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多項式関数の極限

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有理関数の極限

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多項式関数の極限

多項式関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるということです。

点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}となります。

命題(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( a\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}a^{5}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( a\right) =8a^{3}+2a^{2}-a+1
\end{equation*}が成り立ちます。

 

多項式関数の片側極限

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(多項式関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
=c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots +c_{n}a^{n} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
=c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots +c_{n}a^{n}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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例(多項式関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x^{2} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad
\because x>0 \\
&=&0^{2}\quad \because \text{多項式関数の片側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi \right) \quad \because x<0 \\
&=&\sqrt{2}\cdot 0^{3}-\frac{0}{3}-\pi \quad \because \text{多項式関数の片側極限} \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}となります。

 

多項式関数の無限大における極限

多項式関数の無限大における極限を評価する際には、与えられた多項式関数を、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&x^{n}\left( c_{0}\frac{1}{x^{n}}+c_{1}\frac{1}{x^{n-1}}+c_{2}\frac{1}{x^{n-2}}+\cdots +c_{n}\right)
\end{eqnarray*}という形に変形した上で極限をとります。実際、\(x\rightarrow \pm \infty \)の場合にカッコの中身は\(c_{n}\)へ収束するため、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \pm \infty }f\left( x\right) =c_{n}\lim_{x\rightarrow \pm
\infty }x^{n}
\end{equation*}を得ます。

例(多項式関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+4
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( 5x^{3}-3x^{2}+x+4\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{3}\left( 5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 5 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( 5x^{3}-3x^{2}+x+4\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{3}\left( 5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot 5 \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+8x-2
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{5}-2x^{4}-4x^{3}+x^{2}+5
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2x^{5}+x^{4}+x^{2}-3
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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