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対数関数の連続性

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対数関数の連続性

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\(a\)を底とする対数関数\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。\(\log _{a}\left( x\right) \)が定義域上の点\(b\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(b\)において連続であることが保証されます。

命題(対数関数の連続性)
\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、対数関数\(\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\log _{a}\left( x\right) \)が定義域上の点\(b\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\log _{a}\left( x\right) \)は点\(b\)において連続である。
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例(対数関数の連続性)
対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義可能であるため、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(\mathbb{R} _{++}\)は開集合であるため、点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\log _{a}\left( x\right) \)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より\(\log _{a}\left( x\right) \)は点\(b\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において同様であるため、\(\log _{a}\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。
例(自然対数関数の連続性)
自然対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は対数関数であるため、\(\ln \left( x\right) \)が点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、上の命題より\(\ln \left( x\right) \)は点\(a\)において連続です。特に、\(X=\mathbb{R} _{++}\)である場合、\(\ln \left( x\right) \)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。
例(対数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(x^{2}+1\)は点\(a\)において連続です。対数関数の連続性より、\(\ln\left( x\right) \)は点\(a^{2}+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(対数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)は震源から100km離れた地点に置かれた標準的な地震計が記録する針の振れ幅(μm)\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、ローカルマグニチュード\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{10}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。対数関数の連続性より、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。つまり、地震計の針の振れ幅を連続的に変化させると、それに対応するローカルマグニチュードも連続的に変化します。

 

対数関数の片側連続性

片側連続性についても同様の命題が得られます。

命題(対数関数の片側連続性)
\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、対数関数\(\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\log _{a}\left( x\right) \)が点\(b\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\log _{a}\left( x\right) \)は点\(b\)において右側連続である。また、\(\log _{a}\left( x\right) \)が点\(b\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\log_{a}\left( x\right) \)は点\(b\)において左側連続である。
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例(対数関数の片側連続性)
区間上に対数関数\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。点\(a\in\left( 1,2\right) \)を任意に選んだとき、対数関数の極限より、\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) \)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(1\)に注目したとき、対数関数の右側連続性より、\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) \)は点\(1\)において右側連続です。定義域の端点\(2\)に注目したとき、対数関数の左側連続性より、\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) \)は点\(2\)において左側連続です。したがって、\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) \)は\(\left[ 1,2\right] \)上で連続です。
例(対数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 20,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)は音圧(μPa:マイクロパスカル)\(x\in \lbrack 20,+\infty )\)に対して、それに対応するデシベル\begin{equation*}f\left( x\right) =20\cdot \log _{10}\left( \frac{x}{20}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の内部\(\left( 20,+\infty \right) \)において連続であり、端点\(20\)において右側連続です。つまり、音圧を連続的に変化させると、それに対応するデシベルもまた連続的に変化します。

次回は自然数ベキ関数の連続性について解説します。

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