有理ベキ関数

次数が有理数であるようなベキ関数を有理ベキ関数と呼びます。有理ベキ関数は定義域上で連続です。この事実を利用すると、有理ベキ関数との合成関数として表される関数の連続性を容易に示すことができます。
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有理ベキ関数

復習になりますが、無理関数とは自然数\(n\)を用いて\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)と定義される関数であり、整数ベキ関数とは整数\(m\)を用いて\(g\left( x\right) =x^{m}\)と定義される関数です。一般に、これらの合成関数\(g\circ f\)は任意の点\(x\)において定義可能であるとは限りませんが、点\(x\)において定義可能である場合には、それは、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{m}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。この\(g\circ f\)を有理ベキ関数(rational power function)と呼び、有理ベキ関数がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\)を、\begin{equation*}
x^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}で表します。任意の有理数は整数\(m\)と自然数\(n\)を用いて\(\frac{m}{n}\)という形で表すことができるため、有理ベキ関数とは指数が有理数であるような関数に他なりません。

無理関数について復習する 整数ベキ関数について復習する

有理ベキ関数の定義可能性について整理します。無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)ですが、定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限すれば値域も\(\mathbb{R} _{++}\)になります。一方、整数ベキ関数\(g\left( x\right) =x^{m}\)の定義域は、\(m\geq 0\)の場合には\(\mathbb{R} \)であり、\(m<0\)の場合には\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)です。以上を踏まえると、\(m\geq 0\)の場合、\(f\)の値域\(\mathbb{R} _{+}\)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、有理ベキ関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点において定義可能です。一方、\(m<0\)の場合、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限すれば\(f\)の値域\(\mathbb{R} _{++}\)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)の部分集合になるため、\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において定義可能です。言い換えると、\(m<0\)の場合には、\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) \)は点\(x=0\)において定義されません。以上を整理すると、有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}\)の定義域\(X\subset \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{ll}
\mathbb{R} _{+} & \left( if\ m\geq 0\right) \\
\mathbb{R} _{++} & \left( if\ m<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(有理ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}=\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。この\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{2}\)の合成関数です。
例(有理ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}=\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}=\frac{1}{\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。この\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数です。また、この\(f\)は\(x=0\)において定義されないことに注意が必要です。

 

有理ベキ関数の連続性

繰り返しになりますが、有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\)は無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)と整数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数ですが、すでに示したように、これらがともに定義域上で連続です。したがって、合成関数の連続性に関する命題より、有理ベキ関数もまた定義域上で連続であることが示されます。

合成関数の連続性について復習する
命題(有理ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理ベキ関数であるものとする。つまり、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と整数\(m\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}として表されるものとする。ただし、\(m\geq 0\)の場合には\(X=\mathbb{R} _{+}\)であり、\(m<0\)の場合には\(X=\mathbb{R} _{++}\)である。この\(f\)は\(X\)上で連続である。
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例(有理ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。したがって、この\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。
例(有理ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。したがって、この\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)上で連続です。

 

有理ベキ関数の極限

無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であることが示されました。したがって、連続性の定義より、定義域上の点\(\alpha \in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =f\left( \alpha \right) =\alpha
^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}を満たします。

命題(有理ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理ベキ関数であるものとする。つまり、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と整数\(m\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}として表されるものとする。ただし、\(m\geq 0\)の場合には\(X=\mathbb{R} \)であり、\(m<0\)の場合には\(X=\mathbb{R} \backslash \{0\}\)である。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in X\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha ^{\frac{m}{n}}=\left(
\alpha ^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}
\end{equation*}となる。
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例(有理ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数であるため、それぞれの\(\alpha \in \mathbb{R} _{+}\)において\(f\left( \alpha \right) \)へ収束します。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}x^{\frac{2}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad
\because \text{有理ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \alpha }x^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \alpha ^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad \because \text{無理関数の極限} \\
&=&\alpha ^{\frac{2}{3}}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&f\left( \alpha \right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例(有理ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{-\frac{3}{2}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数であるため、それぞれの\(\alpha \in \mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)において\(f\left( \alpha \right) \)へ収束します。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}x^{-\frac{3}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}\quad
\because \text{有理ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \alpha }x^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}\quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \alpha ^{\frac{1}{2}}\right) ^{-3}\quad \because \text{無理関数の極限} \\
&=&\alpha ^{-\frac{3}{2}}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&f\left( \alpha \right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

有理ベキ関数との合成関数

関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値が\(f\left( x\right) \geq 0\)を満たす場合には、これと有理ベキ関数\(g\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)から合成関数\(g\circ f\)が定義可能です。ただし、\(m<0\)の場合の\(g\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)であるため、この場合には、任意の\(x\)に対して\(f\left( x\right) >0\)である必要があります。いずれにせよ、この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。

関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するものとします。先に示したように有理ベキ関数\(g\)は定義域上で連続です。したがって、合成関数の極限に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}
\end{eqnarray*}となります。ただし、ゼロで割ることはできないため、\(m<0\)の場合には\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \not=0\)である必要があります。

命題(有理ベキ関数との合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*} g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}} \end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を考える。ただし、\(n\)は自然数、\(m\)は整数であり、定義域\(X\)は、\begin{equation*} X=\left\{ \begin{array}{cc} \{x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq 0\} & \left( if\ m\geq 0\right) \\ \{x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >0\} & \left( if\ m<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束するならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}となる。ただし、\(m<0\)の場合には\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \not=0\)であるものとする。
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関数\(f\)が点\(\alpha \in X\)において収束するだけでなく、連続であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) &=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because \text{上の命題} \\ &=&\left[ f\left( \alpha \right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because f\text{の連続性} \\ &=&g\left( \alpha \right) \quad \because g\text{の定義} \end{eqnarray*}となるため、\(g\)は\(\alpha \)において連続です。ただし、\(\alpha \)が\(X\)の内点ではなく境界点である場合には、連続性の代わりに片側連続性を採用します。

命題(有理ベキ関数との合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*} g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}} \end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を考える。ただし、\(n\)は自然数、\(m\)は整数であり、定義域\(X\)は、\begin{equation*} X=\left\{ \begin{array}{cc} \{x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \geq 0\} & \left( if\ m\geq 0\right) \\ \{x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >0\} & \left( if\ m<0\right) \end{array}\right. \end{equation*}である。\(f\)が点\(\alpha \in X\)において連続ならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(単項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と整数\(l\)、実数\(c\)を用いて、\begin{equation*} f\left( x\right) =\left( cx^{n}\right) ^{\frac{l}{m}} \end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*} X=\{x\in \mathbb{R} \ |\ cx^{n}>0\}
\end{equation*}です。これは単項式関数\(cx^{n}\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{l}{m}}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( cx^{n}\right) ^{\frac{l}{m}}=\left( c\alpha ^{n}\right) ^{\frac{l}{m}}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( 2x^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}=\left( 2\alpha ^{2}\right) ^{-\frac{2}{5}}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たします。
単項式関数について復習する
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と整数\(l\)、実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{l}{m}} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{\frac{l}{m}}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}>0\right\}
\end{equation*}です。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{l}{m}}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{l}{m}} \\
&=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}\alpha ^{k}\right) ^{\frac{l}{m}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&\left( \sqrt{2}\alpha ^{4}+2\alpha ^{2}+1\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
多項式関数について復習する
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と整数\(m\)、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }>0\right\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha }
\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{m}{n}} \\
&=&\left[ \frac{g\left( \alpha \right) }{h\left( \alpha \right) }\right] ^{\frac{m}{n}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{2}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in (5,+\infty )\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&\left( \frac{\alpha ^{2}+7}{\alpha -5}\right) ^{-\frac{2}{5}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
有理関数について復習する

次回から三角関数について学びます。

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