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関数のグラフ

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関数のグラフ

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(y=f\left( x\right) \)が真になるような順序対\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を\(f\)のグラフ(graph)と呼びます。\(G\left( f\right) \)は\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、グラフ\(G\left( f\right) \)の定義より、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、順序対\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることは、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であるための必要十分条件です。

例(関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}x+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=\frac{1}{2}x+1\right\}
\end{equation*}となります。これは下図の直線として描かれます。
図:関数のグラフ
図:関数のグラフ
例(関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}+x+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=-x^{2}+x+1\right\}
\end{equation*}となります。これは下図の直線として描かれます。
図:関数のグラフ
図:関数のグラフ

 

関数のグラフの特徴づけ

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)は直積\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数の定義より、\(x\in X\)を任意に選んだとき、それに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ定まります。関数のグラフの定義より、これは、\(x\in X\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( x,y\right)\in G\left( f\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ定まることを意味します。逆に、直積\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という性質を満たすものとします。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号です。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\)を\(f\left( x\right) \)として定める規則\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定めれば、これは\(X\)から\(\mathbb{R} \)への写像になります。したがって以下の命題を得ます。

命題(関数のグラフの特徴づけ)
集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、集合\(G\subset X\times \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}を満たすことは、\(G=G\left(f\right) \)を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するための必要十分条件である。

上の命題より、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という条件を満たす直積\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)と同一視することができます。

例(関数のグラフ)
直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。図より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)は1つずつ存在するため、上の命題より、これは何らかの関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフです。
図:関数のグラフ
図:関数のグラフ
例(関数のグラフ)
直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。図より、\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)は一意的に定まるとは限らないため、上の命題より、この\(G\)をグラフとするような関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。
図:関数のグラフではない
図:関数のグラフではない

 

演習問題

問題(関数のグラフ)
関数\(f:\left\{ 1,3,5,7\right\} \rightarrow \left\{1,3,5,7,9,11\right\} \)はそれぞれの\(x\in\left\{ 1,3,5,7\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+2
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフ\(G\left( f\right) \)の要素をすべて特定してください。
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問題(関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフを\(G\left( f\right) \)で表記するとき、以下がそれぞれ成り立つか検証してください。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( 1,1\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( b\right) \ \left( 1,0\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( c\right) \ \left( 2,1\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( d\right) \ \left( 2,-3\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( e\right) \ \left( -1,0\right) \in G\left( f\right)
\end{eqnarray*}
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問題(関数のグラフ)
集合\(G\subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\left\{ \left( -7,3\right) ,\left( 5,1\right) ,\left( 1,5\right) ,\left(
-2,1\right) ,\left( 5,-2\right) \right\} \subset G
\end{equation*}を満たすものとします。この\(G\)をグラフとして持つような関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在しないことを示してください。
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問題(関数のグラフ)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)に対して、以下の集合の中に\(A\)から\(A\)への関数のグラフは存在しますか。理由とともに明らかにしてください。
  1. \(\left\{ \left( 2,3\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 2,1\right),\left( 3,2\right) ,\left( 4,4\right) \right\} \)
  2. \(\left\{ \left( 3,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 1,1\right)\right\} \)
  3. \(\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 3,4\right) ,\left( 1,4\right),\left( 2,1\right) ,\left( 4,4\right) \right\} \)
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次回は関数による要素の像や集合の像などについて解説します。

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写像 f:A→B が与えられたとき、b=f(a) が真になるような順序対 (a,b)∈A×B からなる集合を f のグラフと呼びます。

DISCUSSION

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