関数の上半連続性
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)が\(c\)以上になるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}U\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する上方位集合（upper contour set）と呼びます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する上方位集合\(U\left( c\right) \)が\(X\)上の閉集合である場合、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :U\left( c\right) \in \mathcal{A}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は\(X\)上において上半連続である（upper semi-continuous）であると言います。ただし、\(\mathcal{A}\left( X\right) \)は\(X\)の閉集合系です。
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\begin{equation*}
U\left( c\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\}
\end{equation*}であり、\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の閉集合系です。
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
この関数\(f\)が上半連続であることを示します。\(c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \quad \because c\leq 0
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(c>0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&(-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\quad \because c>0
\end{eqnarray*}となりますが、無限半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合の和集合もまた閉集合であるため、\((-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が上半連続であることが示されました。
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
この関数\(f\)が上半連続であることを示します。\(c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \quad \because c\leq 0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\mathbb{R} \)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(0<c\leq 1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&(-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \left\{ 0\right\} \cup \lbrack \sqrt{c},+\infty
)\quad \because 0<c\leq 1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、1点集合と区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合の和集合もまた閉集合であるため、\((-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。最後に、\(c>1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&(-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\quad \because c>1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、無限半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合の和集合もまた閉集合であるため、\((-\infty ,-\sqrt{c}]\cup \lbrack \sqrt{c},+\infty )\)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が上半連続であることが示されました。
逆に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が上半連続でないこととは、少なくとも1つの実数\(c\in \mathbb{R} \)について、その上方位集合\begin{equation*}U\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq c\right\}
\end{equation*}が\(X\)上の閉集合ではないことを意味します。
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
-1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
この関数\(f\)は上半連続ではありません。実際、\(-1<c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}U\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right) \quad \because
-1<c\leq 0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、無限半開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり、なおかつ開集合の和集合もまた開集合であるため、\(\left( -\infty ,0\right) \cup\left( 0,+\infty \right) \)すなわち\(U\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり閉集合ではありません。したがって、\(f\)は上半連続ではないことが明らかになりました。
以上の3つの例が示唆するように、関数\(f\)が上半連続であることとは\(f\)のグラフが定義域上において途切れずにつながっている（最初の例）か、途切れている場合においても上方にジャンプしている（2番目の例）ことを意味します。グラフが途切れており、なおかつそこで下方へジャンプしている場合（3番目の例）、その関数\(f\)は上半連続ではありません。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値が\(c\)より小さくなるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}L_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) <c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する狭義下方位集合（strict lower contour set）と呼びます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義下方位集合\(L_{s}\left( c\right) \)が\(X\)上の開集合であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :L_{s}\left( c\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(X\)上において上半連続関数であるための必要十分条件です。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)の開集合系です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(\mathbb{R} \)上において上半連続関数であるための必要十分条件です。ただし、\begin{equation*}L_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <c\right\}
\end{equation*}であり、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の開集合系です。
関数の下半連続性
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値が\(c\)以下になるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}L\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \leq c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する下方位集合（lower contour set）と呼びます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する下方位集合\(L\left( c\right) \)が\(X\)上の閉集合である場合、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :L\left( c\right) \in \mathcal{A}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は\(X\)上において下半連続である（lower semi-continuous）であると言います。ただし、\(\mathcal{A}\left( X\right) \)は\(X\)の閉集合系です。
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
この関数\(f\)が下半連続であることを示します。\(c<0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because L\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\leq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\phi \quad \because c<0
\end{eqnarray*}となりますが、空集合\(\phi \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(c\geq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\leq c\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \quad \because c\geq 0
\end{eqnarray*}となりますが、有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、\(\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が下半連続であることが示されました。
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
-1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
この関数\(f\)が下半連続であることを示します。\(c<-1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because L\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\phi \quad \because c<-1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、空集合\(\phi \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。続いて、\(-1\leq c\leq 0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\} \quad \because -1\leq c\leq 0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、1点集合は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、\(\left\{ 0\right\} \)すなわち\(L\left(c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。最後に、\(c>0\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because U\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \quad \because c>0\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、\(\left[ -\sqrt{c},\sqrt{c}\right] \)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。他に\(c\)は存在しないため、\(f\)が下半連続であることが示されました。
逆に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が下半連続でないこととは、少なくとも1つの実数\(c\in \mathbb{R} \)について、その下方位集合\begin{equation*}L\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \leq c\right\}
\end{equation*}が\(X\)上の閉集合ではないことを意味します。
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
この関数\(f\)は下半連続ではありません。実際、\(0<c<1\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}L\left( c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \leq c\right\} \quad \because L\left( c\right) \text{の定義} \\
&=&[-\sqrt{c},0)\cup (0,\sqrt{c}]\quad \because 0<c<1\text{および}f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、有界半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり、なおかつ開集合の和集合もまた開集合であるため、\([-\sqrt{c},0)\cup (0,\sqrt{c}]\)すなわち\(L\left( c\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり閉集合ではありません。したがって、\(f\)は下半連続ではないことが明らかになりました。
上の3つの例が示唆するように、関数\(f\)が下半連続であることとは\(f\)のグラフが定義上において途切れずにつながっている（最初の例）か、途切れている場合においても下方にジャンプしている（2番目の例）ことを意味します。グラフが途切れており、なおかつそこで上方へジャンプしている場合（3番目の例）、その関数\(f\)は下半連続ではありません。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を選べば、\(f\)が定める値が\(c\)より大きくなるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合\begin{equation*}U_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) >c\right\}
\end{equation*}を定義できます。これを関数\(f\)の\(c\)に関する狭義上方位集合（strict upper contour set）と呼びます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義上方位集合\(U_{s}\left( c\right) \)が\(X\)上の開集合であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :U_{s}\left( c\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(X\)上において下半連続関数であるための必要十分条件です。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)の開集合系です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(\mathbb{R} \)上において下半連続関数であるための必要十分条件です。ただし、\begin{equation*}U_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >c\right\}
\end{equation*}であり、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の開集合系です。
上半連続性および下半連続性と連続性の関係
これまで例を通じて確認したように、関数\(f\)が上半連続であることとは\(f\)のグラフが定義域上において途切れずにつながっているか、途切れている場合においても上方にジャンプしていることを意味します。一方、関数\(f\)が下半連続であることとは、\(f\)のグラフが定義域上において途切れずにつながっているか、途切れている場合においても下方にジャンプしていることを意味します。したがって、関数\(f\)が上半連続かつ下半連続であることとは、\(f\)のグラフが途切れずにつながっており、上方や下方にジャンプしていないことを意味しますが、これは関数\(f\)が連続であることの直感的な意味と合致します。つまり、上半連続かつ下半連続であることは連続であることを意味するのではないかという推測が立ちます。実際、これは正しい主張です。
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
先に示したように\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において上半連続かつ下半連続であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続です。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上において上半連続ではないか、下半連続ではないか、その少なくとも一方である場合には、先の命題より、\(f\)は\(X\)上において連続ではありません。
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
先に示したように\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において上半連続である一方で下半連続ではないため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続ではありません。
\begin{array}{cc}
x^{2} & if\ x\not=0 \\
-1 & if\ x=0\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします（下図）。
先に示したように\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において下半連続である一方で上半連続ではないため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続ではありません。
