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数直線の位相

実数空間における開集合・開集合系

目次

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開集合

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さて、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の開集合(open set on \(\mathbb{R} \))と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は開集合です。

例(開区間は開集合)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}や無限半開区間\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合です(演習問題)。
例(開集合は開区間であるとは限らない)
\(\mathbb{R} \)上の開区間は開集合であることが明らかになりましたが、逆に、\(\mathbb{R} \)上の開集合は開区間であるとは限りません。具体例を挙げると、\begin{equation*}a<b<c<d
\end{equation*}を満たす点\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の集合\begin{equation*}\left( a,b\right) \cup \left( c,d\right)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合である一方で区間ではなく、したがって開区間でもありません(演習問題)。ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in I:\left[ x<y\Rightarrow \forall z\in \left( x,y\right) :z\in I\right] \end{equation*}が成り立つことは必要十分です

例(点の近傍は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍について、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{点の近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{開区間の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、点の近傍は有界開区間であるため\(\mathbb{R} \)上の開集合です。

一方、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合ではないこととは、開集合の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただしこれは、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A^{c}\not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)が開集合でないこととは、\(A\)の少なくとも1つの点について、その点を中心とする任意の近傍が\(A\)の補集合と交わることを意味します。

例(半開区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です(演習問題)。
例(閉区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です(演習問題)。

 

開集合系

実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} \)の開集合系(system of open sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表記します。開集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。

証明

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実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、任意の自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の開集合を選んだとき、それらの共通部分は開集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a,b\right] \end{equation*}ですが(演習問題)、先に示したように有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合でないため、上の共通部分もまた開集合ではありません。

ちなみに、無限個の開集合の共通部分が開集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-i,b+i\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族に関しては、\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つため、共通部分は、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( a-1,b+1\right)
\end{equation*}となりますが、有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、上の共通部分もまた開集合です。

\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\Lambda \)は任意の集合である。
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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の開集合の和集合は開集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の開集合の和集合は開集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の開集合の共通部分は開集合になるとは限りません。一方、無限個の開集合の和集合は開集合になることが保証されます。

 

演習問題

問題(有界開区間は開集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
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問題(無限開区間は開集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
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問題(有界半開区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(有界閉区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(無限半閉区間は開集合ではない)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合は開区間であるとは限らない)
\(a<b<c<d\)を満たす点\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left( a,b\right) \cup \left( c,d\right)
\end{equation*}を定義します。この集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合である一方で開区間ではないことを示してください。
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問題(可算開区間族の共通部分)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であることを証明してください。

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