開集合・開集合系

実数空間 R の部分集合 A に属するそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中に A の部分集合であるようなものが存在する場合、A を R 上の開集合と呼びます。
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開集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の開集合(open set on \(\mathbb{R} \))と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(A\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は開集合です。

例(開区間は開集合)
有界開区間\(\left( a,b\right) \subset \mathbb{R} \)に属するそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{equation*}
\varepsilon =\min \{x-a,b-x\}>0
\end{equation*}とおくと\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \left( a,b\right) \)が成り立つため、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。また、無限区間\((a,+\infty )\subset \mathbb{R} \)に属するそれぞれの点\(x\in (a,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}
\varepsilon =x-a>0
\end{equation*}とおくと\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \left( a,+\infty \right) \)が成り立つため、\((a,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。また、無限区間\((-\infty ,b)\subset \mathbb{R} \)に属するそれぞれの点\(x\in (-\infty ,b)\)に対して、\begin{equation*}
\varepsilon =b-x>0
\end{equation*}とおくと\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset (-\infty ,b)\)が成り立つため、\((-\infty ,b)\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
例(点の近傍は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、\(a\)を中心とする\(\varepsilon \)-近傍は、\begin{align*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
& =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{align*}と定義されます。先に示したように有界開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、点の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
例(開区間ではない開集合)
\(\mathbb{R} \)において開区間は開集合であることが明らかになりましたが、逆に、\(\mathbb{R} \)上の開集合は開区間であるとは限りません。具体的には、2つの開区間\(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 3,4\right) \)の和集合\begin{equation*}
\left( 1,2\right) \cup \left( 3,4\right)
\end{equation*}について考えます。開区間は開集合ですが、後に示すように複数の開集合の和集合は開集合であるため、上の和集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。さて、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であるとは、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(a<c<b\)を満たす任意の\(c\)もまた\(c\in I\)であることを意味します。先の和集合に関しては、\(a\in \left( 1,2\right) \)を満たす点\(a\)と\(b\in \left( 3,4\right) \)を満たす点\(b\)をそれぞれ任意に選んだとき、例えば、\(a<\frac{5}{2}<b\)を満たす\(\frac{5}{2}\)は\(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 3,4\right) \)のどちらの要素でもないため、先の和集合は区間ではありません。したがって開区間でもありません。
例(閉区間や半閉区間は開集合ではない)
有界閉区間\(\left[ a,b\right] \subset \mathbb{R} \)に対しては、例えばその端点\(a\)に対してどのような\(\varepsilon >0\)を選んだ場合においても、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\not\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}となるため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。また、有界右半開区間\([a,b)\subset \mathbb{R} \)に対しては端点\(a\)に関して上と同様に考えることにより、また、有界左半開区間\((a,b]\subset \mathbb{R} \)に対しては端点\(b\)に関して上と同様に考えることにより、いずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことが示されます。

 

開集合系

実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} \)の開集合系(system of open sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。

開集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。実際、\(\mathbb{R} \)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in
\mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} \)の任意の点の近傍は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため上の命題は明らかに真です。また、\(\phi \)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in \phi ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset \phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、空集合の定義よりそもそも\(x\in \phi \)は偽であるため上の命題は真です。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{1}\right) \
\mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
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\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。

有限個の開集合\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その中に空集合が存在する場合には、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}=\phi
\end{equation*}となりますが、先に示したように空集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため目標は達成されました。そこで以下では、\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)がいずれも空集合でない場合について考えます。これらの共通部分に属する点\(x\in \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\)を任意に選ぶと、共通部分の定義より、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x\in A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)はいずれも開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists \varepsilon
_{i}>0:U_{\varepsilon _{i}}\left( x\right) \subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(\varepsilon =\min \left\{ \varepsilon _{1},\cdots ,\varepsilon _{m}\right\} \)とおけば、この\(\varepsilon >0\)に対して、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}
\end{equation*}であることを意味するため目標は達成されました。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であり、無限個の開集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の開集合を任意に選んだとき、それらの共通部分は開集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。一方、無限個の\(A_{i}\)の共通部分をとると、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}になりますが(確認してください)、先に示したように有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合でないため、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。

\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。

任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して\(A_{\lambda }\in \mathcal{O}\)を満たすような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。つまり、この集合族に属する任意の集合\(A_{\lambda }\)は開集合です。添字集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている開集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。この集合族の和集合に属する点\(x\in \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を任意に選ぶと、和集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。仮定より\(A_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちますが、和集合の定義より、このとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
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次回は閉集合という概念について解説します。

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