開集合
実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さて、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の開集合（open set on \(\mathbb{R} \)）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は開集合です。
\end{equation*}や無限半開区間\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合です（演習問題）。
\end{equation*}を満たす点\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の集合\begin{equation*}\left( a,b\right) \cup \left( c,d\right)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合である一方で区間ではなく、したがって開区間でもありません（演習問題）。ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in I:\left[ x<y\Rightarrow \forall z\in \left( x,y\right) :z\in I\right] \end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{開区間の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、点の近傍は有界開区間であるため\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
開集合ではない集合
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合ではないこととは、開集合の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただしこれは、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A^{c}\not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)が開集合でないこととは、\(A\)の少なくとも1つの点について、その点を中心とする任意の近傍が\(A\)の補集合と交わることを意味します。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です（演習問題）。
\end{equation*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です（演習問題）。
開集合系
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} \)の開集合系（system of open sets）と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表記します。開集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。
\end{equation*}を満たす。
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の開集合を選んだとき、それらの共通部分は開集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a,b\right] \end{equation*}ですが（演習問題）、先に示したように有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合でないため、上の共通部分もまた開集合ではありません。
ちなみに、無限個の開集合の共通部分が開集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族に関しては、\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つため、共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( a-1,b+1\right)
\end{equation*}となりますが、有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、上の共通部分もまた開集合です。
\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\Lambda \)は任意の集合である。
上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の開集合の和集合は開集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の開集合の和集合は開集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の開集合の共通部分は開集合になるとは限りません。一方、無限個の開集合の和集合は開集合になることが保証されます。
\end{equation*}が成立します。有界閉区間\(\left( n,n+1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、上の関係より、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)は開集合どうしの和集合であり、したがって先の命題よりこれは\(\mathbb{R} \)上の開集合です。以上より、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることが明らかになりました。
部分距離空間上の開集合
1次元のユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は実数を成分とするそれぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めます。距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(X\times X\)へ制限して\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X\times X:d_{X}\left( x,y\right) =d\left(
x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{X}\)を定義すれば、この\(d_{X}\)もまた距離関数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( X,d_{X}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。集合\(X\)上に距離関数\(d_{X}\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その部分集合が開集合であるか検討できます。具体的には以下の通りです。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合であり、これを、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d_{X}\left(
x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&X\cap \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}で表記します。部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(A\)の点\(a\)を任意に選んだときに、点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は\(X\)上の開集合です。ただし、上の定義で用いている近傍\(N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) \)は部分距離空間\(X\)における点\(a\)の近傍であり、もとの空間\(\mathbb{R} \)における点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}ではないことに注意してください。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられているとき、\(X\)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(X\)の開集合系と呼び、これを、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}で表記するものと定めます。開集合の定義より、\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( X\right) \Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
部分距離空間\(X\subset \mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)と区別するために、もとの空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)を、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) =\mathcal{O}
\end{equation*}と表現できるものと定めます。開集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の開集合であるものとします。\(X\subset \mathbb{R} \)ゆえに\(A\subset \mathbb{R} \)であるため、この集合\(A\)がもとの空間\(\mathbb{R} \)上においても開集合であるか検討できますが、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとは限りません。つまり、\(A\subset X\)について、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( X\right) \Rightarrow A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}は\(X\)上の開集合である一方で、もとの空間\(\mathbb{R} \)上において開集合ではありません（演習問題）。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の開集合であるものとします。つまり、\(A\in \mathcal{O}\left( X\right) \)が成り立つということです。この場合には、もとの空間\(\mathbb{R} \)上の何らかの開集合\(B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}A=B\cap X
\end{equation*}と表現できることが保証されます。つまり、部分距離空間\(X\)上の開集合\(A\)は、もとの空間\(\mathbb{R} \)上の何らかの開集合\(B\)と部分距離空間\(X\)の共通部分として表すことができるということです。逆も成立するため以下を得ます。
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}に注目します。有界開区間\(\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \)はもとの空間\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとともに、\begin{equation*}\left[ 0,\frac{1}{2}\right) =\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \cap \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成立します。つまり、\begin{equation*}
\exists \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) :\left[ 0,\frac{1}{2}\right) =\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\cap X
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\left[ 0,\frac{1}{2}\right) \)は部分距離空間\(X\)上の開集合であることが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
\end{equation*}を定義します。この集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合である一方で開区間ではないことを示してください。
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であることを証明してください。
\end{equation*}は\(X\)上の開集合である一方で、もとの空間\(\mathbb{R} \)上において開集合ではないことを示してください。
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