区間上に定義された連続な狭義単調関数の逆関数の連続性
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射であるならば、終集合を値域に制限して\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right)
\end{equation*}とすることにより全単射になるため、逆関数\begin{equation*}
f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X
\end{equation*}の存在を保証できるとともに、\(f^{-1}\)もまた全単射になります。では、どのような条件のもとで逆関数\(f^{-1}\)は連続関数になるのでしょうか。順番に考えます。
区間上に定義された狭義単調関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は狭義単調増加または狭義単調減少であるということです。狭義単調関数は単射であるため、終集合を値域に制限して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow f\left( I\right)
\end{equation*}とすることにより全単射になるため、逆関数\begin{equation*}
f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow I
\end{equation*}の存在を保証できるとともに、\(f^{-1}\)もまた狭義単調関数になります。特に、\(f\)が狭義単調増加ならば\(f^{-1}\)もまた狭義単調増加であり、\(f\)が狭義単調減少ならば\(f^{-1}\)もまた狭義単調減少です。
以上の条件に加えて、\(f\)は定義域である区間\(I\)上で連続であるものとします。連続関数による区間の像は区間であるため、\(f\)の値域\(f\left( I\right) \)すなわち\(f^{-1}\)の定義域もまた区間になります。さらに、この場合には逆関数\(f^{-1}\)が連続になることが保証されます。
\end{equation*}という形で表されるものとします。つまり、\(f\)は自然数ベキ関数です。\(f\)は狭義単調増加関数であり値域は区間\([0,+\infty )\)であるため、逆関数\(f^{-1}:[0,+\infty )\rightarrow\lbrack 0,+\infty )\)が存在して、これはそれぞれの\(y\in \lbrack0,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =y^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(f^{-1}\)は無理関数であり、これもまた狭義単調増加関数です。\(f\)は多項式関数でもあるため定義域上で連続です。したがって、先の命題より、\(f^{-1}\)もまた定義域上で連続です。
定義域が区間ではない場合
区間上に定義された連続な狭義単調関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)に対しては、その逆関数\(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow I\)もまた区間上に定義された連続な狭義単調関数になることが明らかになりました。関数\(f\)の定義域が区間とは限らない一般の集合である場合には、同様の主張は成り立つとは限りません。つまり、区間ではない集合上に定義された連続な狭義単調関数\(f\)に関しては、その逆関数\(f^{-1}\)は連続になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\in \lbrack 0,1)\right) \\
x-1 & \left( if\ x\in \left[ 2,3\right] \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\([0,1)\cup \left[ 2,3\right] \)は区間ではないものの、\(f\)は定義域上において連続な狭義単調増加関数です。\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( [0,1)\cup \left[ 2,3\right] \right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であるため、逆関数\(f^{-1}:\left[ 0,2\right] \rightarrow \lbrack 0,1)\cup \left[ 2,3\right] \)が存在し、これは狭義単調増加関数になります。具体的には、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in \left[0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ x\in \lbrack 0,1)\right) \\
y+1 & \left( if\ x\in \left[ 1,2\right] \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{-1}\)は定義域上の点\(1\)において連続ではありません。したがって、区間ではない集合上に定義された連続な狭義単調関数に関しては、その逆関数は連続であるとは限らないことが明らかになりました。
連続な狭義単調関数\(f\)の逆関数\(f^{-1}\)が連続になることを保証するためには、関数\(f\)の定義域は区間でなければならないのでしょうか。連続な狭義単調関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域が開集合である場合にも、その逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が連続であることが保証されます。
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\in \left( 0,1\right) \right) \\
x-1 & \left( if\ x\in \left( 2,3\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left( 0,1\right) \cup\left( 2,3\right) \)は区間ではないものの開集合ではあります。\(f\)は定義域上において連続な狭義単調増加関数です。\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \left( 0,1\right) \cup \left( 2,3\right) \right) =\left( 0,1\right)
\cup \left( 1,2\right)
\end{equation*}であるため、逆関数\(f^{-1}:\left( 0,1\right) \cup \left( 1,2\right) \rightarrow \left(0,1\right) \cup \left( 2,3\right) \)が存在し、これは狭義単調増加関数になります。具体的には、\(f^{-1}\)はそれぞれの\(y\in \left( 0,1\right) \cup \left( 1,2\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ x\in \left( 0,1\right) \right) \\
y+1 & \left( if\ x\in \left( 1,2\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(f^{-1}\)は定義域\(\left( 0,1\right) \cup \left( 1,2\right) \)上において連続ですが、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
関数が一般の単射である場合
区間上に定義された連続な狭義単調関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)に対しては、その逆関数\(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow I\)もまた区間上に定義された連続な狭義単調関数であることが明らかになりました。では、関数\(f\)が狭義単調関数であるとは限らない一般の単射である場合にも同様の主張が成り立つのでしょうか。
区間上に定義された連続な単射\(f\)は必ず狭義単調関数になります。つまり\(f\)は区間上に定義された連続な狭義単調関数であるため、先の命題より、\(f^{-1}\)は区間上で定義された狭義単調関数であるとともに、定義域\(f\left( I\right) \)上で連続になります。
ちなみに、この命題は\(f\)の定義域が区間であるという条件に依存しています。\(f\)の定義域が開集合である場合、同様の主張は成り立つとは限りません。つまり、開集合上に定義された連続な単射は狭義単調関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\in \left( 1,2\right) \right) \\
-x+6 & \left( if\ x\in \left( 3,4\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left( 1,2\right) \cup\left( 3,4\right) \)は区間ではないものの開集合ではあります。\(f\)は定義域上において連続な単射です。その一方で、\(f\)は狭義単調関数ではありません。実際、\(f\)は\(\left( 1,2\right) \)上において狭義単調増加である一方で\(\left( 3,4\right) \)上で狭義単調減少です。
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