正接関数（tan関数）の極限

正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

正接関数\(\tan \left( x\right) \)の定義域となり得る最大の集合は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であることから、関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)は開集合であるため、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(\tan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(X\)上に定義された正接関数は定義域上の任意の点において有限な極限を持つということです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は多項式関数\(3x^{2}+2x+1\)と正接関数\(\tan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(3x^{2}+2x+1\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( 3x^{2}+2x+1\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。正接関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\tan \left( x\right) =\tan \left( 1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\tan \left(
3x^{2}+2x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\tan \left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されており、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( x+1\right) \left( x-1\right) }{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x+1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。正接関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\tan \left( x\right) =\tan \left( 1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\tan \left(
\frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\tan \left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\cos \left( a\right) \not=0
\end{equation*}を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(\tan \left(x\right) \)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合においても、\(x\rightarrow a\)のとき、\(\tan \left( x\right) \)は有限な実数へ収束せず、正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へも発散しない。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\)と正接関数\(\tan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\right) =-\frac{\pi }{6}
\end{equation*}が成り立ちます。ただ、\(\cos \left( -\frac{\pi }{6}\right) =0\)であり、したがって関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(-\frac{\pi }{6}\)では定義されていないため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi }{6}}\tan \left( x\right)
\end{equation*}は存在せず、したがって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}もまた存在しません。

正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\tan \left( x\right) \)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\cos \left( a\right) \not=0
\end{equation*}を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(\tan \left(x\right) \)が点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\tan \left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\tan \left( x\right) \)が点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\tan \left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ。

有界開区間上に正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。定義域の点\(a\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)を任意に選んだとき、正接関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、正接関数\(\tan \left(x\right) \)は点\(0\)を含めそれより大きい周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\tan \left( x\right) =\tan \left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(\frac{\pi }{2}\)に注目したとき、\(\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) =0\)であるため、正接関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\tan \left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。