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数直線の位相

実数空間におけるハイネ・ボレルの被覆定理

目次

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コンパクト集合の部分閉集合はコンパクト集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在することとして定義されます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき(\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆)、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ(\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆)ということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の開集合系を表す記号です。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒です。ハイネ・ボレルの被覆定理(Heine-Borel’s covering theorem)はコンパクト集合を特定する上で有益な示唆を与えてくれます。

この定理について解説する前に、前提知識としていくつか命題を示します。まず、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合である場合、\(A\)の部分集合であるような任意の閉集合もまたコンパクト集合になります。

命題(コンパクト集合の部分閉集合はコンパクト集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるならば、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の任意の閉集合もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
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有界な閉区間はコンパクト集合

実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間はコンパクト集合です。

命題(有界な閉区間はコンパクト集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義する。これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
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例(有界な閉区間はコンパクト集合)
\(a<b<c<d\)を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、2つの有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] ,\ \left[ c,d\right] \end{equation*}を構成します。上の命題より、これらはともに\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。コンパクト集合どうしの共通部分はコンパクト集合であるため、\begin{equation*}\left[ a,b\right] \cap \left[ c,d\right] =\phi
\end{equation*}はコンパクト集合です。コンパクト集合どうしの和集合はコンパクト集合であるため、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \end{equation*}はコンパクト集合です。ただし、\(\left[ a,b\right] \)と\(\left[ c,d\right] \)は互いに素であるため、それらの和集合は区間ではなく、したがって有界閉区間でもありません。有界閉区間はコンパクト集合である一方で、コンパクト集合は有界閉区間であるとは限らないということです。

 

有界な閉集合はコンパクト集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有界な閉集合であるものとします。\(A\)の有界性より、\begin{equation*}A\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}を満たす有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が存在しますが、直前の命題より\(\left[ a,b\right] \)はコンパクト集合です。仮定より\(A\)は閉集合であるため、\(A\)はコンパクト集合\(\left[ a,b\right] \)の部分閉集合です。したがって、先に示したもう一方の命題より\(A\)はコンパクト集合です。以上により、有界な閉集合はコンパクト集合であることが明らかになりました。

命題(有界な閉集合はコンパクト集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有界な閉集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
例(1点集合はコンパクト集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}を構成すると、これは\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合になります。したがって、先の命題より、1点集合\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
例(点の閉近傍はコンパクト集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の閉近傍は、\begin{align*}C_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{align*}と定義されるため、これは有界閉区間と一致します。先の命題より有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため、点の閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
例(閉区間ではないコンパクト集合)
\(a<b<c<d\)を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、互いに素な2つの有界閉区間の和集合\begin{equation*}\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \end{equation*}を定義します。これは閉区間ではありませんが、先に示したように、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。同じことを先の命題から導きます。有界閉区間は閉集合であるため\(\left[ a,b\right] ,\left[c,d\right] \)はともに閉集合です。閉集合どうしの和集合は閉集合であるため\(\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \)は閉集合です。さらに、\begin{equation*}\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \subset \left[ a,d\right] \end{equation*}が成り立つため\(\left[ a,b\right]\cup \left[ c,d\right] \)は有界です。以上より、\(\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \)は有界な閉集合であることが示されたため、先の命題より、\(\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \)はコンパクト集合です。

 

ハイネ・ボレルの被覆定理

実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることが示されましたが、実はその逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合は有界な閉集合であることが保証されます。

命題(コンパクト集合は有界な閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合である。
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これまでの議論より、\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることと、その集合が有界な閉集合であることは必要十分であることが明らかになりました。つまり、有界な閉集合としてコンパクト集合を定義できるということです。これをハイネ・ボレルの被覆定理(Heine-Borel’s covering theorem)と呼びます。

命題(ハイネ・ボレルの被覆定理)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合であることは必要十分である。

 

コンパクト集合ではないことの証明

ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることを示すためには、それが\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合であることを示せばよいことになります。逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合が有界ではない場合や閉集合ではない場合などには、その集合はコンパクト集合ではありません。

例(無限区間はコンパクト集合ではない)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。これらは有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。同様に、全区間\begin{equation*}\mathbb{R} =\left( -\infty ,+\infty \right)\end{equation*}もまた有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
例(開区間や半開区間はコンパクト集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}や有界な半開区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。これらは有界であるものの閉集合ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。

 

演習問題

問題(コンパクト集合)
\(a<b<c<d\)を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\left( a,b\right) \cup \left( c,d\right)
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ですか。議論してください。
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問題(コンパクト集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合である場合、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることをハイネ・ボレルの被覆定理を用いて示してください。
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