関数の極限と順序（はさみうちの定理）

収束する関数と順序

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。これらの関数が以下の諸条件を満たす状況を想定します。

1つ目の条件は、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}です。つまり、関数\(f,g\)の定義域\(X\)上の値\(x\)を任意に選んだとき、それに対して\(g\)が定める値\(g\left( x\right) \)は\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)以上になるということです。

2つ目の条件は、関数\(f,g\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つということです。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f,g\)がともに有限な実数へ収束するということです。

以上の諸条件が満たされる場合、関数\(f,g\)の極限の間にも、\(\left( a\right) \)と同様の大小関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

関数の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

上の例において、結論中の大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(<\)に置き換えた主張もまた成り立つでしょうか。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) <g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、拡大実数\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ収束する場合、極限についても狭義の大小関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) <\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つと言えるでしょうか。以下の例が示唆するように、この主張は成り立つとは限りません。

収束する有界な関数の極限と上界・下界の関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は上に有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するものとします。以上条件が満たされる場合、\(f\)の極限は\(f\)の上界である\(U\)以下になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立ちます。上に有界な収束関数の極限は上界以下になるということです。

下に有界な収束関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は下に有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するものとします。以上条件が満たされる場合、\(f\)の極限は\(f\)の下界である\(L\)以上になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}L\leq \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。下に有界な収束関数の極限は下界以上になるということです。

関数の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

はさみうちの定理

定義域を共有する3つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。これらの関数が以下の諸条件を満たす状況を想定します。

1つ目の条件は、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq
h\left( x\right)
\end{equation*}です。つまり、関数\(f,g,h\)の定義域\(X\)上の値\(x\)を任意に選んだとき、それに対して\(g\)が定める値\(g\left( x\right) \)は\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)と\(h\)が定める値\(h\left( x\right) \)に挟まれるということです。

2つ目の条件は、\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(x\rightarrow a\)の場合に両端の関数\(f,h\)がともに同一の実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するということです。つまり、\begin{equation*}\left( b\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}h\left(
x\right) =b
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件が満たされる場合、間に挟まれる関数\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な極限へ収束するとともに、その極限が\(b\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つということです。これをはさみうちの定理（squeeze theorem）と呼びます。

関数の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

関数の片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

例（片側極限に関するはさみうちの定理）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\theta \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( \theta \right) =\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( \theta \right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }
\end{equation*}を特定します。関数\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の値において定義されています。\(\theta \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)を満たすラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選び、その動径を\(OP\)で表記します（下図）。

上図から明らかであるように、\(\theta \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)の場合には、\begin{equation}\text{三角形}OXP\text{の面積}<\text{扇形}OXP\text{の面積}<\text{三角形}OXR\text{の面積} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立します。それぞれの面積を求めます。まず、\begin{eqnarray*}
\text{三角形}OXP\text{の面積} &=&OX\text{の長さ}\cdot PQ\text{の長さ}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&1\cdot \sin \left( \theta \right) \cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{\sin \left( \theta \right) }{2}
\end{eqnarray*}となります。続いて、\begin{eqnarray*}
\text{扇形}OXP\text{の面積} &=&OX\text{の長さ}\cdot \text{弧}PX\text{の長さ}\cdot
\frac{1}{2} \\
&=&1\cdot \theta \cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{\theta }{2}
\end{eqnarray*}となります。さらに、\begin{eqnarray*}
\text{三角形}OXR\text{の面積} &=&OX\text{の長さ}\cdot RX\text{の長さ}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&1\cdot \tan \left( \theta \right) \cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{\tan \left( \theta \right) }{2} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left( \theta
\right) }
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の不等式\(\left(1\right) \)は、\begin{equation*}\frac{\sin \left( \theta \right) }{2}<\frac{\theta }{2}<\frac{1}{2}\cdot
\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left( \theta \right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sin \left( \theta \right) <\theta <\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos
\left( \theta \right) }
\end{equation*}となります。\(\theta \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)の場合には\(\sin \left( \theta\right) >0\)であるため、各辺を\(\sin \left( \theta \right) \)で割ることにより、\begin{equation*}1<\frac{\theta }{\sin \left( \theta \right) }<\frac{1}{\cos \left( \theta
\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\cos \left( \theta \right) <\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }<1
\end{equation*}を得ます。後ほど示すように余弦関数\(\cos \left(\theta \right) \)は右側連続であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{\theta \rightarrow 0+}\cos \left( \theta \right) &=&\cos \left(
0\right) \quad \because \text{余弦関数の連続性} \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。一方、定数関数\(1\)の右側極限は、\begin{equation*}\lim_{\theta \rightarrow 0+}1=1
\end{equation*}です。したがって、右側極限に関するはさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{\theta \rightarrow 0+}\frac{\sin \left( \theta \right) }{\theta }=1
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

絶対値定理

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して以下の関係\begin{equation*}-\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq f\left( x\right) \leq
\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( -\left\vert f\left( x\right) \right\vert \right)
&=&-\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert \quad
\because \text{定数倍の法則} \\
&=&-0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}もまた成り立つため、はさみうちの定理より、関数\(f\)についても、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。これを絶対値定理（absolute value theorem）と呼びます。つまり、関数\(f\left( x\right) \)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(0\)へ収束することを示すためには、関数\(\left\vert f\left( x\right)\right\vert \)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(0\)へ収束することを示してもよいということです。

関数の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

演習問題