開集合
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R}\)上の開集合（open set on \(\mathbb{R}\)）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(A\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は開集合です。
\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}や無限半開区間\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R}\)上の開区間です（演習問題にします）。
U_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
& =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{align*}と定義されます。先に指摘したように有界な開区間は\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため、有界な開区間である\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)もまた\(\mathbb{R}\)上の開集合です。
\left( 1,2\right) \cup \left( 3,4\right)
\end{equation*}について考えます。開区間は開集合ですが、後に示すように複数の開集合の和集合は開集合であるため、上の和集合は\(\mathbb{R}\)上の開集合です。さて、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(I\)が区間であるとは、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(a<c<b\)を満たす任意の\(c\)もまた\(c\in I\)であることを意味します。先の和集合に関しては、\(a\in \left( 1,2\right) \)を満たす点\(a\)と\(b\in \left( 3,4\right) \)を満たす点\(b\)をそれぞれ任意に選んだとき、例えば、\(a<\frac{5}{2}<b\)を満たす\(\frac{5}{2}\)は\(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 3,4\right) \)のどちらの要素でもないため、先の和集合は区間ではなく、したがって開区間でもありません。
\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R}\)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です（演習問題にします）。
\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R}\)上の開集合ではありません。端点\(a,b\)を中心とする近傍に注目することにより証明可能です（演習問題にします）。
開集合系
実数空間\(\mathbb{R}\)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R}\)の開集合系（system of open sets）と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。開集合の定義より、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
実数空間\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R}\)上の開集合であるということです。実際、\(\mathbb{R}\)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R}\)の任意の点の近傍は\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため上の命題は明らかに真です。また、\(\phi \)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in \phi ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset \phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、空集合の定義よりそもそも\(x\in \phi \)は偽であるため上の命題は真です。
\left( O_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
実数空間\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。
有限個の開集合\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その中に空集合が存在する場合には、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}=\phi
\end{equation*}となりますが、先に示したように空集合は\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため目標は達成されました。そこで以下では、\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)がいずれも空集合でない場合について考えます。これらの共通部分に属する点\(x\in \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\)を任意に選ぶと、共通部分の定義より、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x\in A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)はいずれも開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists \varepsilon
_{i}>0:U_{\varepsilon _{i}}\left( x\right) \subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
\varepsilon =\min \left\{ \varepsilon _{1},\cdots ,\varepsilon _{m}\right\}
\end{equation*}とおけば、この\(\varepsilon >0\)に対して、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}
\end{equation*}であることを意味するため目標は達成されました。
\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であり、無限個の開集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の開集合を任意に選んだとき、それらの共通部分は開集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。
A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため、\(A_{i}\)もまた\(\mathbb{R}\)上の開集合です。一方、無限個の\(A_{i}\)の共通部分をとると、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}になりますが（確認してください）、先に示したように有界な閉区間は\(\mathbb{R}\)上の開集合でないため、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)もまた\(\mathbb{R}\)上の開集合ではありません。
\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。
任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して\(A_{\lambda }\in \mathcal{O}\)を満たすような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。つまり、この集合族に属する任意の集合\(A_{\lambda }\)は開集合です。添字集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている開集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。この集合族の和集合に属する点\(x\in \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を任意に選ぶと、和集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。仮定より\(A_{\lambda }\)は\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちますが、和集合の定義より、このとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。
\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
次回は閉集合という概念について解説します。
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