上極限と下極限を用いた関数の収束判定

局所有界な関数は収束するとは限らない

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

このような関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において局所有界であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X:m\leq f\left(
x\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する場合、その関数\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界になることが保証されます。一方、点\(a\)の周辺において局所有界な関数\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するとは限りません。

まずは、局所有界かつ有限な実数へ収束する関数の例を挙げます。

続いて、局所有界である一方で有限な実数へ収束しない関数の例を挙げます。

上極限と下極限を用いた関数の収束判定

局所有界な関数の中には有限な実数へ収束するものと有限な実数へ収束しないものの双方が存在することが明らかになりました。では、局所有界な関数を対象とした場合、それが有限な実数へ収束することを判定する方法は存在するのでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)の周辺において局所有界である場合には、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の上極限と下極限\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right) \\
\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right)
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まることが保証されますが、両者が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\inf
f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するための必要十分条件です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、関数\(f\)の極限は上極限や下極限と一致します。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)の場合の上極限と下極限がともに有限な実数として定まることは、その関数が点\(a\)の周辺において局所有界であることと必要十分であるため、先の命題を以下のように表現できます。

上極限と下極限を用いた関数の非収束判定

関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する場合、その関数\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界であることが確定します。対偶より、関数\(f\)が点\(a\)の周辺において局所有界ではない場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しません。さて、関数が点\(a\)の周辺において局所有界であることと、その関数の\(x\rightarrow a\)の場合の上極限と下極限がともに有限な実数として定まることは必要十分です。したがって、\(x\rightarrow a\)の場合の上極限や下極限が存在しない場合や有限な実数として定まらない場合、その関数は点\(a\)の周辺において局所有界ではなく、したがって\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しません。

関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)の場合の上極限と下極限がいずれも有限な実数として定まる場合でも、両者の値が異なる場合には、先の命題より、その関数は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しません。

演習問題