有理ベキ関数
復習になりますが、無理関数とは自然数\(n\)を用いて\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)と定義される関数であり、整数ベキ関数とは整数\(m\)を用いて\(g\left( x\right) =x^{m}\)と定義される関数です。一般に、これらの合成関数\(g\circ f\)は任意の点\(x\)において定義可能であるとは限りませんが、点\(x\)において定義可能である場合には、それは、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{m}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。この\(g\circ f\)を有理ベキ関数(rational power function)と呼び、有理ベキ関数がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\)を、\begin{equation*}
x^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}で表します。任意の有理数は整数\(m\)と自然数\(n\)を用いて\(\frac{m}{n}\)という形で表すことができるため、有理ベキ関数とは指数が有理数であるような関数に他なりません。
有理ベキ関数の定義可能性について整理します。無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)ですが、定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限すれば値域も\(\mathbb{R} _{++}\)になります。一方、整数ベキ関数\(g\left( x\right) =x^{m}\)の定義域は、\(m\geq 0\)の場合には\(\mathbb{R} \)であり、\(m<0\)の場合には\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)です。以上を踏まえると、\(m\geq 0\)の場合、\(f\)の値域\(\mathbb{R} _{+}\)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、有理ベキ関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点において定義可能です。一方、\(m<0\)の場合、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限すれば\(f\)の値域\(\mathbb{R} _{++}\)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)の部分集合になるため、\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において定義可能です。言い換えると、\(m<0\)の場合には、\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) \)は点\(x=0\)において定義されません。以上を整理すると、有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}\)の定義域\(X\subset \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{ll}
\mathbb{R} _{+} & \left( if\ m\geq 0\right) \\
\mathbb{R} _{++} & \left( if\ m<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}=\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。この\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{2}\)の合成関数です。
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}=\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}=\frac{1}{\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。この\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数です。また、この\(f\)は\(x=0\)において定義されないことに注意が必要です。
有理ベキ関数の連続性
繰り返しになりますが、有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\)は無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)と整数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数ですが、すでに示したように、これらがともに定義域上で連続です。したがって、合成関数の連続性に関する命題より、有理ベキ関数もまた定義域上で連続であることが示されます。
合成関数の連続性について復習するf\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}として表されるものとする。ただし、\(m\geq 0\)の場合には\(X=\mathbb{R} _{+}\)であり、\(m<0\)の場合には\(X=\mathbb{R} _{++}\)である。この\(f\)は\(X\)上で連続である。
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。したがって、この\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。したがって、この\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)上で連続です。
有理ベキ関数の極限
無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であることが示されました。したがって、連続性の定義より、定義域上の点\(\alpha \in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =f\left( \alpha \right) =\alpha
^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}を満たします。
f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}として表されるものとする。ただし、\(m\geq 0\)の場合には\(X=\mathbb{R} \)であり、\(m<0\)の場合には\(X=\mathbb{R} \backslash \{0\}\)である。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in X\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha ^{\frac{m}{n}}=\left(
\alpha ^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}となる。
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数であるため、それぞれの\(\alpha \in \mathbb{R} _{+}\)において\(f\left( \alpha \right) \)へ収束します。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}x^{\frac{2}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad
\because \text{有理ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \alpha }x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \alpha ^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad \because \text{無理関数の極限} \\
&=&\alpha ^{\frac{2}{3}}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&f\left( \alpha \right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数であるため、それぞれの\(\alpha \in \mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)において\(f\left( \alpha \right) \)へ収束します。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}x^{-\frac{3}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}\quad
\because \text{有理ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \alpha }x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}\quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \alpha ^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}\quad \because \text{無理関数の極限} \\
&=&\alpha ^{-\frac{3}{2}}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&f\left( \alpha \right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
有理ベキ関数との合成関数
関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値が\(f\left( x\right) \geq 0\)を満たす場合には、これと有理ベキ関数\(g\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)から合成関数\(g\circ f\)が定義可能です。ただし、\(m<0\)の場合の\(g\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)であるため、この場合には、任意の\(x\)に対して\(f\left( x\right) >0\)である必要があります。いずれにせよ、この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。
関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するものとします。先に示したように有理ベキ関数\(g\)は定義域上で連続です。したがって、合成関数の極限に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}
\end{eqnarray*}となります。ただし、ゼロで割ることはできないため、\(m<0\)の場合には\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \not=0\)である必要があります。
\end{array}\right.
\end{equation*}である。\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束するならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}となる。ただし、\(m<0\)の場合には\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \not=0\)であるものとする。
関数\(f\)が点\(\alpha \in X\)において収束するだけでなく、連続であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) &=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because \text{上の命題} \\ &=&\left[ f\left( \alpha \right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because f\text{の連続性} \\ &=&g\left( \alpha \right) \quad \because g\text{の定義} \end{eqnarray*}となるため、\(g\)は\(\alpha \)において連続です。ただし、\(\alpha \)が\(X\)の内点ではなく境界点である場合には、連続性の代わりに片側連続性を採用します。
\end{equation*}です。これは単項式関数\(cx^{n}\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{l}{m}}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( cx^{n}\right) ^{\frac{l}{m}}=\left( c\alpha ^{n}\right) ^{\frac{l}{m}}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}=\left( 2\alpha ^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たします。
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{l}{m}} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{\frac{l}{m}}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}>0\right\}
\end{equation*}です。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{l}{m}}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{l}{m}} \\
&=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}\alpha ^{k}\right) ^{\frac{l}{m}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&\left( \sqrt{2}\alpha ^{4}+2\alpha ^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }>0\right\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha }
\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}} \\
&=&\left[ \frac{g\left( \alpha \right) }{h\left( \alpha \right) }\right] ^{\frac{m}{n}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in (5,+\infty )\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&\left( \frac{\alpha ^{2}+7}{\alpha -5}\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
次回から三角関数について学びます。
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