関数の上極限と下極限

関数の上極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。\(X\)の内点や\(X\)の要素ではない境界点などはいずれも\(X\)の集積点です。

加えて、この関数\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap X\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \wedge x\in X\right\}
\end{eqnarray*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在するということです。

点\(a\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点であるため、\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすほど十分小さい正の実数\(\delta >0\)を任意に選んだとき、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{ a\right\}
\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( \left( a-\delta ,a\right) \cup \left( a,a+\delta \right)
\right) \cap X\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ 0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge x\in X\right\}
\end{eqnarray*}が非空になることが保証されます。この集合は先の有界集合\(f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) \)の部分集合であるため有界であり、したがってその上限\begin{equation*}S\left( \delta \right) =\sup f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすそれぞれの\(\delta \)に対して先の上限\(S\left( \delta \right) \)を特定することにより、それぞれの\(\delta \in \left( 0,\varepsilon \right) \)に対して、\begin{equation*}S\left( \delta \right) =\sup f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
S:\mathbb{R} \supset \left( 0,\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(\delta \)を\(0\)へ近づけるほど集合\(N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) \)は小さくなるため集合\(f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{a\right\} \right) \right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\sup f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash\left\{ a\right\} \right) \right) \)すなわち\(S\left(\delta \right) \)の値もまた小さくなっていきます。そこで、この関数\(S\)の\(\delta \rightarrow 0+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{\delta \rightarrow 0+}S\left( \delta \right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)の場合の上極限（limit superior）と呼び、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) \right)
\end{eqnarray*}で表記します。

関数の下極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。\(X\)の内点や\(X\)の要素ではない境界点などはいずれも\(X\)の集積点です。

加えて、この関数\(f\)は点\(a\)の周辺において局所有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap X\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \wedge x\in X\right\}
\end{eqnarray*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在するということです。

点\(a\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点であるため、\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすほど十分小さい正の実数\(\delta >0\)を任意に選んだとき、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{ a\right\}
\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( \left( a-\delta ,a\right) \cup \left( a,a+\delta \right)
\right) \cap X\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ 0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge x\in X\right\}
\end{eqnarray*}が非空になることが保証されます。この集合は先の有界集合\(f\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) \)の部分集合であるため有界であり、したがってその下限\begin{equation*}s\left( \delta \right) =\inf f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすそれぞれの\(\delta \)に対して先の下限\(s\left( \delta \right) \)を特定することにより、それぞれの\(\delta \in \left( 0,\varepsilon \right) \)に対して、\begin{equation*}s\left( \delta \right) =\inf f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
s:\mathbb{R} \supset \left( 0,\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(\delta \)を\(0\)へ近づけるほど集合\(N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) \)は小さくなるため集合\(f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{a\right\} \right) \right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\inf f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash\left\{ a\right\} \right) \right) \)すなわち\(s\left(\delta \right) \)の値は大きくなっていきます。そこで、この関数\(s\)の\(\delta\rightarrow 0+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{\delta \rightarrow 0+}s\left( \delta \right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow a\)の場合の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf f\left( N_{\delta }\left( a\right) \cap
\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) \right)
\end{eqnarray*}で表記します。

関数の上極限や下極限は有限な実数として定まるとは限らない

関数の上極限や下極限は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

上極限が有限であるための必要十分条件

関数が局所有界である場合、その関数の上極限は有限な実数として定まることが明らかになりました。では逆に、関数の上極限が有限な実数である場合、その関数が局所有界であることを保証できるのでしょうか。

関数の上極限が有限な実数として定まる場合、その関数は上に局所有界であることが保証されます。

有限な上極限を持つ関数は上に局所有界であることが明らかになりましたが、その一方で、そのような関数は下に局所有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

有限な上極限を持つ関数は上に局所有界である一方で下に局所有界であるとは限らないことが明らかになりました。ただ、そのような関数の極限が負の無限大ではないことは保証されます。逆の議論も成立するため以下の命題を得ます。

下極限が有限であるための必要十分条件

関数が局所有界である場合、その関数の下極限は有限な実数として定まることが明らかになりました。では逆に、関数の下極限が有限な実数である場合、その関数が局所有界であることを保証できるのでしょうか。

関数の下極限が有限な実数として定まる場合、その関数は下に局所有界であることが保証されます。

有限な下極限を持つ関数は下に局所有界であることが明らかになりましたが、その一方で、そのような関数は上に局所有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

有限な下極限を持つ関数は下に局所有界である一方で上に局所有界であるとは限らないことが明らかになりました。ただ、そのような関数の極限が正の無限大ではないことは保証されます。逆の議論も成立するため以下の命題を得ます。

局所有界関数の特徴づけ

これまで示した諸命題を踏まえると以下を得ます。

上極限と下極限の特徴づけ

関数の上極限を以下のように表現できます。

下極限についても同様の主張が成り立ちます。

関数の上極限と下極限は一致するとは限らない

関数の上極限と下極限が存在する場合、それらはそれぞれ有限な実数として定まりますが、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ます。

まずは、上極限と下極限が一致する関数の例を挙げます。

続いて、上極限と下極限が異なる関数の例です。

関数の上極限は下極限以上

局所有界な関数の上極限と下極限はそれぞれ有限な実数として定まりますが、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ることが明らかになりました。ただ、上極限は必ず下極限以上になります。

演習問題