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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

ハイネ・ボレルの被覆定理

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コンパクト集合の部分閉集合はコンパクト集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒かつ困難であるように思われます。ハイネ・ボレルの被覆定理(Heine-Borel’s covering theorem)はコンパクト集合を特定する上で非常に有益な示唆を与えてくれます。

この定理について解説する前に、前提知識としていくつか命題を示します。まず、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合である場合、\(A\)の部分集合であるような任意の閉集合もまたコンパクト集合になります。

命題(コンパクト集合の部分閉集合はコンパクト集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるならば、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の任意の閉集合もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
証明

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有界な閉区間はコンパクト集合

\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間はコンパクト集合です。

命題(有界な閉区間はコンパクト集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義する。これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
証明

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有界な閉集合はコンパクト集合

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有界な閉集合であるものとします。\(A\)の有界性より、\begin{equation*}A\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}を満たす有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が存在しますが、直前の命題より\(\left[ a,b\right] \)はコンパクト集合です。仮定より\(A\)は閉集合であるため、\(A\)はコンパクト集合\(\left[ a,b\right] \)の部分閉集合です。したがって、先に示したもう一方の命題より\(A\)はコンパクト集合であることが明らかになりました。

命題(有界な閉集合はコンパクト集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有界な閉集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
例(有界な閉集合はコンパクト集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ1点集合\(\left\{ a\right\} \)を構成すると、これは\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合です。したがって、上の命題より、1点集合\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
例(有界な閉集合はコンパクト集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)と\(\left[c,d\right] \)をそれぞれ任意に選びます。有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。2つの閉集合の共通部分や和集合はいずれも閉集合であるため、\(\left[ a,b\right] \cap \left[ c,d\right] \)や\(\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \)もまた\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。しかもこれらは明らかに有界であるため、上の命題より、\(\left[ a,b\right]\cap \left[ c,d\right] \)や\(\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \)もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。

 

ハイネ・ボレルの被覆定理

\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることが示されましたが、実はその逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合は有界な閉集合であることが保証されます。

命題(コンパクト集合は有界な閉集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合である。
証明

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以上の2つの命題より、\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることと、その集合が有界な閉集合であることが必要十分であることが明らかになりました。つまり、有界な閉集合としてコンパクト集合を定義できるということです。これをハイネ・ボレルの被覆定理(Heine-Borel’s covering theorem)と呼びます。

命題(ハイネ・ボレルの被覆定理)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合であることは必要十分である。

 

コンパクト集合ではないことの証明

ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることを示すためには、それが\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合であることを示せばよいことになります。逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合が有界ではない場合や閉集合ではない場合などには、その集合はコンパクト集合ではありません。

例(コンパクト集合ではないことの証明)
\(\mathbb{R} \)上の半開区間である\([a,+\infty )\)や\((-\infty ,b]\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ですが有界ではありません。したがって、上の命題より、これらはいずれも\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。全区間\(\mathbb{R} =\left( -\infty ,+\infty \right) \)もまた有界ではないため、これも\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
例(コンパクト集合ではないことの証明)
\(\mathbb{R} \)上の半開区間\(\left( a,b\right) \)は有界である一方、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合であり、閉集合ではありません。したがって、上の命題より、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。

コンパクト集合は有界閉集合として特徴づけられることが明らかになりましたが、実はコンパクト集合は数列を用いて表現することもできます。次回は点列コンパクト集合と呼ばれる概念について解説します。

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関連知識

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閉集合・閉集合系

実数空間Rの部分集合 A に対して、その補集合がR上の開集合であるならば、AをR上の閉集合と呼びます。閉集合は収束する数列を使って定義することも可能です。

閉集合

閉集合・閉集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。

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実数空間 R の部分集合 A が閉集合であることの意味を数列を用いて表現することもでき、こちらの定義を採用した方が閉集合であることを容易に判定できる場合があります。

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境界を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の境界が A の部分集合であることは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の境界が A の部分集合であれば A は閉集合であり、A の境界が A の部分集合でなければ A は閉集合ではありません。

閉包

閉包を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の閉包が A と一致することは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の閉包 A と等しければ A は閉集合であり、A の閉包が A と等しくなければ A は閉集合ではありません。

閉集合

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実数空間の部分集合 A が与えられたとき、その任意の集積点が A の要素であることは、その集合 A が閉集合であるための必要十分条件です。

コンパクト集合

コンパクト集合

実数空間の部分集合Aを覆う開集合族(開被覆)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する場合には、Aはコンパクト集合であると言います。

コンパクト集合

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コンパクト集合

コンパクト集合

ユークリッド空間の部分集合Aを覆う開集合族(開被覆)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する場合には、Aはコンパクト集合であると言います。

コンパクト集合

コンパクト集合の演算

任意個のコンパクト集合の共通部分はコンパクト集合であり、有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合です。

コンパクト集合

ハイネ・ボレルの被覆定理

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A が有界な閉集合であることと、A がコンパクト集合であることは必要十分です。これをハイネ・ボレルの被覆定理と呼びます。

DISCUSSION

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