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恒等関数の極限

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恒等関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるとき、\(f\)を恒等関数(identity function)と呼びます。つまり、恒等関数とは入力した値と同じ値を返す関数です。

例(恒等関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は恒等関数ではありませんが、\(f\)の定義域を縮小して得られる関数\begin{equation*}
f:\left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}
\end{equation*}は恒等関数です。

 

恒等関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の値において定義されているとき場合には\(f\)が\(a\)において収束するかどうかを検討できますが、\(f\)は常に入力した値と同一の値を返すことを踏まえると、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに\(a\)へ収束しそうです。実際、これは正しい主張です。証明は以下の通りです。

関数の極限の定義より、目標は以下の論理式\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert x-c\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことです。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}
\delta <\varepsilon
\end{equation*}を満たす\(\delta >0\)を選んだとき、\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす任意の\(x\in X\)に対して\(\left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \)は明らかに成り立つため、目標は達成されました。

命題(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)周辺の任意の値において定義されているならば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。
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恒等関数の片側極限

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(恒等関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の値において定義されているならば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が\(a\)より小さい周辺の任意の値において定義されているならば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。
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例(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(a<3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。点\(3\)においては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の片側極限}
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3+}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3\quad \because \text{恒等関数の片側極限}
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため\(f\)は\(x\rightarrow 3\)のときに有限な実数へ収束しません。\(a>3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

恒等関数の無限大における極限

無限大における極限に関しても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(恒等関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が限りなく大きい任意の実数において定義されているならば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の実数において定義されているならば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ。
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例(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}1\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}x\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \text{恒等関数の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。

次回は収束する関数の定数倍として定義される関数もまた収束することを示します。

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