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一様連続関数

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一様連続関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このような関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。さらに、関数\(f\)が定義域\(X\)上において連続であることは、\(f\)が\(X\)上の任意の点において連続であること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、関数\(f\)の定義域上の点\(a\)を任意に選んだ上で、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、点\(a\)からの距離がある値\(\delta \)より近い場所にある任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証されるということです。

通常、変数\(x\)の値が変化するにともない\(f\left(x\right) \)の値は一定のペースで変動するとは限らないため、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall x\in X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存して変化します。点\(a\)の位置に応じてその周辺の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)が変化する様子は異なるからです。例えば、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差が小さい場合には、\(x\)が\(a\)から多少離れていても\(f\left(x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差は小さいままであるため、\(\delta \)として大きい値をとることができます。逆に、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left(x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差が大きい場合には、\(x\)が\(a\)から少しでも離れてしまうと\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差は大きくなってしまうため、\(\delta \)として小さい値をとる必要があります。

一方、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、点\(a\)の位置とは関係なく、点\(a\)からの距離がある値\(\delta \)より近い場所にある任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証される場合には、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす場合には、関数\(f\)は定義域\(X\)上で一様連続(uniformly continuous on \(X\))であると言います。

改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で連続であることは、\begin{equation}\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味する一方、\(f\)が定義域\(X\)上で一様連続であることは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号\begin{equation*}
\forall a\in X
\end{equation*}の相対的な位置だけです。連続性の定義\(\left( 1\right) \)において\(\forall a\in X\)は\(\exists \delta >0\)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存します。点\(a\)の位置が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の値もまた変化するということです。一方、一様連続性の定義\(\left( 2\right) \)において\(\forall a\in X\)は\(\exists \delta >0\)よりも後に置かれているため、\(\left(2\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存しません。点\(a\)の位置が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(\delta \)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(\delta \)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様連続な関数は連続であるということです。連続性と一様連続性の関係については場を改めて解説します。

例(定数関数は一様連続)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数が\(X\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert c-c\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標ですが、結論\(0<\varepsilon \)は真であるため上の命題そのものも真です。したがって、\(f\)が\(X\)上で一様連続であることが明らかになりました。
例(恒等関数は一様連続)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。この関数が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(a\in \mathbb{R} \)および\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert x-a\right\vert &<&\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(一様連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert \left( 2x+1\right) -\left(
2a+1\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( |x-a|<\delta \Rightarrow 2\left\vert x-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(a\in \mathbb{R} \)および\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}2\left\vert x-a\right\vert &<&2\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&2\cdot \frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(一様連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,4\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,4\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\left( 0,4\right) \)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \left( 0,4\right)
,\ \forall x\in \left( 0,4\right) :\left( |x-a|<\delta \Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in \left( 0,4\right)
,\ \forall x\in \left( 0,4\right) :\left( |x-a|<\delta \Rightarrow
\left\vert x^{2}-a^{2}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{8}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(a\in \left(0,4\right) \)および\(x\in \left( 0,4\right) \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-a^{2}\right\vert &=&\left\vert \left( x+a\right) \left(
x-a\right) \right\vert \\
&=&\left( x+a\right) \left\vert x-a\right\vert \quad \because a,x\in \left(
0,4\right) \\
&<&\left( 4+4\right) \left\vert x-a\right\vert \quad \because a,x\in \left(
0,4\right) \\
&<&8\cdot \delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&8\cdot \frac{\varepsilon }{8}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数が一様連続ではないことの証明

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が一様連続であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(f\)が一様連続でないこととは、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in X,\ \exists x\in
X:\left( |x-a|<\delta \wedge \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の定義域上に存在する限りなく近い2つの点\(a,x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が正の実数になってしまうということです。

関数は一様連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(一様連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} _{++}\)上で一様連続ではないことを示します。具体的には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in \mathbb{R} _{++},\ \exists x\in \mathbb{R} _{++}:\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge \left\vert f\left(
x\right) -f\left( a\right) \right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in \mathbb{R} _{++},\ \exists x\in \mathbb{R} _{++}:\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \wedge \left\vert
x^{2}-a^{2}\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。そこで、\begin{equation}
\varepsilon =1>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\begin{eqnarray}a &=&\frac{1}{\delta }>0 \quad \cdots (2) \\
x &=&a+\frac{\delta }{2}>0 \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}をとると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-a\right\vert &=&\left\vert \left( a+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right\vert \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right)
\\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert \frac{\delta }{2}\right\vert \\
&<&\delta \quad \because \delta >0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-a^{2}\right\vert &=&\left\vert \left( a+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left( \frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right\vert \quad \because
\left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left(
\frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left\vert 1+\frac{\delta ^{2}}{4}\right\vert \\
&=&1+\frac{\delta ^{2}}{4}\quad \because \delta >0 \\
&>&1 \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。ちなみに、先に例を通じて確認したように、この関数\(f\)は\(\left( 0,4\right) \)上において一様連続です。つまり、関数の一様連続性は関数の形状だけでなく定義域にも依存します。

 

演習問題

問題(一様連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =5x-3
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを示してください。
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問題(一様連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+2x-5
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\left[ 0,3\right] \)上で一様連続であることを示してください。
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問題(一様連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,5)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 1,5)\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{4}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\([1,5)\)上で一様連続であることを示してください。
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問題(一様連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} _{+}\)上で一様連続であることを示してください。
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問題(一様連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} _{++}\)上で一様連続ではないことを示してください。
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問題(部分集合上における一様連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で一様連続であるものとします。\(Y\subset X\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(Y\)上において一様連続であることを示してください。
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