関数の最大値と最小値
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がとり得るすべての値からなる集合は、\begin{equation*}
f\left( X\right) =\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\mathbb{R}\)の部分集合ですので、その最大値\(\max f\left( X\right) \)が存在するか否かを検討できます。\(\max f\left( X\right) \)を関数\(f\)の\(X\)における最大値（maximum value）と呼び、\begin{equation*}
\forall y\in f\left( X\right) :y\leq \max f\left( X\right)
\end{equation*}を満たす実数として定義します。同様に、\(f\left( X\right) \)の最小値\(\min f\left( X\right) \)を関数\(f\)の\(X\)における最小値（minimum value）と呼び、\begin{equation*}
\forall y\in f\left( X\right) :\max f\left( X\right) \leq y
\end{equation*}を満たす実数として定義します。
一般に、\(\mathbb{R}\)の部分集合は最大値や最小値を持つとは限らないため、関数の最大値や最小値もまた存在するとは限りません。
実数の部分集合の最大値や最小値について復習するf\left( \left[ -1,1\right] \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,1\right] \} \\
&=&\{-x^{2}+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,1\right] \} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となるため、関数\(f\)の\(\left[ -1,1\right] \)における最大値は\(1\)、最小値は\(0\)です。\(X=\mathbb{R}\)の場合には、\begin{eqnarray*}
f\left( \mathbb{R} \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \} \\
&=&\{-x^{2}+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \} \\
&=&(-\infty ,1] \end{eqnarray*}となるため、関数\(f\)の\(\mathbb{R}\)における最大値は\(1\)ですが、最小値は存在しません。
最大値・最小値の定理
先に例示したように、一般に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)は定義域\(X\)において最大値や最小値をとるとは限りません。しかし、関数\(f\)の定義域\(X\)が有界な閉区間であるとともに、\(f\)が連続関数である場合には話は別です。以前に示したように、これらの条件のもとでは以下の命題が成り立ちます。
上の命題が主張するように、\(f\left( \left[ a,b\right] \right) \)が有界な閉区間であるならば端点が存在し、それらは\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)における最大値と最小値になるはずです。これを最大値・最小値の定理（extreme value theorem）と呼びます。
f\left( \left[ -3,3\right] \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\left[ 0,9\right] \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left[ -3,3\right] \)において最大値\(9\)と最小値\(0\)を持ちます。この結果は先の命題と整合的です。
次回は合成関数について解説します。
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