有理ベキ関数

有理ベキ関数

復習になりますが、無理関数とは自然数\(n\)を用いて\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)と定義される関数であり、整数ベキ関数とは整数\(m\)を用いて\(g\left( x\right) =x^{m}\)と定義される関数です。一般に、これらの合成関数\(g\circ f\)は任意の点\(x\)において定義可能であるとは限りませんが、点\(x\)において定義可能である場合には、それは、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{m}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。この\(g\circ f\)を有理ベキ関数（rational power function）と呼び、有理ベキ関数がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\)を、\begin{equation*}
x^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}で表します。任意の有理数は整数\(m\)と自然数\(n\)を用いて\(\frac{m}{n}\)という形で表すことができるため、有理ベキ関数とは指数が有理数であるような関数に他なりません。

有理ベキ関数の定義可能性について整理します。無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)ですが、定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限すれば値域も\(\mathbb{R} _{++}\)になります。一方、整数ベキ関数\(g\left( x\right) =x^{m}\)の定義域は、\(m\geq 0\)の場合には\(\mathbb{R} \)であり、\(m<0\)の場合には\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)です。以上を踏まえると、\(m\geq 0\)の場合、\(f\)の値域\(\mathbb{R} _{+}\)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、有理ベキ関数\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点において定義可能です。一方、\(m<0\)の場合、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)に制限すれば\(f\)の値域\(\mathbb{R} _{++}\)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)の部分集合になるため、\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において定義可能です。言い換えると、\(m<0\)の場合には、\(\left( g\circ f\right) \left( x\right) \)は点\(x=0\)において定義されません。以上を整理すると、有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}\)の定義域\(X\subset \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
X=\left\{
\begin{array}{ll}
\mathbb{R} _{+} & \left( if\ m\geq 0\right) \\
\mathbb{R} _{++} & \left( if\ m<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

有理ベキ関数の連続性

繰り返しになりますが、有理ベキ関数\(x^{\frac{m}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{m}\)は無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)と整数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数ですが、すでに示したように、これらがともに定義域上で連続です。したがって、合成関数の連続性に関する命題より、有理ベキ関数もまた定義域上で連続であることが示されます。

有理ベキ関数の極限

無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であることが示されました。したがって、連続性の定義より、定義域上の点\(\alpha \in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =f\left( \alpha \right) =\alpha
^{\frac{m}{n}}
\end{equation*}を満たします。

有理ベキ関数との合成関数

関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値が\(f\left( x\right) \geq 0\)を満たす場合には、これと有理ベキ関数\(g\left( x\right) =x^{\frac{m}{n}}\)から合成関数\(g\circ f\)が定義可能です。ただし、\(m<0\)の場合の\(g\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\backslash \{0\}\)であるため、この場合には、任意の\(x\)に対して\(f\left( x\right) >0\)である必要があります。いずれにせよ、この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。

関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するものとします。先に示したように有理ベキ関数\(g\)は定義域上で連続です。したがって、合成関数の極限に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}
\end{eqnarray*}となります。ただし、ゼロで割ることはできないため、\(m<0\)の場合には\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \not=0\)である必要があります。

関数\(f\)が点\(\alpha \in X\)において収束するだけでなく、連続であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) &=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because \text{上の命題} \\ &=&\left[ f\left( \alpha \right) \right] ^{\frac{m}{n}}\quad \because f\text{の連続性} \\ &=&g\left( \alpha \right) \quad \because g\text{の定義} \end{eqnarray*}となるため、\(g\)は\(\alpha \)において連続です。ただし、\(\alpha \)が\(X\)の内点ではなく境界点である場合には、連続性の代わりに片側連続性を採用します。

次回から三角関数について学びます。