関数の極限と順序

区間上に定義された2つの収束関数について、区間上のそれぞれの点において一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、はさみうちの定理と呼ばれる有益な命題についても解説します。

収束関数と順序

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、両者の間には、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、定義域\(X\)の任意の値\(x\)に注目したとき、\(g\)による像\(g\left( x\right) \)が\(f\)による像\(f\left( x\right) \)以上であるということです。これらの関数がともに点\(a\in \mathbb{R} \)において収束する場合には、両者の極限の間についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、両者の間には、\begin{equation}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つものとします。さらに\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)について有限な実数である\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)と\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \)へそれぞれ収束するものとします。これは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とし、なおかつ\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ g\left( x_{n}\right) \right\} \)がそれぞれ有限な実数である\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)と\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \)へそれぞれ収束すること、すなわち、\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \quad\cdots (2) \\
\lim_{n\rightarrow \infty }g\left( x_{n}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \quad\cdots (3)
\end{eqnarray}がともに成り立つことと必要十分です。さらに\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :f\left( x_{n}\right) \leq g\left( x_{n}\right) \quad\cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)と収束数列と順序に関する命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) \leq \lim_{n\rightarrow
\infty }g\left( x_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。

命題(収束関数と順序)

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f,g\)はともに点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するならば、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題は点において有限な実数へ収束する2つの関数に関するものですが、無限大において有限な実数へ収束する2つの関数の間にも同様の命題が成立します(証明は演習問題にします)。

命題(収束関数と順序)

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。\(f,g\)はともに正の無限大\(+\infty \)において有限な実数へ収束するならば、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow +\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f,g\)はともに負の無限大\(-\infty \)において有限な実数へ収束するならば、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow -\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題において大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(<\)に置き換えた主張もまた成り立つでしょうか。つまり、点\(a\)において有限な実数へ収束する関数\(f,g\)の間に、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) <g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) <\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}は成り立つでしょうか。ただし、\(a\)は拡大実数であり、有限な実数もしくは無限大です。以下の例が示唆するように、これは成り立ちません。

例(収束関数と順序)
関数\(f,g:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\frac{1}{x+1} \\
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。両者の間には、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} :\frac{1}{x+1}<\frac{1}{x}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} :f\left( x\right) <g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x+1}=0 \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

有界な収束関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が上に有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =U
\end{equation*}を満たすものとして定義すると(定数関数)、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において収束するものとします。また、\(g\)は明らかに\(a\)において\(U\)に収束します。すると、先に示した収束関数と順序に関する命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立ちます。上に有界な関数の極限は、その上界以下であるということです。下に有界な関数の極限が、その下界以下であることも同様にして示されます(証明は演習問題にします)。

命題(有界な収束関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は上に有界であるものとともに、点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するものとする。このとき、\(f\)の上界\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)は下に有界であるとともに、点\(a\)において有限な実数へ収束するものとする。このとき、\(f\)の下界\(L\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
L\leq \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題は点において有限な実数へ収束する関数に関するものですが、無限大において有限な実数へ収束する関数に関しても同様の命題が成立します(証明は演習問題にします)。

命題(有界な収束関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は上に有界であるとき、\(f\)の上界\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \leq U \\
\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \leq U
\end{eqnarray*}などが成り立つ。また、\(f\)は下に有界であるとき、\(f\)の下界\(L\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \Rightarrow L\leq \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \Rightarrow L\leq \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

はさみうちの定理

定義域を共有する関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、これらの間には、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、定義域\(X\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\(g\)が定める値\(g\left( x\right) \)は\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)と\(h\)が定める値\(h\left( x\right) \)によって挟まれるということです。さらに、両端の関数である\(f,h\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するとともにそれらの極限が一致する場合、間に挟まれた関数\(g\)もまた点\(a\)において収束するとともに、その極限もまた\(a\)における\(f,h\)の極限と一致します。これをはさみうちの定理(squeeze theorem)と呼びます。証明は以下の通りです。

関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、これらの間に、\begin{equation}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つものとします。さらに\(f,h\)が点\(a\in \mathbb{R} \)について同一の有限な実数\(b\)へ収束するものとします。これは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とし、なおかつ\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ h\left( x_{n}\right) \right\} \)がともに有限な実数である\(b\)へ収束すること、すなわち、\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&b \quad\cdots (2) \\
\lim_{n\rightarrow \infty }h\left( x_{n}\right) &=&b \quad\cdots (3)
\end{eqnarray}がともに成り立つことと必要十分です。さらに\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :f\left( x_{n}\right) \leq g\left( x_{n}\right) \leq h\left( x_{n}\right)
\quad\cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)と収束数列に関するはさみうちの定理より、数列\(\left\{ g\left( x_{n}\right) \right\} \)もまた有限な数列へ収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }g\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立ちます。これは関数\(g\)が点\(a\)において有限な実数\(b\)へ収束するための必要十分条件です。

命題(はさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。\(f,h\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、\(g\)もまた\(a\)において\(b\)へ収束する。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(はさみうちの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の\(x\rightarrow 0\)のときの極限を求めようとしている状況を想定してください。注目すべき事実は、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
-1\leq \cos \left( \frac{1}{x}\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つということです。したがって、\begin{equation*}
-x^{2}\leq x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \leq x
\end{equation*}を得ます。関数\(x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \)を両側からはさむそれぞれの関数については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( -x^{2}\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}x &=&0
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left[ x^{2}\cos \left( \frac{1}{x}\right) \right] =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

上の命題は点において有限な実数へ収束する関数に関するものですが、無限大において有限な実数へ収束する関数に関しても同様の命題が成立します(証明は演習問題にします)。

命題(はさみうちの定理)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。\(f,h\)が正の無限大\(+\infty \)において同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、\(g\)もまた\(+\infty \)において\(b\)へ収束する。また、\(f,h\)が負の無限大\(-\infty \)において同一の極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するならば、\(g\)もまた\(-\infty \)において\(b\)へ収束する。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

絶対値定理

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
-\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq f\left( x\right) \leq
\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}という関係が明らかに成り立ちます。ここで、点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( -\left\vert f\left( x\right) \right\vert \right)
=-\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =0
\end{equation*}もまた明らかに成り立つため、はさみうちの定理より、関数\(f\)もまた点\(a\)において\(0\)へ収束します。これを絶対値定理(absolute value theorem)と呼びます。

命題(絶対値定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}もまた成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

関数\(f\left( x\right) \)が点\(a\)において極限\(0\)へ収束することを示すためには、絶対値定理より、代わりに関数\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)が点\(a\)において極限\(0\)へ収束することを示してもよいということです。上の命題は点において有限な実数へ収束する関数に関するものですが、無限大において有限な実数へ収束する関数に関しても同様の命題が成立します(証明は演習問題にします)。

命題(絶対値定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert f\left( x\right)
\right\vert &=&0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0
\\
\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\left\vert f\left( x\right)
\right\vert &=&0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}などがともに成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

次回からは極限が不定形になるような関数の対処方法について解説します。

次へ進む 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email

プレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。プレミアム会員の方は以下からログインしてください。

会員登録 | パスワードを忘れましたか?

有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

本サイトは MathJax を実装しているため、コメント文中で LaTex コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。その際、インライン数式は\(数式\)で、ディスプレイ数式は$$数式$$という形式でそれぞれ入力してください。 例えば、\(ax^{2}+bx+c=0\)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。MathJax(LaTex)の文法については次のサイト( https://easy-copy-mathjax.xxxx7.com )などを参照してください。 紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。アップロード可能な画像フォーマットは jpg, gif, png の 3 種類、ファイルサイズの上限は 5 MB です。PDF ファイルの添付も可能です。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

関数