非連結集合（集合の切断）
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(X\)が与えられたとき、それに対して、\(\mathbb{R} \)上の2つの開集合\(A,B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =\phi
\\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =X \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合には、すなわち、開集合\(A,B\)との交わりをとることにより集合\(X\)を互いに素な2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)に分割できる場合には、このような開集合からなる組\begin{equation*}\left\{ A,B\right\}
\end{equation*}を\(X\)の切断（disconnection）と呼びます。さらに、\(X\)の切断が存在する場合には、\(X\)は非連結（disconnected）であるとか不連結（disconnected）であるなどと言います。
集合\(X\)が空集合\(\phi \)である場合には、どのような開集合\(A,B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ場合にも先の条件\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)の左辺がいずれも空集合になるため\(\left( c\right) ,\left(d\right) \)は成り立ちません。つまり、空集合の分割は存在しないため、空集合は非連結ではありません。
非空の集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。空集合\(\phi \)は開集合ですが、開集合\(A,B\)の少なくとも一方が空集合\(\phi \)である場合には先の条件\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)の少なくとも一方が成り立ちません。したがって、集合\(X\)の切断\(\left\{ A,B\right\} \)を構成する2つの開集合\(A,B\)はいずれも非空である必要があります。つまり、非連結集合の切断を構成する2つの開集合はともに非空です。
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の2つ集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}に注目します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A,B\)は開集合です。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =A\cup
B=X \\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =A\cap
B=\phi \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=B\not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{A,B\right\} \)は\(X\)の切断です。以上より、\(X\)は非連結集合であることが明らかになりました。ちなみに、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}C &=&\left( -\infty ,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},+\infty \right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left\{ C,D\right\} \)もまた\(X\)の切断です。実際、無限半開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(C,D\)は開集合であるとともに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap C\right) \cup \left( X\cap D\right) =\left(
0,\frac{1}{2}\right) \cup \left( \frac{1}{2},1\right) =X \\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap C\right) \cap \left( X\cap D\right) =\left(
0,\frac{1}{2}\right) \cap \left( \frac{1}{2},1\right) =\phi \\
&&\left( c\right) \ X\cap C=\left( 0,\frac{1}{2}\right) \not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap D=\left( \frac{1}{2},1\right) \not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つからです。この例が示唆するように、非連結集合の切断は一意的であるとは限りません。
\end{equation*}を構成すると、これは必ず非連結集合になります（演習問題）。
連結集合
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(X\)が非連結でない場合には、\(X\)は連結（connected）であると言います。つまり、\(X\)が連結であることとはその切断が存在しないこと、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =\phi
\\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =X \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在しないことを意味します。つまり、いかなる開集合\(A,B\)との交わりをとっても集合\(X\)を互いに素な2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)に分割できないということです。これは、どのような開集合\(A,B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ場合でも、上の4つの条件のうちの少なくとも1つが成り立たないことを意味します。もしくは、上の4つの条件を満たす集合\(A,B\)を任意に選んだとき、それらの少なくとも一方は開集合ではないことを意味します。
\phi \cap B &=&\phi
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ A,B\right\} \)は\(\phi \)の切断にはなり得ません。
\end{equation*}を構成します。\(\left\{ x\right\} \)が非連結集合であるものと仮定して矛盾を導きます。そこで、何らかの開集合\(A,B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( \left\{ x\right\} \cap A\right) \cap \left(
\left\{ x\right\} \cap B\right) =\phi \\
&&\left( b\right) \ \left( \left\{ x\right\} \cap A\right) \cup \left(
\left\{ x\right\} \cap B\right) =\left\{ x\right\} \\
&&\left( c\right) \ \left\{ x\right\} \cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ \left\{ x\right\} \cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つものと仮定します。\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)より\(x\in A\)かつ\(x\in B\)ですが、すると\(x\in \left\{ x\right\} \cap A\)かつ\(x\in \left\{ x\right\} \cap B\)となるため、\begin{equation*}x\in \left( \left\{ x\right\} \cap A\right) \cap \left( \left\{ x\right\}
\cap B\right)
\end{equation*}を得ますが、これは\(\left( a\right) \)と矛盾です。したがって\(\left\{ x\right\} \)の切断は存在せず、\(\left\{ x\right\} \)が連結集合であることが明らかになりました。
連結集合と非連結集合の代替的な定義
集合の切断を以下のように表現することもできます。
&&\left( b\right) \ X\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たすことは、\(\left\{A,B\right\} \)が\(X\)の切断であるための必要十分条件である。
\end{equation*}が与えられているものとします。先に示したように\(X\)は非連結集合であり、以下の2つの開集合\begin{eqnarray*}A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left\{ A,B\right\} \)が\(X\)の切断です。したがって、これらの集合は先の命題が要求する条件も満たすはずです。実際、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\cap A\cap B=X\cap \phi =\phi \\
&&\left( b\right) \ X=A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=B\not=\phi
\end{eqnarray*}となるため条件が満たされています。また、以下の2つの開集合\begin{eqnarray*}
C &=&\left( -\infty ,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},+\infty \right)
\end{eqnarray*}からなる組\(\left\{ C,D\right\} \)もまた\(X\)の切断であるため、これらの集合もまた先の命題の条件を満たすはずです。実際、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\cap A\cap B=X\cap \phi =\phi \\
&&\left( b\right) \ X=\left( 0,1\right) \backslash \left\{ \frac{1}{2}\right\} \subset \mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{1}{2}\right\} =A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=\left( 0,\frac{1}{2}\right) \not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=\left( \frac{1}{2},1\right) \not=\phi
\end{eqnarray*}となるため条件が満たされています。以上の結果は上の命題の主張と整合的です。
先の命題を踏まえると非連結集合を以下のように表現できます。
&&\left( b\right) \ X\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することは、\(X\)が非連結集合であるための必要十分条件である。
先の命題を踏まえると連結集合を以下のように表現できます。
&&\left( b\right) \ X\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在しないことは、\(X\)が連結集合であるための必要十分条件である。
分離と連結の関係
実数空間の部分集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)が分離していることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B^{d}=\phi \\
&&\left( b\right) \ A^{d}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。ただし、\(A^{d},B^{d}\)は\(A,B\)の導集合、すなわち\(A,B\)のすべての集積点からなる集合です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)が分離していることとは、どちらも相手の集積点を要素として持たないことを意味します。ちなみに、先の条件は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B^{a}=\phi \\
&&\left( b\right) \ A^{a}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}と必要十分です。ただし、\(A^{a},B^{a}\)は\(A,B\)の閉包、すなわち\(A,B\)のすべての触点からなる集合です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)が分離していることとは、どちらも相手の触点を要素をして持たないことを意味します。触点は内点または境界点であることを踏まえると、\(A,B\)が分離していることとは、どちらも相手の内点や境界点を要素を要素として持たないことを意味します。言い換えると、\(A\)と\(B\)はお互いに重なっておらず、また、お互いに相手の境界にも接していないということです。
空ではない集合\(A,B\)が分離している場合、それらの和集合\(A\cup B\)の分割が必ず存在します。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}は\(A\cup B\)の切断である。したがって\(A\cup B\)は非連結である。
集合\(X\subset \mathbb{R} \)が非連結である場合にはその切断\(\left\{ A,B\right\} \)が存在しますが、この場合、\(X\cap A\)と\(X\cap B\)は分離していることが保証されます。
\end{equation*}は分離している。
以上の2つの命題を踏まえると、非連結集合を以下のように表現できます。
\end{equation*}と表せることは、\(X\)が非連結であるための必要十分である。さらにこのとき、\begin{equation*}\left\{ \left( A^{a}\right) ^{c},\left( B^{a}\right) ^{c}\right\}
\end{equation*}は\(X\)の切断である。逆に、\(\left\{ X_{1},X_{2}\right\} \)が\(X\)の切断である場合には、\(X\cap X_{1}\)と\(X\cap X_{2}\)は分離しているとともに、\begin{equation*}X=\left( X\cap X_{1}\right) \cup \left( X\cap X_{2}\right)
\end{equation*}と表せる。
\end{equation*}が与えられているものとします。先に示したように\(X\)は非連結集合であるため、\(X\)を分離している2つの非空集合の和集合として表現できるはずです。実際、\begin{eqnarray*}A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}に注目したとき、これらの導集合は、\begin{eqnarray*}
A^{d} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
B^{d} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
A\cap B^{d} &=&\phi \\
A^{d}\cap B &=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立つため\(A\)と\(B\)は分離しています。さらに、\begin{equation*}X=A\cup B
\end{equation*}であるため、\(A\)を分離している2つの非空集合\(A,B\)の和集合として表せることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
連結集合とは、分離している2つの非空集合の和集合として表される集合であることが明らかになりました。したがって、非連結集合とは、分離している2つの非空集合の和集合として表現できない集合です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が連結であるための必要十分条件である。
演習問題
- \(\mathbb{R} \)が連結集合であることと、\(\mathbb{R} \)の部分集合で開集合かつ閉集合であるものが\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)だけであることは必要十分であることを示してください。
- \(\mathbb{R} \)の部分集合で開集合かつ閉集合であるものが\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)だけであることを示してください。
- \(\mathbb{R} \)が連結集合であることを示してください。
\end{equation*}について以下を示してください。
- \(X\)の切断を具体的に提示してください。
- \(X\)を分離している2つの非空な集合の和集合として具体的に表してください。
\end{equation*}を満たすものが存在するものとします。以下の問いに答えてください。
- \(X\)の切断を具体的に提示してください。
- \(X\)を分離している2つの非空な集合の和集合として具体的に表してください。
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