無限大における関数の上極限と下極限

正の無限大における関数の上極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、この関数\(f\)は\(\left( a,+\infty \right) \)上において有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{equation*}f\left( \left( a,+\infty \right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a,+\infty \right) \right\}
\end{equation*}が有界である状況を想定します。

点\(a\)より大きい実数\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、関数\(f\)は\(t\)以上の任意の実数において定義されているため、それらの値に対して関数\(f\)が定める値からなる集合\begin{equation*}f\left( \left( t,+\infty \right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( t,+\infty \right) \right\}
\end{equation*}が非空になることが保証されます。この集合は先の有界集合\(f\left( \left( a,+\infty \right) \right) \)の部分集合であるため有界であり、したがってその上限\begin{equation*}S\left( t\right) =\sup f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まります。

\(t>a\)を満たすそれぞれの\(t\)に対して先の上限\(S\left(t\right) \)を特定することにより、それぞれの\(t\in \left(a,+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}S\left( t\right) =\sup f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
S:\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(t\)を大きくするほど集合\(\left(t,+\infty \right) \)は小さくなるため集合\(f\left( \left( t,+\infty \right) \right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\sup f\left( \left(t,+\infty \right) \right) \)すなわち\(S\left( t\right) \)の値もまた小さくなっていきます。そこで、この関数\(S\)の\(t\rightarrow+\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow +\infty }S\left( t\right) =\lim_{t\rightarrow +\infty
}\sup f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow +\infty \)の場合の上極限（limit superior）と呼び、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\sup f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
+\infty }S\left( t\right) \\
&=&\lim_{t\rightarrow +\infty }\sup f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{eqnarray*}で表記します。

正の無限大における関数の下極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、この関数\(f\)は\(\left( a,+\infty \right) \)上において有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{equation*}f\left( \left( a,+\infty \right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a,+\infty \right) \right\}
\end{equation*}が有界である状況を想定します。

点\(a\)より大きい実数\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、関数\(f\)は\(t\)以上の任意の実数において定義されているため、それらの値に対して関数\(f\)が定める値からなる集合\begin{equation*}f\left( \left( t,+\infty \right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( t,+\infty \right) \right\}
\end{equation*}が非空になることが保証されます。この集合は先の有界集合\(f\left( \left( a,+\infty \right) \right) \)の部分集合であるため有界であり、したがってその下限\begin{equation*}s\left( t\right) =\inf f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まります。

\(t>a\)を満たすそれぞれの\(t\)に対して先の上限\(S\left(t\right) \)を特定することにより、それぞれの\(t\in \left(a,+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}s\left( t\right) =\inf f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
s:\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(t\)を大きくするほど集合\(\left(t,+\infty \right) \)は小さくなるため集合\(f\left( \left( t,+\infty \right) \right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\sup f\left( \left(t,+\infty \right) \right) \)すなわち\(S\left( t\right) \)の値は大きくなっていきます。そこで、この関数\(s\)の\(t\rightarrow +\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow +\infty }s\left( t\right) =\lim_{t\rightarrow +\infty
}\inf f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow +\infty \)の場合の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\inf f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
+\infty }s\left( t\right) \\
&=&\lim_{t\rightarrow +\infty }\inf f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{eqnarray*}で表記します。

負の無限大における関数の上極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、この関数\(f\)は\(\left( -\infty ,a\right) \)上において有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{equation*}f\left( \left( -\infty ,a\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\infty ,a\right) \right\}
\end{equation*}が有界である状況を想定します。

点\(a\)より小さい実数\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、関数\(f\)は\(t\)以下の任意の実数において定義されているため、それらの値に対して関数\(f\)が定める値からなる集合\begin{equation*}f\left( \left( -\infty ,t\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\infty ,t\right) \right\}
\end{equation*}が非空になることが保証されます。この集合は先の有界集合\(f\left( \left( -\infty ,a\right) \right) \)の部分集合であるため有界であり、したがってその上限\begin{equation*}S\left( t\right) =\sup f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まります。

\(t<a\)を満たすそれぞれの\(t\)に対して先の上限\(S\left(t\right) \)を特定することにより、それぞれの\(t\in \left(-\infty ,t\right) \)に対して、\begin{equation*}S\left( t\right) =\sup f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
S:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,t\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(t\)を小さくするほど集合\(\left(-\infty ,t\right) \)は小さくなるため集合\(f\left( \left( -\infty ,t\right) \right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\sup f\left( \left( -\infty,t\right) \right) \)すなわち\(S\left( t\right) \)の値もまた小さくなっていきます。そこで、この関数\(S\)の\(t\rightarrow-\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow -\infty }S\left( t\right) =\lim_{t\rightarrow -\infty
}\sup f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow -\infty \)の場合の上極限（limit superior）と呼び、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\sup f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
-\infty }S\left( t\right) \\
&=&\lim_{t\rightarrow -\infty }\sup f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{eqnarray*}で表記します。

負の無限大における関数の下極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、この関数\(f\)は\(\left( -\infty ,a\right) \)上において有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{equation*}f\left( \left( -\infty ,a\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\infty ,a\right) \right\}
\end{equation*}が有界である状況を想定します。

点\(a\)より小さい実数\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、関数\(f\)は\(t\)以下の任意の実数において定義されているため、それらの値に対して関数\(f\)が定める値からなる集合\begin{equation*}f\left( \left( -\infty ,t\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\infty ,t\right) \right\}
\end{equation*}が非空になることが保証されます。この集合は先の有界集合\(f\left( \left( -\infty ,a\right) \right) \)の部分集合であるため有界であり、したがってその下限\begin{equation*}s\left( t\right) =\inf f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まります。

\(t<a\)を満たすそれぞれの\(t\)に対して先の下限\(s\left(t\right) \)を特定することにより、それぞれの\(t\in \left(-\infty ,t\right) \)に対して、\begin{equation*}s\left( t\right) =\inf f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
s:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,t\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(t\)を小さくするほど集合\(\left(-\infty ,t\right) \)は小さくなるため集合\(f\left( \left( -\infty ,t\right) \right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\inf f\left( \left( -\infty,t\right) \right) \)すなわち\(s\left( t\right) \)の値は大きくなっていきます。そこで、この関数\(s\)の\(t\rightarrow -\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow -\infty }s\left( t\right) =\lim_{t\rightarrow -\infty
}\inf f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow -\infty \)の場合の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\sup f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
-\infty }s\left( t\right) \\
&=&\lim_{t\rightarrow -\infty }\inf f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{eqnarray*}で表記します。

関数の無限大における上極限や下極限は有限な実数として定まるとは限らない

無限大における関数の上極限や下極限は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

関数の無限大における上極限と下極限が有限であるための必要十分条件

関数の正の無限大における上極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。

関数の正の無限大における下極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。証明は先の命題と同様です。

関数の負の無限大における上極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。証明は先の命題と同様です。

関数の負の無限大における下極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。証明は先の命題と同様です。

無限大における上極限と下極限の特徴づけ

関数の正の無限大における上極限を以下のように表現できます。

関数の正の無限大における下極限を以下のように表現できます。証明は先の命題と同様です。

関数の負の無限大における上極限を以下のように表現できます。証明は先の命題と同様です。

関数の負の無限大における下極限を以下のように表現できます。証明は先の命題と同様です。

関数の無限大における上極限と下極限は一致するとは限らない

関数の無限大における上極限と下極限が有限な実数として定まる場合、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ます。

まずは、上極限と下極限が一致する関数の例を挙げます。

続いて、上極限と下極限が異なる関数の例です。

関数の無限大における上極限は下極限以上

関数の無限大における上極限と下極限が有限な実数として定まる場合、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ることが明らかになりました。ただ、関数の正の無限大における上極限は必ず下極限以上になります。

同様に、関数の負の無限大における上極限は必ず下極限以上になります。

演習問題