可算集合ではない無限集合を非可算集合と呼びます。非可算集合の具体例を提示します。

非可算集合

復習になりますが、集合は有限集合と無限集合に分類可能であり、無限集合の中でも\(\mathbb{N} \)と等しい濃度を持つ集合を可算集合と呼びます。では、無限集合の中には可算集合とは異なる集合は存在するのでしょうか。可算集合ではない無限集合を非可算集合(uncountable set)と呼びます。

仮に非可算集合が存在するのであれば、可算集合とは異なる濃度を持つ無限集合が存在するということにであり、無限どうしの間にも、より大きい無限やより小さい無限というものが存在し得ることになります。

 

非可算集合は存在する

非可算集合は存在するのでしょうか。実数集合\(\mathbb{R}\)の部分集合である開区間\begin{equation*}
\left( 0,1\right) =\{x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\}
\end{equation*}には無限個の実数が含まれるため、これは無限集合です。そこで、\(\left( 0,1\right) \)が可算集合であることを仮定して矛盾を導けば、\(\left( 0,1\right) \)が非可算集合であることが示されたことになります。以下では\(\left( 0,1\right) \)が可算集合であるものと仮定して話を進めましょう。

\(\left( 0,1\right) \)が可算集合であるならば全単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow \left( 0,1\right) \)が存在します。つまり、\(f\)はそれぞれの自然数\(n \in \mathbb{N} \)に対して\(0<f\left( n\right) <1\)を満たす実数\(f\left( n\right) \)を 1 つずつ定める写像です。ただ、数が実数であることは、その実数が無限小数であるための必要十分条件であるため、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( n\right) =0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\cdots
\end{equation*}と表すことができます。ただし、\(a_{nm}\)は\(0\)以上\(9\)以下の整数です。つまり、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&0.a_{11}a_{12}a_{13}\cdots \\
f\left( 2\right) &=&0.a_{21}a_{22}a_{23}\cdots \\
&&\vdots \\
f\left( n\right) &=&0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\cdots \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。\(f\)は全単射であるため、\(0<b<1\)を満たす任意の無限小数\(b\)に対して、\(f\left( n\right) =b\)を満たす自然数\(n\)が必ず存在するはずです。

以上を踏まえた上で、無限小数\begin{equation*}
b=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots
\end{equation*}を、\begin{equation*}
b_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & (if\ a_{nn}=0) \\
0 & (if\ a_{nn}\not=0)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、\(b_{1}\not=a_{11}\)であるため\(b\not=f\left( 1\right) \)であり、\(b_{2}\not=a_{22}\)であるため\(b\not=f\left( 2\right) \)であり、一般に、任意の番号\(n\)について、\(b_{n}\not=a_{nn}\)であるため\(b\not=f\left( n\right) \)となります。したがって、\(b=f\left( n\right) \)を満たす自然数\(n\)は存在しませんが、\(b\)の定義より明らかに\(0<b<1\)です。これは矛盾であるため、\(\left( 0,1\right) \)が可算集合でないことが示されました。このような証明方法をカントールの対角線論法(Cantor’s diagonal argument)と呼びます。

命題(非可算集合)
\(\mathbb{R}\)上の区間\(\left( 0,1\right) \)は非可算集合である。
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次回は連続体と呼ばれる無限集合について学びます。

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