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実数空間における開集合・開集合系

目次

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開集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の開集合(open set on \(\mathbb{R} \))と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(A\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は開集合です。

例(有界開区間や無限半開区間は開集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}や無限半開区間\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開区間です(演習問題にします)。
例(点の近傍は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、\(a\)を中心とする\(\varepsilon \)-近傍は、\begin{align*}N_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
& =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{align*}と定義されます。先に指摘したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
例(開区間ではない開集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開区間は開集合であることが明らかになりましたが、逆に、\(\mathbb{R} \)上の開集合は開区間であるとは限りません。具体的には、2つの開区間\(\left( 1,2\right) \)と\(\left(3,4\right) \)の和集合\begin{equation*}\left( 1,2\right) \cup \left( 3,4\right)
\end{equation*}について考えます。開区間は開集合ですが、後に示すように複数の開集合の和集合は開集合であるため、上の和集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。さて、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であるとは、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(a<c<b\)を満たす任意の\(c\)もまた\(c\in I\)であることを意味します。先の和集合に関しては、\(a\in \left( 1,2\right) \)を満たす点\(a\)と\(b\in \left( 3,4\right) \)を満たす点\(b\)をそれぞれ任意に選んだとき、例えば、\(a<\frac{5}{2}<b\)を満たす\(\frac{5}{2}\)は\(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 3,4\right) \)のどちらの要素でもないため、先の和集合は区間ではなく、したがって開区間でもありません。
例(有界半開区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です(演習問題にします)。
例(有界閉区間や無限半閉区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です(演習問題にします)。

 

開集合系

実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} \)の開集合系(system of open sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。開集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
証明

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実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
証明

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上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であり、無限個の開集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の開集合を任意に選んだとき、それらの共通部分は開集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。一方、無限個の\(A_{i}\)の共通部分をとると、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}になりますが(確認してください)、先に示したように有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合でないため、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。

\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている開集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。有限個の開集合の和集合、可算個の開集合の和集合、非可算個の開集合の和集合はいずれも開集合であることが保証されるということです。

 

演習問題

問題(開集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
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問題(開集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
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問題(開集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であることを証明してください。
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次回は閉集合という概念について解説します。

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