ネイピア数の極限公式を用いた不定形の極限の解消
関数の極限が不定形である場合に、ネイピア数の極限公式\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}=e
\\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}=1
\\
&&\left( e\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
\end{eqnarray*}を用いることにより、不定形を解消できる場合があります。
例（ネイピア数の極限公式を用いた不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
\end{equation*}について考えます。左側の関数については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) =1
\end{equation*}が成り立ち、右側の関数については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
\end{equation*}は\(1^{\infty }\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
&=&\lim_{y\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{y}\right) ^{y}\quad
\because y=x^{2} \\
&=&\lim_{y\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1+\frac{-2}{y}\right) ^{\frac{y}{-2}}\right] ^{-2} \\
&=&e^{-2}\quad \because e\text{に関する極限公式}
\end{eqnarray*}となります。
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
\end{equation*}について考えます。左側の関数については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) =1
\end{equation*}が成り立ち、右側の関数については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
\end{equation*}は\(1^{\infty }\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
&=&\lim_{y\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{y}\right) ^{y}\quad
\because y=x^{2} \\
&=&\lim_{y\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1+\frac{-2}{y}\right) ^{\frac{y}{-2}}\right] ^{-2} \\
&=&e^{-2}\quad \because e\text{に関する極限公式}
\end{eqnarray*}となります。
例（ネイピア数の極限公式を用いた不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}について考えます。左側の関数については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}1-\lim_{x\rightarrow 0}8x \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、右側の関数については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}は\(1^{\infty }\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{x}} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left[ \left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}\right] ^{8} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left[ \left( 1+y\right) ^{\frac{1}{y}}\right] ^{8}\quad \because y=8x \\
&=&\left[ \lim_{y\rightarrow 0}\left( 1+y\right) ^{\frac{1}{y}}\right] ^{8}\quad \because x^{8}\text{は連続関数} \\
&=&e^{8}\quad \because e\text{に関する極限公式}
\end{eqnarray*}となります。
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}について考えます。左側の関数については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}1-\lim_{x\rightarrow 0}8x \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、右側の関数については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}は\(1^{\infty }\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{x}} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left[ \left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}\right] ^{8} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left[ \left( 1+y\right) ^{\frac{1}{y}}\right] ^{8}\quad \because y=8x \\
&=&\left[ \lim_{y\rightarrow 0}\left( 1+y\right) ^{\frac{1}{y}}\right] ^{8}\quad \because x^{8}\text{は連続関数} \\
&=&e^{8}\quad \because e\text{に関する極限公式}
\end{eqnarray*}となります。
三角関数の極限公式を用いた不定形の極限の解消
関数の極限が不定形である場合に、三角関数の極限公式\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}=1
\end{equation*}を用いることにより、不定形を解消できる場合があります。
例（三角関数の極限公式を用いた不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos \left( x\right) }{x}
\end{equation*}について考えます。分子については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1-\cos \left( x\right) \right) &=&1-\cos \left(
0\right) \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos \left( x\right) }{x}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos \left( x\right) }{x} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1-\cos \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1+\cos \left( x\right)
}{1+\cos \left( x\right) }\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos ^{2}\left( x\right) }{x\left( 1+\cos
\left( x\right) \right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}\left( x\right) }{x\left( 1+\cos
\left( x\right) \right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) } \\
&=&1\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left(
x\right) }\quad \because \text{三角関数の極限公式} \\
&=&\frac{\sin \left( 0\right) }{1+\cos \left( 0\right) } \\
&=&\frac{0}{1+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos \left( x\right) }{x}
\end{equation*}について考えます。分子については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1-\cos \left( x\right) \right) &=&1-\cos \left(
0\right) \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos \left( x\right) }{x}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos \left( x\right) }{x} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1-\cos \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1+\cos \left( x\right)
}{1+\cos \left( x\right) }\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos ^{2}\left( x\right) }{x\left( 1+\cos
\left( x\right) \right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}\left( x\right) }{x\left( 1+\cos
\left( x\right) \right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) }\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left( x\right) } \\
&=&1\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{1+\cos \left(
x\right) }\quad \because \text{三角関数の極限公式} \\
&=&\frac{\sin \left( 0\right) }{1+\cos \left( 0\right) } \\
&=&\frac{0}{1+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
例（三角関数の極限公式を用いた不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan \left( x\right) }{x}
\end{equation*}について考えます。分子については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\tan \left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan \left( x\right) }{x}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan \left( x\right) }{x} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left( x\right) }\cdot \frac{1}{x}\right) \quad \because \tan \left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left( x\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1}{\cos \left( x\right) }\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos \left( x\right) } \\
&=&1\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos \left( x\right) }\quad \because
\text{三角関数の極限公式} \\
&=&\frac{1}{\cos \left( 0\right) } \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan \left( x\right) }{x}
\end{equation*}について考えます。分子については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\tan \left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan \left( x\right) }{x}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan \left( x\right) }{x} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left( x\right) }\cdot \frac{1}{x}\right) \quad \because \tan \left( x\right) =\frac{\sin \left( x\right) }{\cos \left( x\right) } \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot \frac{1}{\cos \left( x\right) }\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos \left( x\right) } \\
&=&1\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos \left( x\right) }\quad \because
\text{三角関数の極限公式} \\
&=&\frac{1}{\cos \left( 0\right) } \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例（三角関数の極限公式を用いた不定形の極限の解消）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{3x}
\end{equation*}について考えます。分子については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\sin \left( 2x\right) &=&\sin \left(
\lim_{x\rightarrow 0}2x\right) \\
&=&\sin \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}3x=0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{3x}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{3x} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left[ \frac{2}{3}\cdot \frac{\sin \left( 2x\right) }{2x}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 2x\right) }{2x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( y\right) }{y}\quad \because y=2x \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot 1\quad \because \text{三角関数の極限公式} \\
&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}となります。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{3x}
\end{equation*}について考えます。分子については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\sin \left( 2x\right) &=&\sin \left(
\lim_{x\rightarrow 0}2x\right) \\
&=&\sin \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}3x=0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{3x}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。具体的には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( 2x\right) }{3x} &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left[ \frac{2}{3}\cdot \frac{\sin \left( 2x\right) }{2x}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( 2x\right) }{2x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin
\left( y\right) }{y}\quad \because y=2x \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{3}\cdot 1\quad \because \text{三角関数の極限公式} \\
&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（不定形の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1-\frac{2}{x^{2}}\right) ^{x^{2}}
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
問題（不定形の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \left( x\right) }{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
問題（不定形の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x\sin \left( \frac{2}{x}\right)
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
\lim_{x\rightarrow +\infty }x\sin \left( \frac{2}{x}\right)
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
問題（不定形の極限）
以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{x^{2}-x-2}
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sin \left( x-2\right) }{x^{2}-x-2}
\end{equation*}が不定形であることを示すとともに、極限を具体的に求めてください。
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