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数列を用いた開集合・閉集合の判定

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数列を用いて閉集合であることを判定する

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることとは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることとして定義されます。さらに、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、\(A^{c}\)の点\(a\)を任意に選んだときに、点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在することを意味します。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(A^{c}\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は閉集合です。ただ、\(A\)が閉集合であることを示すために以上のことを証明するのは面倒です。閉集合は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が閉集合であることを容易に示すことができることがあります。順を追って説明します。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選びます。その上で、\(A\)の点を項とするとともに収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \mathbb{R} \text{が存在する}
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般には、このような数列の極限は\(A\)の点であるとは限りません。しかし、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合には、このような数列の極限は必ず\(A\)の点になります。つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in A
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(閉集合であるための必要条件)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた\(A\)の点になる。
証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、\(A\)の点を項とするとともに収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \mathbb{R} \text{が存在する}
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。一般には、このような数列の極限は\(A\)の点であるとは限りません。しかし、このような数列の極限が必ず\(A\)の点になる場合には、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることが保証されます。

命題(閉集合であるための十分条件)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた\(A\)の点であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合になる。
証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(A\)の点を項とする「任意の」収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、その極限が\(A\)の点になることが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題より、閉集合という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた\(A\)の点であることは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。

上の命題より、閉集合に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(数列を用いて閉集合であることを判定する)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その点だけを要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。この集合\(\left\{ a\right\} \)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを数列を用いて示します。具体的には、集合\(\left\{ a\right\} \)の要素を項とする数列としては定数数列\(\left\{ x_{n}\right\} =\left\{a\right\} \)だけが存在するとともに、この数列は明らかに収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}となります。これは\(\left\{ a\right\} \)の要素であるため、先の命題より、\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることが示されました。
例(数列を用いて閉集合であることを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合\(\left[ a,b\right] \)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを数列を用いて示します。具体的には、\(\left[ a,b\right] \)の点を項とする収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :a\leq x_{n}\leq b \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)が成り立つとき、収束数列の性質より、極限に関しても、\begin{equation*}a\leq \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることが示されました。
例(数列を用いて開集合であることを判定する)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合であることは、その補集合\(A^{c}\)が閉集合であることと必要十分です。したがって、\(A\)が開集合であることを示すかわりに\(A^{c}\)が閉集合であることを示してもよいということです。その際、先の点列を用いた方法を利用できます。つまり、\(A^{c}\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた\(A^{c}\)の点であるならば、それは\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを意味するため、結果として\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを示したことになります。

 

数列を用いて閉集合ではないことを判定する

繰り返しになりますが、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることは、\(A\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が\(A\)の点になることと必要十分です。したがって、\(A\)の点を項とする収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の中にその極限が\(A\)の点にならないようなものが存在する場合、\(A\)は閉集合ではありません。

例(数列を用いて閉集合ではないことを判定する)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする無限半開区間\begin{equation*}\left( a,+\infty \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\}
\end{equation*}について考えます。この集合\(\left( a,+\infty \right) \)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを数列を用いて示します。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=a+\frac{1}{n}
\end{equation*}と定義します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(a<a+\frac{1}{n}\)が成り立つため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項は\(\left( a,+\infty \right) \)の要素です。その一方で、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( a+\frac{1}{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }a+\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&a+0 \\
&=&a
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\left( a,+\infty \right) \)の要素ではありません。したがって\(\left( a,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことが示されました。

繰り返しになりますが、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の点を項とする収束列の中にその極限が\(A\)の点でないようなものが存在する場合、その集合\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。注意したいのは、\(A\)が閉集合でないことは補集合\(A^{c}\)が開集合でないことと必要十分であり、\(A\)が開集合であることとは必要十分ではないということです。つまり、\(A\)が閉集合でない場合、\(A\)は開集合であるとは限らないということです。以下の例から明らかです。

例(数列を用いて閉集合ではないことを判定する)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の区間\((0,1]\)について考えます。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられているとき、この数列の任意の項は\((0,1]\)の要素であるとともに、この数列は収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0
\end{equation*}を満たします。つまり、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は\((0,1]\)の要素でないため、\((0,1]\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。一方、\(\mathbb{R} \)上の有界な半閉区間は閉集合と開集合のどちらでもないため、\((0,1]\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合でもありません。
例(数列を用いて開集合ではないことを判定する)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合であることは、補集合\(A^{c}\)が閉集合であることと必要十分であり、さらにこれは、\(A^{c}\)の点を項とする任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が\(A^{c}\)の点になることと必要十分です。したがって、\(A^{c}\)の点を項とする収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の中にその極限が\(A^{c}\)の点にならないようなものが存在する場合、\(A^{c}\)は閉集合ではなく、したがって\(A\)は開集合ではありません。

 

演習問題

問題(数列を用いて閉集合であることを判定する)
実数空間\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを数列を用いて証明してください。
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問題(数列を用いて開集合であることを判定する)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする無限半開区間\begin{equation*}\left( a,+\infty \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\}
\end{equation*}について考えます。この集合\(\left( a,+\infty \right) \)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを数列を用いて証明してください。
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問題(数列を用いて閉集合でないことを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界半閉区間\begin{equation*}(a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合\((a,b]\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを数列を用いて証明してください。
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問題(数列を用いて閉集合でないことを判定する)
\(a<b<c<d\)を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下のような有界な閉区間の和集合\begin{equation*}\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \end{equation*}について考えます。この集合が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを数列を用いて証明してください。
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次回は内点や外点などについて解説します。

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