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有理数ベキ関数(有理数指数の累乗関数)の定義と具体例

目次

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有理数ベキ関数

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定めます。\(n\)が奇数の場合には\(f\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} \)である一方で、\(n\)が偶数の場合には\(f\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)であることに注意してください。

整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、整数ベキ関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(g\)はそれぞれの\(x\in Y\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}を定めます。\(z\geq 0\)の場合には\(g\)の定義域は\(\mathbb{R} \)である一方で、\(z<0\)の場合には\(g\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であることに注意してください。

無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)の値域が整数ベキ関数\(g\left( x\right) =x^{z}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x^{\frac{1}{n}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{z}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。この値を、\begin{equation*}
x^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表記できるものと定めます。それにあわせて、以上の合成関数\(g\circ f\)そのものを、\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記できるものと定め、これを有理数ベキ関数(rational power function)と呼びます。つまり、有理数ベキ関数とは係数\(\frac{z}{n}\)が有理数であるようなベキ関数です。

例(有理数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。これは有理数ベキ関数です。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 27\right) &=&27^{\frac{2}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 27^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad \because \text{有理数ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \left( 3^{3}\right) ^{\frac{1}{3}}\right) ^{2} \\
&=&3^{2}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&9
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&0^{\frac{2}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 0^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad \because \text{有理数ベキ関数の定義} \\
&=&0^{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
f\left( -27\right) &=&\left( -27\right) ^{\frac{2}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \left( -27\right) ^{\frac{1}{3}}\right) ^{2}\quad \because \text{有理数ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \left( \left( -3\right) ^{3}\right) ^{\frac{1}{3}}\right) ^{2} \\
&=&\left( -3\right) ^{2}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&9
\end{eqnarray*}となります。

例(有理数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。これは有理数ベキ関数です。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 27\right) &=&27^{-\frac{2}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&27^{\frac{-2}{3}} \\
&=&\left( 27^{\frac{1}{3}}\right) ^{-2}\quad \because \text{有理数ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \left( 3^{3}\right) ^{\frac{1}{3}}\right) ^{-2} \\
&=&3^{-2}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&\frac{1}{3^{2}} \\
&=&\frac{1}{9}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
f\left( -27\right) &=&\left( -27\right) ^{-\frac{2}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( -27\right) ^{\frac{-2}{3}} \\
&=&\left( \left( -27\right) ^{\frac{1}{3}}\right) ^{-2}\quad \because \text{有理数ベキ関数の定義} \\
&=&\left( \left( \left( -3\right) ^{3}\right) ^{\frac{1}{3}}\right) ^{-2} \\
&=&\left( -3\right) ^{-2}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&\frac{1}{\left( -3\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{9}
\end{eqnarray*}となります。

 

有理数ベキ関数の定義域と値域

有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域と値域は係数\(\frac{z}{n}\)を構成する\(z\)の符号および\(n,z\)の偶奇に依存します。具体的には以下の通りです。

命題(有理数ベキ関数の定義域と値域)
自然数\(n\in \mathbb{Z} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義する。ただし、\(\frac{z}{n}\)は既約分数であるものとする。この場合には以下が成り立つ。

  1. \(z=0\)の場合には、\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)で値域は\(\left\{ 1\right\} \)である。
  2. \(z>0\)であるとともに、\(n\)と\(z\)がともに奇数の場合には、\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} \)である。
  3. \(z>0\)であるとともに、\(n\)が奇数で\(z\)が偶数の場合には、\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)で値域は\(\mathbb{R} _{+}\)である。
  4. \(z>0\)であるとともに、\(n\)が偶数で\(z\)が奇数の場合には、\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)である。
  5. \(z<0\)であるとともに、\(n\)と\(z\)がともに奇数の場合には、\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)である。
  6. \(z<0\)であるとともに、\(n\)が奇数で\(z\)が偶数の場合には、\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)で値域は\(\mathbb{R} _{++}\)である。
  7. \(z<0\)であるとともに、\(n\)が偶数で\(z\)が奇数の場合には、\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{++}\)である。
証明

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例(有理数ベキ関数)
有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:有理数ベキ関数
図:有理数ベキ関数

この関数\(x^{\frac{2}{3}}\)の指数の分母\(3\)は奇数であり、分子\(2\)は正の偶数であるため、先の命題より\(x^{\frac{2}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)で値域は\(\mathbb{R} _{+}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例(有理数ベキ関数)
有理数ベキ関数\(x^{\frac{5}{4}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:有理数ベキ関数
図:有理数ベキ関数

この関数\(x^{\frac{5}{4}}\)の指数の分母\(4\)は偶数であり、分子\(5\)は正の奇数であるため、先の命題より\(x^{\frac{5}{4}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例(有理数ベキ関数)
有理数ベキ関数\(x^{-\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:有理数ベキ関数
図:有理数ベキ関数

この関数\(x^{-\frac{2}{3}}=x^{\frac{-2}{3}}\)の指数の分母\(3\)は奇数であり、分子\(-2\)は負の偶数であるため、先の命題より\(x^{-\frac{2}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)で値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例(有理数ベキ関数)
有理数ベキ関数\(x^{-\frac{5}{4}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:有理数ベキ関数
図:有理数ベキ関数

この関数\(x^{-\frac{5}{4}}=x^{\frac{-5}{4}}\)の指数の分母\(4\)は偶数であり、分子\(-5\)は負の奇数であるため、先の命題より\(x^{-\frac{5}{4}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{++}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

 

有理数ベキ関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、自然数\(n\in \mathbb{N} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域が\(x^{\frac{z}{n}}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
x^{\frac{z}{n}}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( x^{\frac{z}{n}}\circ f\right) \left( x\right) =\left[ f\left(
x\right) \right] ^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}を値として定めます。

例(多項式関数と有理数ベキ関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。自然数\(n\in \mathbb{N} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(f\)の値域が有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(Y\)の部分集合である場合には、関数\begin{equation*}\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは多項式関数\(f\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\left( x^{2}+1\right) ^{\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は多項式関数\(x^{2}+1\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{3}}\)の合成関数です。
例(有理関数と有理数ベキ関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるとものとします。自然数\(n\in \mathbb{N} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\(f\)の値域が有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(Y\)の部分集合である場合には、関数\begin{equation*}\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは多項式関数\(f\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) ^{\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理関数\(\frac{1}{x^{2}+1}\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{3}}\)の合成関数です。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(x^{\frac{z}{n}}\)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( x^{\frac{z}{n}}\right) \left( Y\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in Y\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ x^{\frac{z}{n}}\right) \left( x\right) =f\left( x^{\frac{z}{n}}\right)
\end{equation*}を定めます。

例(有理数ベキ関数と多項式関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるとものとします。自然数\(n\in \mathbb{N} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、関数\begin{equation*}f\left( x^{\frac{z}{n}}\right) :\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}\)と多項式関数\(f\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\left( x^{\frac{2}{3}}\right) ^{2}+x^{\frac{2}{3}}+1:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{3}}\)と多項式関数\(x^{2}+x+1\)の合成関数です。
例(有理数ベキ関数とと有理関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \subset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるとものとします。自然数\(n\in \mathbb{N} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が\(f\)の定義域\(X\)の部分集合である場合には、関数\begin{equation*}f\left( x^{\frac{z}{n}}\right) :\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}\)と有理関数\(f\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\frac{1}{\left( x^{\frac{2}{3}}\right) ^{2}+1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{3}}\)と有理関数\(\frac{1}{x^{2}+1}\)の合成関数です。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-1\right) ^{-\frac{5}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x-1\right) ^{\frac{11}{7}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{-\frac{3}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+10\right) ^{\frac{9}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{\left( x+2\right) \left( x-3\right) }{x-1}\right] ^{-\frac{2}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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