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関数の差の極限

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点において収束する関数の差の極限

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するとき、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するものとします。それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( f-g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) -g\left( x\right)
\quad \because f-g\text{の定義} \\
&=&f\left( x\right) +\left( -1\right) \cdot g\left( x\right) \\
&=&f\left( x\right) +\left( -g\right) \left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +\left( -g\right) \left(
x\right) \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。仮定より、関数\(f\)は点\(a\)において収束します。同じく仮定より、関数\(g\)は点\(a\)において収束しますが、収束する関数の定数倍もまた収束することから、関数\(-g\)もまた点\(a\)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( -g\right) \left( x\right) &=&\left( -1\right)
\cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( -g\right) \left( x\right) =-\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \quad\cdots (2)
\end{equation}となります。一般に、収束する関数の和もまた収束しますが、以上の議論と\(\left( 1\right) \)を踏まえると関数\(f-g\)もまた点\(a\)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}\left(
-g\right) \left( x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\left( -\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{eqnarray*}となることが明らかになりました。

命題(点において収束する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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つまり、点\(a\)において収束する関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた\(a\)において収束することが保証されるとともに、\(a\)における\(f\)と\(g\)の極限の差をとれば、\(a\)における\(f-g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束する関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}-2x
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&x^{2} \\
h\left( x\right) &=&2x
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) -h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)と\(h\)が\(a\)において収束するならば、先の命題より、\(f\)もまた\(a\)において収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(g\)と\(h\)はともに\(a\)において収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&a^{2} \\
\lim_{x\rightarrow a}h\left( x\right) &=&2a
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(a\)において収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right) -\lim_{x\rightarrow a}h\left( x\right) \\
&=&a^{2}-2a
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の差の極限

無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます(長くなるため証明は「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(無限大において収束する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)において有限な実数へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(+\infty \)において有限な実数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)がともに負の無限大\(-\infty \)において有限な実数へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(-\infty \)において有限な実数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(無限大において収束する関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&\frac{2}{x^{2}}
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) -h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)と\(h\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するならば、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(g\)と\(h\)はともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow a}h\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty }h\left( x\right) \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の差の極限

点において無限極限に発散するような関数についても同様の命題が成り立ちます。ただし、2つの関数が発散する先の無限大の符号が異なるケースに話は限定されます(長くなるため証明は「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(点において発散する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。点\(a\in \mathbb{R} \)において\(f\)と\(g\)の一方が正の無限大\(+\infty \)へ、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば\(f-g\)もまた\(a\)において発散し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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ただし、上の命題において、符号が異なる無限大どうしの差については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&+\infty
\\
\left( b\right) \ \left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}にもとづいて計算を行います。ちなみに、符号が等しい無限大どうしの差である\(\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \)や\(\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right) \)は定義不可能であるため、例えば、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =+\infty \)かつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =+\infty \)などの場合には、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

例(点において発散する関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が\(x\rightarrow 0\)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&-\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&\frac{2}{x^{2}}
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) -h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(x\rightarrow 0\)のときの\(g,h\)の挙動は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&-\infty \\
\lim_{x\rightarrow 0}h\left( x\right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow 0\)のときに発散するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left(
x\right) -\lim_{x\rightarrow 0}h\left( x\right) \\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において発散する関数の差の極限

無限大において無限極限に発散するような関数についても同様の命題が成り立ちます。ただし、2つの関数が発散する先の無限大の符号が異なるケースに話は限定されます(長くなるため証明は「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(無限大において発散する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。正の無限大\(+\infty \)において\(f\)と\(g\)の一方が正の無限大\(+\infty \)へ、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば\(f-g\)もまた\(+\infty \)において発散し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、負の無限大\(-\infty \)において\(f\)と\(g\)の一方が正の無限大\(+\infty \)へ、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば\(f-g\)もまた\(+\infty \)において発散し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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先の命題と同様、この命題においても、符号が異なる無限大どうしの差については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&+\infty
\\
\left( b\right) \ \left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}にもとづいて計算を行います。ちなみに、符号が等しい無限大どうしの差である\(\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \)や\(\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right) \)は定義不可能であるため、例えば、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =+\infty \)かつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =+\infty \)などの場合には、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

例(無限大において発散する関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-x^{2}-2x
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&-x^{2} \\
h\left( x\right) &=&2x
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) -h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(g,h\)の挙動は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&-\infty \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }h\left( x\right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow 0\)のときに発散するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty }h\left( x\right) \\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

関数の差の極限

本節では関数の差の極限に関して4通りのケースを考えましたが、得られた4つの命題を一般化すると以下のようになります。

命題(関数の差の極限)

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。拡大実数\(a,b,c\in \mathbb{R} ^{\ast }\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b,\quad \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right) =c
\end{equation*}がともに成り立つ場合、\(f-g\)については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =b-c
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(b,c\)がともに無限大の場合には、それらの符号が異なる場合にのみ上の関係は成り立つ。

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上の命題において\(a,b,c\)が拡大実数であるとは、これらは有限の実数にもなり得るし、正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)にもなり得るということです。\(a,b,c\)がいずれも有限の実数の場合、この命題は本節において最初に提示した命題になります。また、\(a\)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(b,c\)がともに有限の実数の場合、この命題は本節において2番目に提示した命題になります。また、\(a\)が有限の実数で\(b,c\)の一方が\(+\infty \)で他方が\(-\infty \)の場合、この命題は本節において3番目に提示した命題になります。また、\(a\)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(b,c\)の一方が\(+\infty \)で他方が\(-\infty \)の場合、この命題は本節において4番目に提示した命題になります。このような意味において、この命題は本節における議論の集約です。

本節では明示的に扱いませんでしたが、\(b,c\)の一方が有限な実数で他方が無限大である場合にも上の命題が成り立ちます。この場合、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \forall x &\in &\mathbb{R} :x+\left( +\infty \right) =\left( +\infty \right) +x=+\infty \\
\left( b\right) \ \forall x &\in &\mathbb{R} :x+\left( -\infty \right) =\left( -\infty \right) +x=-\infty
\end{eqnarray*}にもとづいて計算を行います。例えば、先の命題において\(a,b\)が有限な実数で\(c\)が正の無限大\(+\infty \)の場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b,\quad \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right) =+\infty
\end{equation*}となりますが、このような場合にも、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}f\left(
x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \\
&=&b-\left( +\infty \right) \\
&=&b+\left( -\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。また、別のケースとして、\(a\)が正の無限大\(+\infty \)で\(b\)が有限な実数、そして\(c\)が負の無限大\(-\infty \)の場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b,\quad \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}となりますが、このような場合にも、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) \\
&=&b-\left( -\infty \right) \\
&=&b+\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

例(関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&x^{2}
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) -h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立します。したがって、\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(g\)と\(h\)の挙動が分かれば、\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(f\)の挙動も明らかになります。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} &=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}-\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} \\
&=&0-\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合、ともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合などには、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&&\left( b\right) \ \left( -\infty \right) -\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)において不定形とみなされ定義不可能だからです。関数の極限の差が不定形になる場合の対処法については場を改めて解説します。

次回は収束する関数の積について解説します。

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