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恒等関数の極限

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恒等関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の値において定義されているとき場合には\(f\)が点\(a\)において収束するかどうかを検討できますが、\(f\)は常に入力した値と同一の値を返すことを踏まえると、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに\(a\)へ収束しそうです。実際、これは正しい主張です。

命題(恒等関数の極限)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の値において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数は定義域上の任意の点において有限な極限を持つということです。
例(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。しかも\(f\)は恒等関数であるため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立ちます。

 

恒等関数の片側極限

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(恒等関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の値において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の値において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立つ。

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例(恒等関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)であり、その点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、恒等関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の左側の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)以下の任意の点において定義されていません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を考えることはできません。一方、\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、恒等関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。同様に、定義域の右側の端点\(1\)についても、恒等関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立ちます。

以下はもう少し複雑な例です。

例(恒等関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(a<3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =1\)であるため、定数関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。また、点\(3\)より小さい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left(x\right) =1\)であるため、定数関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。他方で、点\(3\)より大きい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、恒等関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) =3
\end{equation*}となります。両者は異なるため、\(x\rightarrow 3\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。また、\(a>3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、恒等関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}となります。

 

恒等関数の無限大における極限

無限大における極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(恒等関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が限りなく大きい任意の実数において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の実数において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は限りなく小さい任意の\(x\)において\(f\left(x\right) =1\)であるため、定数関数の負の無限大における極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。\(f\)は限りなく大きい任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、恒等関数の正の無限大における極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立つことを、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\} \)において、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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問題(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&1 \\
f\left( 2\right) &=&2 \\
f\left( 3\right) &=&3 \\
f\left( 4\right) &=&4 \\
f\left( 5\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすものとします。それぞれの点\(a\in\left\{ 1,2,3,4,5\right\} \)において、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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問題(恒等関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} _{+}\)において、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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次回は収束する関数の定数倍として定義される関数もまた収束することを示します。

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入力した値に等しい値を返す関数を恒等関数と呼びます。恒等関数は狭義単調増加関数であるとともに、定義域と値域は一致します。したがって、全区間上に定義された恒等関数は逆関数を持ち、それもまた恒等関数になります。また、恒等関数と任意の関数の合成関数もまた恒等関数になります。

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