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関数の極限と順序(はさみうちの定理)

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収束する関数と順序

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の間に以下の条件\begin{equation*}\left( a\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、関数\(f,g\)の定義域\(X\)上の値\(x\)を任意に選んだとき、それに対して\(g\)が定める値\(g\left( x\right) \)は\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)以上になるということです。加えて、点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに関数\(f,g\)はともに有限な実数へ収束するものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つということです。以上の条件が満たされる場合、\(f\)と\(g\)の極限についても、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という大小関係が保持されることが保証されます。

命題(点において収束する関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、点\(a\in \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a\)のときに\(f,g\)はともに有限な実数へ収束するならば、それらの極限についても、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題は変数が特定の点へ限りなく近づく場合の関数の極限に関するものですが、変数が限りなく大きくなる場合、または限りなく小さくなる場合の関数の極限についても同様の命題が成立します。

命題(無限大において収束する関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f,g\)はともに有限な実数へ収束するならば、それらの極限についても、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow +\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f,g\)はともに有限な実数へ収束するならば、それらの極限についても、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow -\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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以上の2つの命題をまとめて表現すると以下のようになります。

命題(収束する関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(x\rightarrow a\)のときに\(f,g\)はともに有限な実数へ収束するならば、それらの極限についても、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(a\)は拡大実数であり、有限な実数もしくは正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)である。
例(収束する関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation}\forall x\in X:f\left( x\right) <g\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。加えて、\(x\rightarrow a\)のときに\(f,g\)はともに有限な実数へ収束するものとします。ただし、\(a\)は拡大実数であり、有限な実数もしくは正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)です。\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}もまた明らかに成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

上の例において、結論中の大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(<\)に置き換えた主張もまた成り立つでしょうか。つまり、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する関数\(f,g\)の間に、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) <g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限の間にも、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) <\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されるのでしょうか。以下の例が示唆するように、こうした関係は成り立つとは限りません。

例(収束する関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{1}{x+1} \\
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。両者の間には、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} :\frac{1}{x+1}<\frac{1}{x}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} :f\left( x\right) <g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x+1}=0 \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

収束する有界な関数の極限と上界・下界の関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は上に有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。これは\(f\left( x\right) \)がある実数\(U\)以下の値のみをとり得ることを意味します。また、\(U\)を\(f\)の上界と呼びます。加えて、点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するものとします。このとき、\(f\)の極限もまた上界\(U\)以下になること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つことが先の命題より導かれます。

下に有界な収束関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は下に有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。これは\(f\left( x\right) \)がある実数\(L\)以上の値のみをとり得ることを意味します。また、\(L\)を\(f\)の下界と呼びます。加えて、点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するものとします。このとき、\(f\)の極限もまた下界\(L\)以上になること、すなわち、\begin{equation*}L\leq \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが先の命題より導かれます。

命題(点において収束する有界な関数の極限と上界・下界の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するものとする。加えて、\(f\)が上に有界であるならば、その上界\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が下に有界であるならば、その下界\(L\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\leq \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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上の命題は変数が特定の点へ限りなく近づく場合の関数の極限に関するものですが、変数が限りなく大きくなる場合、または限りなく小さくなる場合の関数の極限についても同様の命題が成立します。

命題(無限大において収束する有界な関数の極限と上界・下界の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するものとする。加えて、\(f\)が上に有界であるならば、その上界\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が下に有界であるならば、その下界\(L\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\leq \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、関数\(f\)が\(x\rightarrow \infty \)のときに有限な実数へ収束するものとする。加えて、\(f\)が上に有界であるならば、その上界\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が下に有界であるならば、その下界\(L\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\leq \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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以上の2つの命題をまとめて表現すると以下のようになります。

命題(収束する有界な関数の極限と上界・下界の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するものとする。ただし、\(a\)は拡大実数であり、有限な実数もしくは正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)である。加えて、\(f\)が上に有界であるならば、その上界\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が下に有界であるならば、その下界\(L\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}L\leq \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

 

はさみうちの定理

定義域を共有する3つの関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の間に以下の条件\begin{equation*}\left( a\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq
h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、関数\(f,g,h\)の定義域\(X\)上の値\(x\)を任意に選んだとき、それに対して\(g\)が定める値\(g\left( x\right) \)は\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)と\(h\)が定める値\(h\left( x\right) \)に挟まれるということです。加えて、点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)のときに両端の関数\(f,h\)はともに有限かつ同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。\begin{equation*}\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}h\left( x\right) =b\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。以上の条件が満たされる場合、間に挟まれる関数\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束するとともに、その極限が\(b\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つということです。これをはさみうちの定理(squeeze theorem)と呼びます。

命題(点において収束する関数に関するはさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、点\(a\in \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a\)のときに関数\(f,h\)がともに有限かつ同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、関数\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束する。
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例(点において収束する関数に関するはさみうちの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の\(x\rightarrow 0\)のときの極限を求めようとしている状況を想定してください。注目すべき事実は、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}-1\leq \cos \left( \frac{1}{x}\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つということです。したがって、\begin{equation*}
-x^{2}\leq x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \leq x
\end{equation*}を得ます。関数\(x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \)を両側からはさむ関数\(-x^{2}\)および\(x\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( -x^{2}\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x &=&0
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left[ x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \right] =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

上の命題は変数が特定の点へ限りなく近づく場合の関数の極限に関するものですが、変数が限りなく大きくなる場合、または限りなく小さくなる場合の関数の極限についても同様の命題が成立します。

命題(無限大において収束する関数に関するはさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(x\rightarrow +\infty \)のときに関数\(f,h\)がともに有限かつ同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、関数\(g\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(b\)へ収束する。また、\(x\rightarrow -\infty \)のときに関数\(f,h\)がともに有限かつ同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、関数\(g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(b\)へ収束する。
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以上の2つの命題をまとめて表現すると以下のようになります。

命題(はさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(x\rightarrow a\)のときに関数\(f,h\)がともに有限かつ同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、関数\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束する。ただし、\(a\)は拡大実数であり、有限な実数もしくは正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)である。

関数の片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側極限に関するはさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、点\(a\in \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a+\)のときに関数\(f,h\)がともに有限かつ同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ右側収束するならば、関数\(g\)もまた\(x\rightarrow a+\)のときに\(b\)へ右側収束する。また、\(x\rightarrow a-\)のときに関数\(f,h\)がともに有限かつ同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ左側収束するならば、関数\(g\)もまた\(x\rightarrow a-\)のときに\(b\)へ左側収束する。
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例(片側極限に関するはさみうちの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\theta \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( \theta \right) =\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( \theta \right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }
\end{equation*}の値を求めます。関数\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の値において定義されています。\(\theta \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)を満たすラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選び、その動径を\(OP\)で表記します(下図)。

図:正弦関数
図:正弦関数

上図から明らかであるように、\(\theta \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)の場合には、\begin{equation*}\text{三角形}OXP\text{の面積}<\text{扇形}OXP\text{の面積}<\text{三角形}OXR\text{の面積}
\end{equation*}という関係が成立します。それぞれの面積を求めましょう。まず、\begin{eqnarray*}
\text{三角形}OXP\text{の面積} &=&OX\text{の長さ}\cdot PQ\text{の長さ}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&1\cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{\sin \left( \theta \right) }{2}
\end{eqnarray*}となります。続いて、\begin{eqnarray*}
\text{扇形}OXP\text{の面積} &=&OX\text{の長さ}\cdot \text{弧}PX\text{の長さ}\cdot
\frac{1}{2} \\
&=&1\cdot \theta \cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{\theta }{2}
\end{eqnarray*}となります。さらに、\begin{eqnarray*}
\text{三角形}OXR\text{の面積} &=&OX\text{の長さ}\cdot RX\text{の長さ}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&1\cdot \tan \left( \theta \right) \cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{\tan \left( \theta \right) }{2} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left( \theta
\right) }
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の不等式より、\begin{equation*}
\frac{\sin \left( \theta \right) }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{1}{2}\cdot
\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left( \theta \right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sin \left( \theta \right) <\theta <\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos
\left( \theta \right) }
\end{equation*}を得ます。\(\theta \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)の場合には\(\sin \left( \theta \right)>0\)であるから、各辺を\(\sin \left( \theta \right) \)で割ることにより、\begin{equation*}1<\frac{\theta }{\sin \left( \theta \right) }<\frac{1}{\cos \left( \theta
\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\cos \left( \theta \right) <\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }<1
\end{equation*}を得ます。後ほど示すように余弦関数\(\cos \left(\theta \right) \)は右側連続であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{\theta \rightarrow 0+}\cos \left( \theta \right) &=&\cos \left(
0\right) \quad \because \text{余弦関数の連続性} \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。一方、定数関数\(1\)の右側極限は、\begin{equation*}\lim_{\theta \rightarrow 0+}1=1
\end{equation*}です。したがって、右側極限に関するはさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{\theta \rightarrow 0+}\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }=1
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

絶対値定理

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}-\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq f\left( x\right) \leq
\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}という関係が明らかに成り立ちます。点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( -\left\vert f\left( x\right) \right\vert \right)
&=&-\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert \quad
\because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&-0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}もまた明らかに成り立つため、はさみうちの定理より、関数\(f\)についても、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。これを絶対値定理(absolute value theorem)と呼びます。つまり、関数\(f\left( x\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに\(0\)へ収束することを示すためには、関数\(\left\vert f\left( x\right)\right\vert \)が\(x\rightarrow a\)のときに\(0\)へ収束することを示してもよいということです。

命題(点において収束する関数に関する絶対値定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =0\Rightarrow
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

上の命題は変数が特定の点へ限りなく近づく場合の関数の極限に関するものですが、変数が限りなく大きくなる場合、または限りなく小さくなる場合の関数の極限についても同様の命題が成立します。

命題(無限大において収束する関数に関する絶対値定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert f\left( x\right)
\right\vert &=&0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\\
\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\left\vert f\left( x\right)
\right\vert &=&0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

以上の2つの命題をまとめて表現すると以下のようになります。

命題(絶対値定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =0\Rightarrow
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(a\)は拡大実数であり、有限な実数もしくは正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)である。

 

演習問題

問題(はさみうちの定理)
以下の極限を求めてください。\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x+\cos \left( x\right) }{2x-7}
\end{equation*}
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問題(はさみうちの定理)
以下の極限を求めてください。\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2\sin \left( x\right) -5x}{3x+1}
\end{equation*}
解答を見る

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