ハイネ・ボレルの被覆定理

実数の部分集合がコンパクト集合であることを示すためには、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒かつ困難であるように思われます。ハイネ・ボレルの被覆定理はコンパクト集合を特定する上で非常に有益な示唆を与えてくれます。

2019年6月27日:公開

有界閉区間はコンパクト集合

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒かつ困難であるように思われます。ハイネ・ボレルの被覆定理(Heine-Borel’s covering theorem)はコンパクト集合を特定する上で非常に有益な示唆を与えてくれます。

この定理について解説する前に、前提知識としていくつか命題を示します。

補題(コンパクト集合の部分閉集合)
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合ならば、\(B\subset A\)を満たす\(\mathbb{R}\)の任意の閉集合\(B\)もまたコンパクト集合である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

続いて以下の命題を示します。

補題(有界閉区間はコンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)における有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)はコンパクト集合である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

さて、\(\mathbb{R}\)における有界な閉集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の有界性より、\begin{equation*}
A\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}を満たす\(\mathbb{R}\)における閉区間\(\left[ a,b\right] \)が存在しますが、先の補題よりこれはコンパクト集合です。しかも\(A\)は閉集合ですから、\(A\)はコンパクト集合の部分閉集合です。したがって、先に示したもう一方の命題より\(A\)はコンパクト集合です。これを命題としてまとめておきます。

命題(有界閉集合はコンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)における有界な閉集合\(A\)はコンパクト集合である。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(コンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)の点\(a\)からなる1点集合\(\{a\}\)有界かつ\(\mathbb{R}\)の閉集合であるため、上の命題よりこれは\(\mathbb{R}\)のコンパクト集合です。
例(コンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)における有界閉区間\(\left[ a,b\right] ,\ \left[ c,d\right] \)はいずれも有界かつ\(\mathbb{R}\)の閉集合であるため、これらは\(\mathbb{R}\)のコンパクト集合です。さらにこれらの和集合\(\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \)や共通部分\(\left[ a,b\right] \cap \left[ c,d\right] \)はいずれも有界かつ\(\mathbb{R}\)の閉集合であるため、上の命題よりこれらもまた\(\mathbb{R}\)のコンパクト集合です。

 

ハイネ・ボレルの被覆定理

\(\mathbb{R}\)における有界な閉区間は\(\mathbb{R}\)のコンパクト集合であることが示されましたが、実はその逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R}\)のコンパクト集合は必ず\(\mathbb{R}\)の有界な閉集合です。したがって以下の定理が成り立ちます。

定理(ハイネ・ボレルの被覆定理)
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、\(A\)が有界な閉集合であることは、\(A\)がコンパクト集合であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(コンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)における半閉区間\([a,+\infty ),\ (-\infty ,b]\)はいずれも\(\mathbb{R}\)の閉集合ですが有界ではありません。したがってハイネ・ボレルの被覆定理より、半開区間はコンパクト集合ではありません。全区間\(\mathbb{R}=\left( -\infty ,+\infty \right) \)も同様の理由からコンパクト集合ではありません。
例(コンパクト集合)
\(\mathbb{R}\)における有界開区間\(\left( a,b\right) \)は有界である一方で、これは\(\mathbb{R}\)の開集合です。つまり、有界開区間は\(\mathbb{R}\)の閉集合ではないため、ハイネ・ボレルの被覆定理よりこれはコンパクト集合ではありません。

コンパクト集合は有界閉集合として特徴づけられることが明らかになりましたが、実はコンパクト性は数列を用いて表現することもできます。次回は点列コンパクト集合について解説します。
次へ進む 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン