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多項式関数の極限

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多項式関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表すことができるということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の値において定義されている場合、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するか検討できますが、\(f\)は有限個の恒等関数の積の定数倍\(c_{k}x^{k}\)の和であるため、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束します。

命題(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(多項式関数の極限)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数は定義域上の任意の点において有限な極限を持つということです。
例(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}x^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( a\right) =\frac{\sqrt{2}}{5}a^{5}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( a\right) =8a^{3}+2a^{2}-a+1
\end{equation*}が成り立ちます。

 

多項式関数の片側極限

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(多項式関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}a+c_{2}a^{2}+\cdots
+c_{n}a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(多項式関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{3}-1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-a^{3}-1
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =-0^{3}-1=-1
\end{equation*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、\(f\)は点\(1\)より小さい周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) =-1^{3}-1=-2
\end{equation*}が成り立ちます。

 

多項式関数の無限大における極限

多項式関数の無限大における極限を評価する際には、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&x^{n}\left( c_{0}\frac{1}{x^{n}}+c_{1}\frac{1}{x^{n-1}}+c_{2}\frac{1}{x^{n-2}}+\cdots +c_{n}\right)
\end{eqnarray*}という形に変形した上で極限をとります。実際、\(x\rightarrow \pm \infty \)の場合にカッコの中身は\(c_{n}\)へ収束するため、結局、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \pm \infty }f\left( x\right) =c_{n}\lim_{x\rightarrow \pm
\infty }x^{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例(多項式関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+4
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( 5x^{3}-3x^{2}+x+4\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{3}\left( 5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{5x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
1-\frac{3}{5x}+\frac{1}{5x^{2}}+\frac{4}{5}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( 5x^{3}-3x^{2}+x+4\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ 5x^{3}\left( 1-\frac{3}{5x}+\frac{1}{5x^{2}}+\frac{4}{5x^{3}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }5x^{3}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( 1-\frac{3}{5x}+\frac{1}{5x^{2}}+\frac{4}{5x^{3}}\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot 1 \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。

例(多項式関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2x^{5}+x^{4}+x^{2}-3
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -2x^{5}+x^{4}+x^{2}-3\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ x^{5}\left( -2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{5}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
-2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( -2\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( -2x^{5}+x^{4}+x^{2}-3\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left[ x^{5}\left( -2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{5}\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
-2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}-\frac{3}{x^{5}}\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -2\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

次回は有理関数の極限について解説します。

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