関数の極限と順序

区間上に定義された2つの収束関数について、区間上のそれぞれの点において一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、はさみうちの定理と呼ばれる有益な命題についても解説します。

収束関数と順序

関数\(f,g:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が任意の\(x\in X\)について\(f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \)を満たすものとします。さらにこれらの関数がともに収束する場合には、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。

命題(収束関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の間には、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。このとき\(f,g\)がともに点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束するならば、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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無限大の極限に関しても同様の性質が成り立ちます。

命題(収束関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の間には、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。このとき\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)において収束するならば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ち、\(f,g\)がともに負の無限大\(-\infty \)において収束するならば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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有界な収束関数と順序

点において収束する関数\(f,g\)に関する先の命題において、一方の関数を定数関数とすれば以下の命題を得ます。

命題(有界な収束関数と順序)
関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
\exists M\in \mathbb{R},\ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}を満たすものとする。このとき\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束するならば、その極限についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つ。また、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R},\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つとともに\(f\)が\(a\)において収束するならば、\begin{equation*}
L\leq \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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無限大における極限に関しても同様の性質が成り立ちます。

命題(有界な収束関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の間には、\begin{equation*}
\exists M\in \mathbb{R},\ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ f\text{が}+\infty \text{において収束するならば}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &\leq &M\text{が成り立つ} \\
\left( b\right) \ f\text{が}-\infty \text{において収束するならば}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &\leq &M\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。また、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R},\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}
\left( c\right) \ f\text{が}+\infty \text{において収束するならば}L &\leq &\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \text{が成り立つ} \\
\left( d\right) \ f\text{が}-\infty \text{において収束するならば}L &\leq &\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
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はさみうちの定理

関数\(f,g:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がともに点\(\alpha \)において同一の極限\(\beta \)へ収束するものとします。さらに第 3 の関数\(h:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が任意の\(x\in X\)について\(f\left( x\right) \leq h\left( x\right) \leq g\left( x\right) \)を満たす場合には、\(h\)もまた\(\alpha \)において収束することが保証され、なおかつその極限は先の 2 つの関数の極限と同様に\(\beta \)となります。これをはさみうちの定理(squeeze theorem)と呼びます。

定理(はさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の間には、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq h\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。このとき、\(f,g\)がともに点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において実数\(\beta \in \mathbb{R}\)へ収束するならば、\(h\)もまた\(\alpha \)において\(\beta \)へ収束する。
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例(はさみうちの定理)
\(f\left( x\right) =x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \)と定義される関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)の\(x\rightarrow 0\)のときの極限を求めます。まず注目すべき事実は、任意の\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
-1\leq \cos \left( \frac{1}{x}\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つということです。上の不等式の各辺に\(x^{2}\)をかけると、\begin{equation*}
-x^{2}\leq f\left( x\right) =x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \leq x^{2}
\end{equation*}を得ます。この不等式において\(f\left( x\right) \)を両側からはさむそれぞれの関数については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( -x^{2}\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x^{2} &=&0
\end{eqnarray*}がそれぞれ成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。

無限大の極限に関しても同様の性質が成り立ちます。

定理(はさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)の間には、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq h\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ f,g\text{が}+\infty \text{において}\beta &\in &\mathbb{R}\text{へ収束するならば}h\text{もまた}+\infty \text{において}\beta \text{へ収束する} \\
\left( a\right) \ f,g\text{が}-\infty \text{において}\beta &\in &\mathbb{R}\text{へ収束するならば}h\text{もまた}-\infty \text{において}\beta \text{へ収束する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
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次回からは関数の連続性について解説します。
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