関数の無限極限（発散する関数）

正の無限大へ発散する関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大\(+\infty \)へ発散する（diverge to positive infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
+\infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(+\infty \)を正の無限極限（positive infinite limit）と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるとともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left(x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left(x\right) \)の値が限りなく大きくなる様子を表現するためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として実数\(M\in \mathbb{R} \)を導入します。その上で、\begin{equation*}f\left( x\right) >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left(x\right) \rightarrow +\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(M,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f\left(
x\right) >M\right)
\end{equation*}となります。

さて、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(M\)としてどれほど大きい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow+\infty \)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow
f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

先の命題中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)に対して\(x<a\)または\(x>a\)のどちらか一方が成り立ちます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際には、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、先の命題において、\(x\)がどのような経路をたどって\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}など、あらゆる経路が起こり得ることを想定した表現になっています。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow
f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。

負の無限大へ発散する関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大\(-\infty \)へ発散する（diverge to negative infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
-\infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(-\infty \)を負の無限極限（negative infinite limit）と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるとともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left(x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left(x\right) \)の値が限りなく大きくなる様子を表現するためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として実数\(m\in \mathbb{R} \)を導入します。その上で、\begin{equation*}f\left( x\right) <m
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)は\(m\)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left(x\right) \rightarrow +\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(m,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(m\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)は\(m\)よりも小さくなるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)は\(m\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f\left(
x\right) <m\right)
\end{equation*}となります。

さて、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)となる場合には、最初に設定する\(m\)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(m\)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow-\infty \)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)は\(m\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall m\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow
f\left( x\right) <m\right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

先の命題中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)に対して\(x<a\)または\(x>a\)のどちらか一方が成り立ちます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際には、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、先の命題において、\(x\)がどのような経路をたどって\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}など、あらゆる経路が起こり得ることを想定した表現になっています。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall m\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow
f\left( x\right) <m\right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall m<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <m\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す実数\(m\)として負の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。

振動する関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束せず、正の無限大へ発散せず、また、負の無限大へも発散しない場合、この関数\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に振動する（oscillating）と言います。

以下は振動する関数の例です。

演習問題