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関数の差の極限

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点において収束する関数の差の極限

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(点において収束する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の差をとれば\(f-g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束する関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x-1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(2\)倍)と定数関数\(1\)の差として定義されているため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
2x-1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x\right) -\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because \text{収束する関数の差の極限} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x-\lim_{x\rightarrow a}1\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2a-1\quad \because \text{恒等関数および定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において片側収束する関数の差の片側極限

片側極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側収束する関数の差の片側極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a+ \)の場合に有限な実数へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a- \)の場合に有限な実数へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

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例(点において片側収束する関数の差の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}-\pi
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)と定数関数\(\pi \)の差として定義されているため、\(x\rightarrow 0+\)の場合に有限な実数へ右側収束し、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x}{2}-\pi \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x}{2}\right) -\lim_{x\rightarrow
0+}\pi \quad \because \text{右側収束する関数の差の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}x-\lim_{x\rightarrow 0+}\pi \quad
\because \text{右側収束する関数の定数倍の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 0-\pi \quad \because \text{恒等関数および定数関数の右側極限} \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。同様に、\(x\rightarrow 1-\)の場合に有限な実数へ左側収束し、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x}{2}-\pi \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x}{2}\right) -\lim_{x\rightarrow
1-}\pi \quad \because \text{左側収束する関数の差の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 1-}x-\lim_{x\rightarrow 1-}\pi \quad
\because \text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1-\pi \quad \because \text{恒等関数および定数関数の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}-\pi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の差の極限

無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow+\infty \)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

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例(無限大において収束する関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たし、関数\(\frac{1}{x^{2}}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{\pi }{x}-\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{\pi }{x}\right)
-\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because
+\infty \text{において収束する関数の差} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
-2\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because
+\infty \text{において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \cdot 0-2\cdot 0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たし、関数\(\frac{1}{x^{2}}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =0 \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{\pi }{x}-\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{\pi }{x}\right)
-\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because
-\infty \text{において収束する関数の差} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
+2\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because
-\infty \text{において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \cdot 0+2\cdot 0\quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の差の極限

関数\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)の一方が正の無限大\(+\infty \)へ発散するとともに他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(f-g\)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&+\infty
\\
\left( b\right) \ \left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(点において発散する関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)の一方が正の無限大\(+\infty \)へ発散し他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(点において発散する関数の差の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。点\(0\)に注目したとき、関数\(-\frac{1}{x}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{x}\right) =-\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、関数\(\frac{1}{x^{2}}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{x}\right) -\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because +\infty \text{へ発散する関数の差の極限} \\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

ちなみに、\(x\rightarrow a\)のときに関数\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、ともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合などには、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、これらの場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は\begin{eqnarray*}&&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらは拡大実数系において不定形とみなされ定義不可能です。ただ、このような場合においても、関数の差が有限な実数へ収束しないとは限りません。関数の極限の差が不定形である場合でも、その関数を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。詳細は場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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問題(関数の差の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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