教材一覧
教材一覧
教材検索

関数

上半連続性・下半連続性を用いた関数の連続性の判定

目次

Twitter
Mailで保存

関数の上半連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値が\(c\)以上になるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}U\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する上方位集合(uppercontour set)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する上方位集合\(U\left( c\right) \)が\(X\)上の閉集合である場合、そのような関数\(f\)は上半連続である(upper semi-continuous)であると言います。

例(上半連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします(下図)。

図:関数
図:関数

この関数\(f\)が上半連続であることを示します。\(c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \quad \because c\leq 0
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(0<c\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&(-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の無限半閉区間は閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合の和集合もまた閉集合であるため、\((-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\)すなわち\(U\left(c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が上半連続であることが示されました。

例(上半連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします(下図)。

図:関数
図:関数

この関数\(f\)が上半連続であることを示します。\(c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \quad \because c\leq 0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(0<c\leq 1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&(-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \left\{ 0\right\} \cup \lbrack \sqrt{c},+\infty
)\quad \because 0<c\leq 1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の1点集合と無限半閉区間は閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合の和集合もまた閉集合であるため、\((-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。最後に、\(c>1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&(-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\quad \because c>1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の無限半閉区間は閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合の和集合もまた閉集合であるため、\((-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\)すなわち\(U\left(c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が上半連続であることが示されました。

逆に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が上半連続でないこととは、少なくとも1つの実数\(c\in \mathbb{R} \)について、その上方位集合\begin{equation*}U\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq c\right\}
\end{equation*}が\(X\)上の閉集合ではないことを意味します。

例(上半連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
-1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします(下図)。

図:関数
図:関数

この関数\(f\)は上半連続ではありません。実際、\(-1<c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right) \quad \because
-1<c\leq 0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の無限半開区間は開集合であり、なおかつ開集合の和集合もまた開集合であるため、\(\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 0,+\infty\right) \)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり閉集合ではありません。したがって、\(f\)は上半連続ではないことが明らかになりました。

以上の3つの例が示唆するように、関数\(f\)が上半連続であることとは\(f\)のグラフが途切れずにつながっている(最初の例)か、途切れている場合においても上方にジャンプしている(2番目の例)ことを意味します。グラフが途切れており、なおかつそこで下方へジャンプしている場合(3番目の例)、その関数\(f\)は上半連続ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値が\(c\)より小さくなるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}L_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) <c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する狭義下方位集合(strict lower contour set)と呼びます。

関数が上半連続であることは、狭義下方位集合を用いて以下のように表現することもできます。

命題(狭義下方位集合を用いた上半連続関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義下方位集合\(L_{s}\left( c\right) \)が\(X\)上の開集合であることは、\(f\)が上半連続関数であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

関数の下半連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値が\(c\)以下になるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}L\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \leq c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する下方位集合(lowercontour set)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する下方位集合\(L\left( c\right) \)が\(X\)上の閉集合である場合、そのような関数\(f\)は下半連続である(lower semi-continuous)であると言います。

例(下半連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします(下図)。

図:関数
図:関数

この関数\(f\)が下半連続であることを示します。\(c<0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because L\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\leq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\phi \quad \because c<0
\end{eqnarray*}となりますが、空集合\(\phi \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(c\geq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\leq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間は閉集合であるため、\(\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が下半連続であることが示されました。

例(下半連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
-1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします(下図)。

図:関数
図:関数

この関数\(f\)が下半連続であることを示します。\(c<-1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because L\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\phi \quad \because c<-1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、空集合\(\phi \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(-1\leq c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\} \quad \because -1\leq c\leq 0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の1点集合は閉集合であるため、\(\left\{ 0\right\} \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。最後に、\(c>0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \quad \because c>0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間は閉集合であるため、\(\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が下半連続であることが示されました。

逆に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が下半連続でないこととは、少なくとも1つの実数\(c\in \mathbb{R} \)について、その下方位集合\begin{equation*}L\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \leq c\right\}
\end{equation*}が\(X\)上の閉集合ではないことを意味します。

例(下半連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします(下図)。

図:関数
図:関数

この関数\(f\)は下半連続ではありません。実際、\(0<c<1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because L\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&[-\sqrt{c},0)\cup (0,\sqrt{c}]\quad \because 0<c<1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)上の有界半閉区間は開集合であり、なおかつ開集合の和集合もまた開集合であるため、\([-\sqrt{c},0)\cup (0,\sqrt{c}]\)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり閉集合ではありません。したがって、\(f\)は下半連続ではないことが明らかになりました。

上の3つの例が示唆するように、関数\(f\)が下半連続であることとは\(f\)のグラフが途切れずにつながっている(最初の例)か、途切れている場合においても下方にジャンプしている(2番目の例)ことを意味します。グラフが途切れており、なおかつそこで上方へジャンプしている場合(3番目の例)、その関数\(f\)は下半連続ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値が\(c\)より大きくなるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}U_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) >c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する狭義上方位集合(strict upper contour set)と呼びます。

関数が下半連続であることは、狭義上方位集合を用いて以下のように表現することもできます。

命題(狭義上方位集合を用いた下半連続関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義上方位集合\(U_{s}\left( c\right) \)が\(X\)上の開集合であることは、\(f\)が下半連続関数であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

上半連続性および下半連続性と連続性の関係

これまで例を通じて確認したように、関数\(f\)が上半連続であることとは\(f\)のグラフが途切れずにつながっているか、途切れている場合においても上方にジャンプしていることを意味します。一方、関数\(f\)が下半連続であることとは、\(f\)のグラフが途切れずにつながっているか、途切れている場合においても下方にジャンプしていることを意味します。したがって、関数\(f\)が上半連続かつ下半連続であることとは、\(f\)のグラフが途切れずにつながっており、上方や下方にジャンプしていないことを意味しますが、これは関数\(f\)が連続であることの直感的な意味と合致します。つまり、上半連続かつ下半連続であることは連続であることを意味するのではないかという推測が立ちます。実際、これは正しい主張です。

開集合上で定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は連続である}
\\
&&\left( b\right) \ \text{任意の開集合}Y\subset \mathbb{R} \text{の逆像}f^{-1}\left( Y\right) \text{は}X\text{上の開集合である} \\
&&\left( c\right) \ \text{任意の閉集合}Y\subset \mathbb{R} \text{の逆像}f^{-1}\left( Y\right) \text{は}X\text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}は互いに必要十分です。以上を踏まえた上で、\(f\)が上半連続かつ下半連続であることと\(f\)が連続であることが必要十分であることを示します。

命題(上半連続性および下半連続性と連続性の関係)
開集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\(f\)が上半連続かつ下半連続であることは、\(f\)が連続であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント