対数関数の定義と具体例

対数関数

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、全区間上に指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義することができます。

指数関数\(a^{x}\)は狭義単調関数ですが、狭義単調関数は単射であるため\(a^{x}\)は単射です。また、指数関数\(a^{x}\)の値域は\(\mathbb{R} _{++}\)ですが、関数の終集合を値域に制限すれば全射になるため、\begin{equation}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++} \quad \cdots (1)
\end{equation}は全射です。以上より、\(\left( 1\right) \)は単射かつ全射であること、すなわち全単射であることが明らかになりました。全単射には逆関数が存在するため、\(\left( 1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}\log _{a}\left( y\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これを\(a\)を底とする対数関数（logarithmic function with base \(a\)）と呼びます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y=a^{x}\Leftrightarrow x=\log _{a}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。逆関数は全単射であるため、対数関数\(\ln _{a}\left(y\right) \)は全単射です。

2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、\(a\)を底とする対数関数を、\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもできます。この場合、対数関数\(\log _{a}\left( x\right) \)の逆関数である指数関数は、\begin{equation*}a^{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}と表記されます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=a^{y}\Leftrightarrow y=\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例（自然指数関数）

ネイピア数\(e\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(e\)を底とする対数関数\begin{equation*}\log _{e}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを自然対数関数（natural logarithmic function）と呼びます。自然対数関数を、\begin{equation*}
\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもできます。この関数のグラフは以下の通りです。

自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)の逆関数は自然指数関数\begin{equation*}e^{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}です。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=e^{y}\Leftrightarrow y=\ln \left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\ln \left( 1\right) &=&0\quad \because 1=e^{0} \\
\ln \left( e\right) &=&1\quad \because e=e^{1}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例（常用対数）

\(10\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(10\)を底とする対数関数\begin{equation*}\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを常用対数関数（common logarithm function）と呼びます。この関数のグラフは以下の通りです。

常用対数\(\log _{10}\left( x\right) \)の逆関数は\(10\)を底とする指数関数\begin{equation*}10^{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}です。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=10^{y}\Leftrightarrow y=\log _{10}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\log _{10}\left( 10\right) &=&1\quad \because 10=10^{1} \\
\log _{10}\left( 100\right) &=&2\quad \because 100=10^{2} \\
\log _{10}\left( \frac{1}{10}\right) &=&-1\quad \because \frac{1}{10}=10^{-1} \\
\log _{10}\left( \frac{1}{100}\right) &=&-2\quad \therefore \frac{1}{100}=10^{-2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例（二進対数）

\(2\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(2\)を底とする対数関数\begin{equation*}\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを二進対数関数（binary logarithm function）と呼びます。この関数のグラフは以下の通りです。

二進対数\(\log _{2}\left( x\right) \)の逆関数は\(2\)を底とする指数関数\begin{equation*}2^{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}です。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=2^{y}\Leftrightarrow y=\log _{2}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\log _{2}\left( 2\right) &=&1\quad \because 2=2^{1} \\
\log _{2}\left( 4\right) &=&2\quad \because 4=2^{2} \\
\log _{2}\left( \frac{1}{2}\right) &=&-1\quad \because \frac{1}{2}=2^{-1} \\
\log _{2}\left( \frac{1}{4}\right) &=&-2\quad \therefore \frac{1}{4}=2^{-2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例（対数関数）

\(\frac{1}{2}\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(\frac{1}{2}\)を底とする対数関数\begin{equation*}\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

対数関数\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) \)の逆関数は\(\frac{1}{2}\)を底とする指数関数\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}です。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=\left( \frac{1}{2}\right) ^{y}\Leftrightarrow y=\log _{\frac{1}{2}}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\log _{\frac{1}{2}}\left( 2\right) &=&-1\quad \because 2=\left( \frac{1}{2}\right) ^{-1} \\
\log _{\frac{1}{2}}\left( 4\right) &=&-2\quad \because 4=\left( \frac{1}{2}\right) ^{-2} \\
\log _{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2}\right) &=&1\quad \because \frac{1}{2}=\left( \frac{1}{2}\right) ^{1} \\
\log _{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{4}\right) &=&2\quad \therefore \frac{1}{4}=\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

対数関数は狭義の単調関数

対数関数は狭義の単調関数です。ただし、底が\(1\)より大きい場合には狭義単調増加関数であり、底が\(1\)より小さい場合には狭義単調減少関数です。

対数関数の値域

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a_{1}\right) \ a^{0}=1 \\
&&\left( b_{1}\right) \ a^{1}=a
\end{eqnarray*}をともに満たします。数関数\(\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はその逆関数であるため、逆関数の定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a_{2}\right) \ \log _{a}\left( 1\right) =0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \log _{a}\left( a\right) =1
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは任意の対数関数\(\log _{a}\left( x\right) \)のグラフが点\(\left( 1,0\right) \)および点\(\left( a,1\right) \)を通過することを意味します。

対数関数の値域は\(\mathbb{R} \)です。つまり、対数関数は任意の実数を値としてとり得ます。

例（対数関数のグラフ）

関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\ln \left( x\right) \)は対数関数であるため値域は\(\mathbb{R} \)です。また、底が\(e>1\)を満たすため\(\ln \left( x\right) \)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left( 1,0\right) \)および点\(\left( e,1\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（対数関数のグラフ）

関数\(\log _{10}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\log _{10}\left( x\right) \)は対数関数であるため値域は\(\mathbb{R} \)です。また、底が\(10>1\)を満たすため\(\log _{10}\left( x\right) \)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left( 1,0\right) \)および点\(\left( 10,1\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（対数関数のグラフ）

関数\(\log _{2}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\log _{2}\left( x\right) \)は対数関数であるため値域は\(\mathbb{R} \)です。また、底が\(2>1\)を満たすため\(\log _{2}\left( x\right) \)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left( 1,0\right) \)および点\(\left( 2,1\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（対数関数のグラフ）

関数\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) \)は対数関数であるため値域は\(\mathbb{R} \)です。また、底が\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため\(\log _{\frac{1}{2}}\left( x\right) \)は狭義の単調減少関数です。加えて、そのグラフは点\(\left(1,0\right) \)および点\(\left( \frac{1}{2},1\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

対数法則

指数法則を再掲します。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall x,y\in \mathbb{R} :a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall x,y\in \mathbb{R} :\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( a^{x}\right) ^{y}=a^{xy} \\
&&\left( d\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} _{++},\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( ab\right) ^{x}=a^{x}b^{x} \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} _{++},\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}
\end{eqnarray*}

対数関数は指数関数の逆関数であることを踏まえると、指数法則より以下が導かれます。これを対数法則（logarithmic law）と呼びます。

対数関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。さらに、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、対数関数\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域が\(\log _{a}\left( x\right) \)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\log _{a}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \log _{a}\circ f\right) \left( x\right) =\log _{a}\left( f\left(
x\right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、対数関数\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\log _{a}\left( x\right) \)の値域は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)と一致するため、この場合には合成関数\begin{equation*}f\circ \log _{a}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ \log _{a}\right) \left( x\right) =f\left( \log _{a}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。

演習問題