コンパクト集合の部分閉集合はコンパクト集合
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda} \)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在することとして定義されます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の開集合系を表す記号です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒です。ハイネ・ボレルの被覆定理（Heine-Borel’s covering theorem）はコンパクト集合を特定する上で有益な示唆を与えてくれます。
この定理について解説する前に、前提知識としていくつか命題を示します。まず、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)がコンパクト集合である場合、\(A\)の部分集合であるような任意の閉集合もまたコンパクト集合になります。
有界な閉区間はコンパクト集合
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間はコンパクト集合です。
\end{equation*}を定義する。これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
\end{equation*}はコンパクト集合です。コンパクト集合どうしの和集合はコンパクト集合であるため、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \end{equation*}はコンパクト集合です。ただし、\(\left[ a,b\right] \)と\(\left[ c,d\right] \)は互いに素であるため、それらの和集合は区間ではなく、したがって有界閉区間でもありません。有界閉区間はコンパクト集合である一方で、コンパクト集合は有界閉区間であるとは限らないということです。
有界な閉集合はコンパクト集合
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間はコンパクト集合であることが明らかになりましたが、閉区間を閉集合に置き換えた同様の主張もまた成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合はコンパクト集合です。
\end{equation*}を構成すると、これは\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合になります。したがって、先の命題より、1点集合\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
& =\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{align*}と定義されるため、これは有界閉区間と一致します。先の命題より有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため、点の閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
コンパクト集合は有界な閉集合
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることが明らかになりましたが、その逆の主張もまた成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合は有界な閉集合であることが保証されます。
ハイネ・ボレルの被覆定理
これまでの議論より、\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることと、その集合が有界な閉集合であることは必要十分であることが明らかになりました。つまり、有界な閉集合としてコンパクト集合を定義できるということです。これをハイネ・ボレルの被覆定理（Heine-Borel’s covering theorem）と呼びます。
\end{equation*}が与えられているものとします。このとき、以下の関係\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{i=1}^{n}\left\{ a_{i}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。1点集合\(\left\{ a_{i}\right\} \)は閉集合です。有限個の閉集合の和集合は閉集合であるため\(A\)は閉集合です。また、有限集合は有界です。つまり、\(A\)は有界な閉集合であるため、ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることが明らかになりました。
コンパクト集合ではないことの証明
ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることを示すためには、それが\(\mathbb{R} \)上の有界な閉集合であることを示せばよいことになります。逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合が有界ではない場合や閉集合ではない場合などには、その集合はコンパクト集合ではありません。
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。これらは有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。同様に、全区間\begin{equation*}\mathbb{R} =\left( -\infty ,+\infty \right)\end{equation*}もまた有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
\end{equation*}や有界な半開区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。これらは有界であるものの閉集合ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定義します。この集合は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合でしょうか。議論してください。
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