1}{f}\)は有界であるとは限りません。では、関数\(f\)が有界変動である一方で関数\(\frac{1}{f}\)が有界ではない場合にも、関数\(\frac{1}{f}\)が有界変動であると言えるのでしょうか。このような主張は成り立ちません。以下の例より明らかです。

有界変動関数どうしの商

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(g\)は非ゼロの値をとるため、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\frac{f}{g}\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f,g\)がともに区間\(\left[a,b\right] \)上で有界変動であるものとします。つまり、関数\(f\)の区間\(\left[a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}と、関数\(g\)の区間\(\left[ a,b\right]\)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( g\right) &=&\sup \left\{ V\left( g,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert g\left( x_{k}\right) -g\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まるということです。加えて、関数\(\frac{1}{g}\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるものとします。この場合、先と同様の理由により、\begin{equation*}\sup \frac{1}{\left\vert g\right\vert }\left( \left[ a,b\right] \right)
=\sup \left\{ \frac{1}{\left\vert g\left( x\right) \right\vert }\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(\frac{f}{g}\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動になることが保証されるとともに、これらの関数の全変動の間には以下の関係\begin{equation*}TV\left( \frac{f}{g}\right) \leq \sup \left\vert f\right\vert \left( \left[
a,b\right] \right) \cdot \left( \sup \frac{1}{\left\vert g\right\vert }\left( \left[ a,b\right] \right) \right) ^{2}\cdot TV\left( g\right) +\sup
\frac{1}{\left\vert g\right\vert }\left( \left[ a,b\right] \right) \cdot
TV\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動な関数\(f,g\)どうしの商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)が与えられたとき、\(\frac{1}{g}\)が有界である場合には、\(\frac{f}{g}\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であることが保証されます。したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の有界変動性を検討する際には、\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが有界変動であることを確認すればよいということになります。

演習問題