関数の極限と差

収束する関数どうしの差として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の差になります。また、このような関係は一定の条件のもとで無限極限に関しても拡張可能です。

関数 極限 収束 差

点において収束する関数の差の極限

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)の差\(f\left( x\right) -g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を構成できます。

関数\(f,g\)がともに点において収束する場合には関数\(f-g\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(点において収束する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において有限な実数に収束するならば関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\alpha \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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上の命題より、関数\(f,g\)が収束することが分かっている場合には、関数\(f-g\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(f-g\)の極限を得るためには\(f\)の極限と\(g\)の極限の差をとればよいのです。

例(点において収束する関数の差の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2},\ 2x\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}x^{2}=9,\quad \lim_{x\rightarrow 3}2x=6
\end{equation*}などが成り立つため、関数\(x^{2}-2x\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}\left( x^{2}-2x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 3}2x \\
&=&9-6 \\
&=&3
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の差の極限

無限大における極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに\(x\rightarrow +\infty \)において有限な実数に収束するならば関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow +\infty \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow -\infty \)において有限な実数に収束するならば\(f-g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) -\lim_{x \rightarrow -\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(無限大において収束する関数の差の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x},\ \frac{2}{x^{2}}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{x^{2}}=0
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}-\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{x^{2}} \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の差の極限

点において無限極限に発散するような関数についても同様の性質が成り立ちます。ただし、2 つの関数が発散する先の無限大の符号が異なるケースに話は限定されます。

命題(点において発散する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の一方が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において\(+\infty \)に発散し他方が\(-\infty \)に発散するならば、関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(\alpha \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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ただし、符号が異なる無限大どうしの差については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルールにもとづいて計算を行います。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( b\right) \ \left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}ちなみに、符号が等しい無限大どうしの差である\(\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \)や\(\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right) \)は定義不可能であるため、例えば、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =+\infty \)などの場合には、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( f-g\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

拡大実数系について復習する
例(点において発散する関数の差の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x},\ \frac{2}{x^{2}}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}-\frac{1}{x}=-\infty ,\quad \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、関数\(-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{x}\right) -\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において発散する関数の差の極限

無限大において無限極限に発散するような関数についても同様です。

命題(無限において発散する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の一方が\(+\infty \)において\(+\infty \)に発散し他方が\(-\infty \)に発散するならば、関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(+\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)の一方が\(-\infty \)において\(+\infty \)に発散し他方が\(-\infty \)に発散するならば、\(f-g\)の\(-\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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先ほどと同様に、\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =+\infty \)の場合など、両者の無限極限の符号が同じ場合には無限大どうしの差が定義不可能であるため、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

例(無限において発散する関数の差の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2},\ 2x\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }-x^{2}=-\infty ,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }2x=+\infty
\end{equation*}などが成り立つため、関数\(-x^{2}-2x\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -x^{2}-2x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -x^{2}\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 2x\right) \\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

本節のまとめ

本節において得たすべての命題を一般化すると以下のようになります。

系(関数の極限と差)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、拡大実数\(\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R} ^{\ast }\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta ,\quad \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\gamma
\end{equation*}がともに成り立つ場合には、関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\beta -\gamma
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\beta ,\gamma \)がともに無限大の場合にはそれらの符号は異なるものとする。

\(\alpha ,\beta ,\gamma \)が拡大実数であるとは、これらは有限の実数にもなり得るし、\(+\infty \)や\(-\infty \)にもなり得るということです。\(\alpha ,\beta ,\gamma \)がいずれも有限の実数の場合には、この命題は本節において最初に提示した命題になります。また、\(\alpha \)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(\beta ,\gamma \)が有限の実数の場合には、この命題は本節において 2 番目に提示した命題になります。また、\(\alpha \)が有限の実数で\(\beta ,\gamma \)の一方が\(+\infty \)、他方が\(-\infty \)の場合には、この命題は本節において 3 番目に提示した命題になります。また、\(\alpha \)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で、\(\beta ,\gamma \)の一方が\(+\infty \)、他方が\(-\infty \)の場合には、この命題は本節において 4 番目に提示した命題になります。このような意味において、この命題は本節における議論の集約です。

本節では明示的に扱いませんでしたが、\(\beta ,\gamma \)の一方が無限大で他方が有限な実数である場合にも上の命題は成り立ちます。例えば、\(\alpha ,\beta \)が有限な実数で\(\gamma \)が\(+\infty \)の場合は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta ,\quad \lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}となりますが、このような場合にも、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\beta -\left( +\infty \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、別のケースとして、\(\alpha \)は\(+\infty \)、\(\beta \)は\(-\infty \)、\(\gamma \)が有限な実数の場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty ,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =\gamma
\end{equation*}となりますが、この場合にも、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =\left( +\infty \right) -\gamma
\end{equation*}が成り立ちます。他の場合も含め、\(\beta ,\gamma \)の一方が無限大で他方が有限な実数である場合には、\(f-g\)の極限は無限大と有限な実数の差になります。ちなみに、無限大と有限な実数\(x\)の差については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルールにもとづいて計算を行います。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ x-\left( +\infty \right) &=&\left( -\infty \right) -x=-\infty \\
\left( b\right) \ x-\left( -\infty \right) &=&\left( +\infty \right) -x=+\infty
\end{eqnarray*}

例(関数の極限と差)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x}\)と、変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\frac{1}{x}-x^{2}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}-x^{2}\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}-\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} \\
&=&0-\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回は収束する関数の積について解説します。
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