非連結集合
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)に対して、その切断が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =\phi
\\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =X \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が存在する場合には、\(X\)は非連結（disconnected）であるとか不連結（disconnected）であるなどと言います。つまり、\(X\)が非連結集合であることとは、何らかの開集合\(A,B\)との交わりをとることにより集合\(X\)を互いに素な2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)に分割できることを意味します。
\end{equation*}に注目します。さらに、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}に注目します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A,B\)は開集合です。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =A\cup
B=X \\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =A\cap
B=\phi \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=B\not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{A,B\right\} \)は\(X\)の切断です。したがって\(X\)は非連結集合です。
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)に対して、\(\mathbb{R} \)上の2つの開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\cap A\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ X\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たすことは、\(\left\{A,B\right\} \)が\(X\)の切断であるための必要十分条件です。以上の事実を踏まえると非連結集合を以下のように表現することもできます。
&&\left( b\right) \ X\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が存在することは、\(X\)が非連結集合であるための必要十分条件である。
\end{equation*}に注目します。先に示したように\(X\)は非連結集合であるため、上の命題中の条件を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が存在するはずです。実際、以下の2つの開集合\begin{eqnarray*}A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X\cap A\cap B=X\cap \phi =\phi \\
&&\left( b\right) \ X=A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A=A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B=B\not=\phi
\end{eqnarray*}となるため条件が満たされています。以上の結果は上の命題の主張と整合的です。
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、分離している2つの非空な集合の和集合として\(X\)を表せることは、\(X\)の切断が存在するための必要十分条件です。さらに、\(X\)が分離している2つの非空な集合である\(A\)と\(B\)の和集合として表されている場合、\begin{equation*}\left\{ \left( A^{a}\right) ^{c},\left( B^{a}\right) ^{c}\right\}
\end{equation*}は\(X\)の切断です。また、\(X\)の切断\(\left\{ A,B\right\} \)が存在する場合、\(X\)は分離している2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)の和集合として表されます。以上の事実を踏まえると非連結集合を以下のように表現することもできます。
\end{equation*}に注目します。先に示したように\(X\)は非連結集合であるため、分離している2つの非空な集合の和集合として\(X\)を表せるはずです。実際、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}X\cap A &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
X\cap B &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
\left( X\cap A\right) ^{a} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
\left( X\cap B\right) ^{a} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left( X\cap A\right) ^{a}\cap \left( X\cap B\right) &=&\phi \\
\left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) ^{a} &=&\phi
\end{eqnarray*}が成立しており、したがって\(X\cap A\)と\(X\cap B\)は分割されています。加えて、\begin{equation*}X=\left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right)
\end{equation*}が成立するため、\(X\)は分離している2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)の和集合として表されます。以上の結果は上の命題の主張と整合的です。
連結集合
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が非連結でない場合には、\(X\)は連結（connected）であると言います。つまり、\(X\)が連結であることとはその切断が存在しないこと、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( X\cap A\right) \cap \left( X\cap B\right) =\phi
\\
&&\left( b\right) \ \left( X\cap A\right) \cup \left( X\cap B\right) =X \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が存在しないことを意味します。つまり、どのような開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)を選んだ場合でも、上の4つの条件のうちの少なくとも1つが成り立たないということです。もしくは、上の4つの条件を満たす集合\(A,B\)を任意に選んだとき、それらの少なくとも一方は開集合ではないということです。さらに言い換えると、\(X\)が連結であることとは、いかなる開集合\(A,B\)との交わりをとっても集合\(X\)を互いに素な2つの非空な集合である\(X\cap A\)と\(X\cap B\)に分割できないことを意味します。
\phi \cap B &=&\phi
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ A,B\right\} \)は\(\left\{ \phi \right\} \)の切断ではありません。したがって\(\phi \)の切断は存在せず、\(\phi \)は連結集合であることが明らかになりました。
\left\{ x\right\} \cap B\right) =\phi \\
&&\left( b\right) \ \left( \left\{ x\right\} \cap A\right) \cup \left(
\left\{ x\right\} \cap B\right) =\left\{ x\right\} \\
&&\left( c\right) \ \left\{ x\right\} \cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ \left\{ x\right\} \cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left(c\right) ,\left( d\right) \)より\(x\in A\)かつ\(x\in B\)ですが、すると\(x\in \left\{x\right\} \cap A\)かつ\(x\in \left\{ x\right\} \cap B\)となり、したがって、\begin{equation*}x\in \left( \left\{ x\right\} \cap A\right) \cap \left( \left\{ x\right\}
\cap B\right)
\end{equation*}となり、これは\(\left( a\right) \)と矛盾です。したがって\(\left\{ x\right\} \)の切断は存在せず、\(\left\{ x\right\} \)は連結集合であることが明らかになりました。
非連結集合の代替的な定義に関する先の命題を踏まえると、連結集合を以下のように表現することもできます。
&&\left( b\right) \ X\subset A\cup B \\
&&\left( c\right) \ X\cap A\not=\phi \\
&&\left( d\right) \ X\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)が存在しないことは、\(X\)が連結集合であるための必要十分条件である。
つまり、\(X\)が連結集合であることとは、どのような開集合\(A,B\in \mathcal{O}\)を選んだ場合でも、上の4つの条件のうちの少なくとも1つが成り立たないということです。もしくは、上の4つの条件を満たす集合\(A,B\)を任意に選んだとき、それらの少なくとも一方は開集合ではないということです。
切断と分離している集合の関係を用いた非連結集合の定義に関する先の命題を踏まえると、連結集合を以下のように表現することもできます。
演習問題
\end{equation*}が非連結集合であることを示してください。
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