関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =a \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =a
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because a>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の右側極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\quad
\because x<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の左側極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しません。また、\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because a<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}1\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}である一方で、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}x\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\infty \quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では数列を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。極限が有限な実数として定まらない場合には、その理由を説明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&1 \\
f\left( 2\right) &=&2 \\
f\left( 3\right) &=&3 \\
f\left( 4\right) &=&4 \\
f\left( 5\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすものとします。それぞれの点\(a\in\left\{ 1,2,3,4,5\right\} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。極限が有限な実数として定まらない場合には、その理由を説明してください。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。極限が有限な実数として定まらない場合には、その理由を説明してください。