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正接関数(tan関数)の極限

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正接関数の極限

正接関数\(\cos :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに\(\tan \left( x\right) \)は有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}となります。

命題(正接関数の極限)

正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(正接関数の極限)
ラジアン\(\theta \)の正接は\begin{equation*}\tan \left( \theta \right) =\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left(
\theta \right) }
\end{equation*}と定義されるため、正接関数は\(\cos \left( x\right) =0\)を満たすような点\(x\)において定義されません。具体的には、そのような条件を満たす点\(x\)からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \frac{\pi }{2}+2n\pi \in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{Z} \right\} =\left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}となります。つまり、\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるような点において正接関数は定義されません。逆に、正接関数は以下の集合\begin{equation*}X=\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}上に定義可能です。\(X\)は開集合であるため、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(\tan \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(X\)上に定義された正接関数は\(X\)上の任意の点において有限な極限を持つということです。
例(正接関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は多項式関数\(3x^{2}+2x+1\)と正接関数\(\tan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(3x^{2}+2x+1\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( 3x^{2}+2x+1\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。正接関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\tan \left( x\right) =\tan \left( 1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\tan \left(
3x^{2}+2x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\tan \left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(余弦関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されており、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( x+1\right) \left( x-1\right) }{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x+1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。正接関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1}\tan \left( x\right) =\tan \left( 1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\tan \left(
\frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\tan \left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

繰り返しになりますが、\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるような点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、正接関数\(\tan \)は点\(a\)において定義されていません。とは言え、\(\tan \)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていれば\(x\rightarrow a\)のときの極限を考えることはできます。ただ、そのような点\(a\)について、\(x\rightarrow a\)のときに\(\tan \)は実数へ収束せず、正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へも発散しません。これは正接関数が狭義単調増加であることから導かれます。

命題(正弦関数の極限)

正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるような点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとする。このような場合においても\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) \)は存在しない。

例(正接関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は\(f\)の定義域です。\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の極限を求めます。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\)と正接関数\(\tan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( x^{2}+x-\frac{\pi }{6}\right) =-\frac{\pi }{6}
\end{equation*}が成り立ちます。ただ、\(-\frac{\pi }{6}\)は\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であり、したがって関数\(\tan \left( x\right) \)は点\(-\frac{\pi }{6}\)では定義されていないため、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi }{6}}\tan \left( x\right)
\end{equation*}は存在せず、したがって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}もまた存在しません。

 

正接関数の片側極限

先の命題を踏まえると、片側極限に関する以下の命題が得られます。

命題(正接関数の片側極限)
正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ち、点\(a\in X\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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正接関数が定義されない点における片側極限については以下が成り立ちます。

命題(正接関数の片側極限)
正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるような点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\tan \left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ち、\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるような点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\tan \left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ。

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例(正接関数の片側極限)
有界開区間上に正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。定義域の点\(a\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)を任意に選んだとき、正接関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\tan \left( x\right) =\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、正接関数\(\tan \)は点\(0\)を含めそれより大きい周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\tan \left( x\right) =\tan \left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(\frac{\pi }{2}\)に注目したとき、\(\frac{\pi }{2}\)は\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるため、正接関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\tan \left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

 

正接関数の無限大における極限

正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく大きい任意の点や限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。正接関数は周期\(\pi \)の周期関数であるため、\(x\rightarrow+\infty \)の場合や\(x\rightarrow -\infty \)の場合、有限な実数へ収束せず、正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へも発散しません。

次回は三角関数の極限公式について解説します。

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正接関数(tan関数)

それぞれのラジアンに対してその余弦(コサイン)を定める関数を余弦関数(コサイン関数)と呼びます。余弦関数のグラフを余弦曲線(コサイン・カーブ)と呼びます。

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