最大値・最小値の定理

関数の最大値

実数空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、その最大値\(\max A\)とは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:x\leq \max A
\end{eqnarray*}を満たす実数として定義されます。つまり、\(A\)の最大値とは\(A\)の任意の要素以上であるような\(A\)の要素です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最大値\begin{equation*}\max f\left( X\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。これを関数\(f\)の\(X\)における最大値（maximum value of a function \(f\) on \(X\)）と呼びます。定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists x\in X:f\left( x\right) =\max f\left( X\right)
\\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) \leq \max f\left(
X\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

関数の最小値

実数空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、その最小値\(\min A\)とは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \min A\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:\min A\leq x
\end{eqnarray*}を満たす実数として定義されます。つまり、\(A\)の最小値とは\(A\)の任意の要素以下であるような\(A\)の要素に相当します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最小値\begin{equation*}\min f\left( X\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。これを関数\(f\)の\(X\)における最小値（minimum value of a function \(f\) on \(X\)）と呼びます。定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists x\in X:f\left( x\right) =\min f\left( X\right)
\\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\min f\left( X\right) \leq f\left(
x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

最大値・最小値の定理

先に例を通じて確認したように、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)において最大値や最小値を持つとは限りません。では、どのような条件のもとで\(f\)の最大値や最小値が存在するのでしょうか。順番に解説します。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義し、この区間上に関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。加えて、この関数\(f\)は定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。

以上の条件が満たされる場合には、\(f\)による\(\left[ a,b\right] \)の像\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。

\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることは、それが有界な閉集合であることと必要十分です。いずれにせよ、以上の命題から以下を導くことができます。これを最大値・最小値の定理（extreme value theorem）と呼びます。

最大値・最小値の定理が要求する条件の吟味

最大値・最小値の定理は有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上において連続であることを条件として要求しています。最大値・最小値の定理の主張が成り立つことを担保する上でこの条件は必須なのでしょうか。順番に考えていきましょう。

最大値・最小値の定理は関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right]\)の端点\(a,b\)において連続であること、すなわち点\(a\)において右側連続であるとともに点\(b\)において左側連続であることを要求します。では、\(f\)が点\(a,b\)において連続ではない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。

例（最大値・最小値の定理）

以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。

この関数\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で連続である一方で、点\(a\)において右側連続ではなく、点\(b\)において左側連続ではないため\(\left[ a,b\right] \)上で連続ではなく、したがって最大値・最小値の定理を利用できません。実際、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において最大値や最小値を持ちません。

関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の内点において連続でない場合にも同様の問題が発生します。

例（最大値・最小値の定理）

以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。

この関数\(f\)は点\(c\)において右側連続ですが左側連続ではなく、したがって連続ではありません。つまり\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続ではないため、最大値・最小値の定理を利用できません。実際、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において最大値を持ちません。

演習問題