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有理数ベキ関数

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有理数ベキ関数

復習になりますが、無理関数とは自然数\(n\)を用いて\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)と定義される関数であり、整数ベキ関数とは整数\(z\)を用いて\(g\left( x\right)=x^{z}\)と定義される関数です。一般に、これらの合成関数\(g\circ f\)は任意の点\(x\)において定義可能であるとは限りませんが、点\(x\)において定義可能である場合には、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\because \text{合成関数の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{z}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{z}\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。この\(g\circ f\)を有理数ベキ関数(rational power function)と呼び、有理数ベキ関数がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{z}\)を、\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}で表記します。有理数は整数\(z\)と自然数\(n\)を用いて\(\frac{z}{n}\)という形で表すことができるため、有理数ベキ関数とは指数が有理数であるような関数に他なりません。

有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}\)の指数に相当する有理数\(\frac{z}{n}\)の符号はそれを構成する整数\(z\)の符号と一致します。ただ、\(z=0\)の場合には\(\frac{z}{n}=0\)となり、この場合の有理数ベキ関数は\(x^{\frac{z}{n}}=x^{0}=1\)という定数関数になります。定数関数についてはすでに解説したため以降では\(z\not=0\)の場合についてのみ考えます。

\(z>0\)の場合には\(\frac{z}{n}>0\)であり、この場合の\(x^{\frac{z}{n}}\)を正有理数ベキ関数と呼ぶこととします。正の整数\(z\)は自然数\(m\)を用いて\(z=m\)と表すことができるため、正有理数ベキ関数は自然数\(n,m\)を用いて、\begin{equation*}x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}と表すことができます。つまり、これは無理関数\(y=x^{\frac{1}{n}}\)と自然数ベキ関数\(y^{m}\)の合成関数です。自然数ベキ関数\(y^{m}\)は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の値域は明らかにその部分集合です。したがって、\(x^{\frac{1}{n}}\)が定義可能な任意の点において\(x^{\frac{m}{n}}\)もまた定義可能です。例えば、\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で定義可能であるため\(x^{\frac{m}{n}}\)もまた\(\mathbb{R} _{+}\)上で定義可能です。

例(正有理数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}=\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は正有理数ベキ関数であるため\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義可能ですが、改めてその理由を考えてみましょう。この\(f\)は無理関数\(y=x^{\frac{1}{3}}\)と整数ベキ関数\(y^{2}\)の合成関数です。整数ベキ関数\(y^{2}\)は\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義可能であり、その場合の値域は\(\mathbb{R} _{+}\)ですが、これは\(y^{2}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義可能です。

\(z<0\)の場合には\(\frac{z}{n}<0\)であり、この場合の\(x^{\frac{z}{n}}\)を負有理数ベキ関数と呼ぶこととします。負の整数\(z\)は自然数\(m\)を用いて\(z=-m\)と表すことができるため、負有理数ベキ関数は自然数\(n,m\)を用いて、\begin{equation*}x^{-\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{-m}
\end{equation*}と表すことができます。つまり、これは無理関数\(y=x^{\frac{1}{n}}\)と負整数ベキ関数\(y^{-m}\)の合成関数です。負整数ベキ関数\(y^{-m}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能です。一方、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義可能であり、その場合の値域も\(\mathbb{R} _{+}\)になりますが、これは\(y^{-m}\)の定義域の部分集合ではありません。\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)へ縮小すれば値域も\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)となり、これは\(y^{-m}\)の定義域の部分集合になります。したがって、負有理数ベキ関数\(x^{-\frac{m}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能です。

例(負有理数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-\frac{2}{3}}=\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{-2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は負有理数ベキ関数であるため\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能ですが、改めてその理由を考えてみましょう。この\(f\)は無理関数\(y=x^{\frac{1}{3}}\)と負整数ベキ関数\(y^{-2}\)の合成関数です。負整数ベキ関数\(y^{-2}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能です。無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義可能であり、その場合の値域は\(\mathbb{R} _{+}\)です。ただ、\(\mathbb{R} _{+}\)は\(y^{-2}\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の部分集合ではありません。そこで、\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)に制限すれば値域は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)となり、これは\(y^{-2}\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の部分集合になります。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能です。\(f\)は点\(0\)において定義不可能です。

 

正有理数ベキ関数との合成関数

正有理数関数は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義可能であるため、これを\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=x^{\frac{m}{n}}\)かつ\(m,n\in \mathbb{N} \)です。このとき、非負の実数を値としてとる関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を任意に選べば、その値域は\(g\)の定義域の部分集合になるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非負の実数を値としてとる多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(p\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,p\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{p}c_{k}x^{k}\geq 0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}=\left[
\sum\limits_{k=0}^{p}c_{k}x^{k}\right] ^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n,m\in \mathbb{N} \)です。これは多項式関数\(y=f\left( x\right) \)と正有理数ベキ関数\(y^{\frac{m}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。なぜなら、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\geq 0
\end{equation*}が成り立つからです。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非負の実数を値としてとる有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\geq 0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}i\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}=\left[
\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(i:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n,m\in \mathbb{N} \)です。これは有理関数\(y=f\left( x\right) \)と正有理数ベキ関数\(y^{\frac{m}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。なぜなら、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\geq 0
\end{equation*}が成り立つからです。

 

負有理数ベキ関数との合成関数

負有理数関数は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)上に定義可能であるため、これを\(g:\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=x^{-\frac{m}{n}}\)かつ\(m,n\in \mathbb{N} \)です。このとき、正の実数を値としてとる関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選べば、その値域は\(g\)の定義域の部分集合になるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{-\frac{m}{n}}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 0\right\} \)は正の実数を値としてとる多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(p\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,p\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{p}c_{k}x^{k}>0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-\frac{m}{n}}=\left[
\sum\limits_{k=0}^{p}c_{k}x^{k}\right] ^{-\frac{m}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n,m\in \mathbb{N} \)です。これは多項式関数\(y=f\left( x\right) \)と負有理数ベキ関数\(y^{-\frac{m}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。なぜなら、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1>0
\end{equation*}が成り立つからです。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は正の実数を値としてとる有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }>0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}i\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{-\frac{m}{n}}=\left[
\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{-\frac{m}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(i:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n,m\in \mathbb{N} \)です。これは有理関数\(y=f\left( x\right) \)と負有理数ベキ関数\(y^{-\frac{m}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}+7}{x^{2}+1}\right) ^{-\frac{7}{5}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。なぜなら、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\frac{x^{4}+7}{x^{2}+1}>0
\end{equation*}が成り立つからです。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-1\right) ^{-\frac{5}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x-1\right) ^{\frac{11}{7}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{-\frac{3}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+10\right) ^{\frac{9}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{\left( x+2\right) \left( x-3\right) }{x-1}\right] ^{-\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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次回は絶対値関数について学びます。

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