関数のグラフ

関数のグラフ

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の命題\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}が真になるような順序対\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを関数\(f\)のグラフ（graph）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset X\times \mathbb{R} \
\end{equation*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、順序対\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることと、関数\(f\)が\(x\)に対して定める値が\(y\)と一致することは必要十分です。

例（関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}x+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=\frac{1}{2}x+1\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の直線として描かれます。

例（関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}+x+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=-x^{2}+x+1\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の直線として描かれます。

直積の部分集合としての関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(x\in X\)に対してその像\(f\left(x\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めますが、以上の事実は、それぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ必ず存在することを意味します。

逆に、直積\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が以下の性質\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、集合\(X\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\in \mathbb{R} \)が必ず1つずつ存在するということです。この場合、この\(G\)をグラフとして持つような関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。

以上の2つの命題より、以下の概念の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、これらの概念は実質的に等しく、互いに交換可能です。

1. 関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)
2. 関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)
3. 以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
   \end{equation*}を満たす集合\(G\subset X\times \mathbb{R} \)

例（関数のグラフ）

直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。

図より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)は1つずつ存在するため、上の命題より、これは何らかの関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフです。

例（関数のグラフではない集合）

直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。

図より、\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)は一意的に定まるとは限らないため、上の命題より、この集合\(G\)をグラフとするような関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。

演習問題