濃度の加法の定義
2つの自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた状況を想定します。有限集合の濃度と要素の個数は一致するため、濃度が\(m\)であるような有限集合を、\begin{equation*}A=\left\{ a_{1},\cdots ,a_{m}\right\}
\end{equation*}で表記し、濃度が\(n\)であるような有限集合を、\begin{equation*}B=\left\{ b_{1},\cdots ,b_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
m &=&\left\vert A\right\vert \\
n &=&\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つということです。これらの集合\(A,B\)が互いに素である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\cap B=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、数え上げに関する和の法則より、和集合\begin{equation*}
A\cup B=\left\{ a_{1},\cdots ,a_{m},b_{1},\cdots ,b_{n}\right\}
\end{equation*}には\(m+n\)個の要素が存在するため、以下の関係\begin{equation*}m+n=\left\vert A\cup B\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(+\)は自然数を対象とする通常の加法です。
結論をまとめると、有限濃度\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた場合には、それらに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert \\
&&\left( c\right) \ A\cap B=\phi
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した場合、濃度の和\(m+n\)は和集合\(A\cup B\)の濃度と一致すること、すなわち、\begin{equation*}m+n=\left\vert A\cup B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
以上の議論を踏まえた上で、有限濃度とは限らない一般の濃度\(m,n\)についても、それらの和を同様に定義します。つまり、濃度\(m,n\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert \\
&&\left( c\right) \ A\cap B=\phi
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した上で、濃度の和\(m+n\)を和集合\(A\cup B\)の濃度として定義するということです。つまり、\begin{equation*}m+n=\left\vert A\cup B\right\vert
\end{equation*}を満たすものとして濃度の加法\(+\)を定義します。ここでの\(m,n\)は有限濃度であるとは限らず、したがって自然数であるとは限りません。また、左辺の\(+\)は自然数を対象とする加法ではなく、新たに定義された濃度の加法を表す演算子であることに注意してください。
以上の定義が有効であることを担保するためには、以下のことを確認しておく必要があります。
1つ目は、濃度\(m,n\)が与えられたとき、それらに対して先の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)を満たす集合\(A,B\)が必ず存在することを確認する必要があります。
2つ目は、濃度\(m,n\)に対して先の条件\(\left( a\right) ,\left(b\right) ,\left( c\right) \)を満たす集合\(A,B\)がそれぞれ複数存在する場合、その中からどのような集合\(A,B\)を選んだ場合においても、和集合の濃度\(\left\vert A\cup B\right\vert \)が一意的に定まることを確認する必要があります。
まずは1つ目の論点について検証します。
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert \\
&&\left( c\right) \ A\cap B=\phi
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)が存在する。
続いて2つ目の論点について検証します。
&&\left( b_{1}\right) \ n=\left\vert B\right\vert \\
&&\left( c_{1}\right) \ A\cap B=\phi
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a_{2}\right) \ m=\left\vert A^{\prime }\right\vert \\
&&\left( b_{2}\right) \ n=\left\vert B^{\prime }\right\vert \\
&&\left( c_{2}\right) \ A^{\prime }\cap B^{\prime }=\phi
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A^{\prime },B^{\prime }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A^{\prime }\cup B^{\prime
}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
濃度の和の定義および以上の2つの命題より、2つの濃度\(m,n\)が任意に与えられたとき、それらの和\begin{equation*}m+n
\end{equation*}が必ず一意的に定まることが明らかになりました。つまり、濃度\(m,n\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert \\
&&\left( c\right) \ A\cap B=\phi
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)を適当に選んだ上で、それらの和集合\(A\cup B\)の濃度をとることにより、濃度の和を、\begin{equation*}m+n=\left\vert A\cup B\right\vert
\end{equation*}として特定できます。
以上を踏まえた上で、濃度を対象とする演算子\(+\)を濃度の加法（addition）と呼び、濃度\(m,n\)に対して加法\(+\)を適用することにより得られる濃度\(m+n\)を\(m\)と\(n\)の和（sum）と呼びます。
B &=&\left\{ m+1,\cdots ,m+n\right\}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert \\
&&\left( c\right) \ A\cap B=\phi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation}
A\cup B=\left\{ 1,\cdots ,m,m+1,\cdots ,m+n\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
m+n &=&\left\vert A\cup B\right\vert \quad \because \text{濃度の和の定義} \\
&=&\left\vert \left\{ 1,\cdots ,m,m+1,\cdots ,m+n\right\} \right\vert \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&m+n
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
&&\left( b\right) \ \aleph _{0}=\left\vert \mathbb{N} \right\vert \\
&&\left( c\right) \ \left\{ 0\right\} \cap \mathbb{N} =\phi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation}
\left\{ 0\right\} \cup \mathbb{N} =\left\{ 0,1,2,\cdots \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
1+\aleph _{0} &=&\left\vert \left\{ 0\right\} \cup \mathbb{N} \right\vert \quad \because \text{濃度の和の定義} \\
&=&\left\vert \left\{ 0,1,2,\cdots \right\} \right\vert \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\aleph _{0}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
1+\aleph _{0}=\aleph _{0}
\end{equation*}が成り立ちます。
O &=&\left\{ 2n-1\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =\left\{ 1,3,5,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \aleph _{0}=\left\vert E\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \aleph _{0}=\left\vert O\right\vert \\
&&\left( c\right) \ E\cap O=\phi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation}
E\cup O=\mathbb{N} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\aleph _{0}+\aleph _{0} &=&\left\vert E\cup O\right\vert \quad \because
\text{濃度の和の定義} \\
&=&\left\vert \mathbb{N} \right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\aleph _{0}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}
\end{equation*}が成り立ちます。
濃度の加法の性質
濃度の加法は以下の性質\begin{equation*}
\forall m,n,k:\left( m+n\right) +k=m+\left( n+k\right)
\end{equation*}を満たします。これを濃度の加法に関する結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は濃度の加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( m+n\right) +k\)は、はじめに\(m\)と\(n\)を足した上で、得られた結果と\(k\)をさらに足すことにより得られる濃度です。右辺の\(m+\left( n+k\right) \)は、はじめに\(n\)と\(k\)を足した上で、\(m\)と先の結果を足すことにより得られる濃度です。結合律はこれらの濃度が等しいことを保証します。つまり、3つの濃度\(m,n,k\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。
\end{equation*}を満たす。
濃度の加法は以下の性質\begin{equation*}
\exists 0,\ \forall m:m+0=m
\end{equation*}を満たします。つまり、任意の濃度\(m\)に対して有限濃度であるゼロ\(0\)を足してもその結果は\(m\)のままであるということです。
\end{equation*}を満たす。
濃度の加法は以下の性質\begin{equation*}
\forall m,n:m+n=n+m
\end{equation*}を満たします。これを濃度の加法に関する交換律（commutative law）と呼びます。本来、2つの濃度\(m,n\)を成分とする順序対\(\left( m,n\right) ,\left( n,m\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left(m,n\right) \)に加法を適用することにより得られる濃度\(m+n\)と、\(\left( n,m\right) \)に加法を適用することにより得られる濃度\(n+m\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい濃度であることを保証します。
\end{equation*}を満たす。
濃度の大小関係と濃度の加法の間には以下の関係\begin{equation*}
\forall m,m^{\prime },n,n^{\prime }:\left( m\leq m^{\prime }\wedge n\leq
n^{\prime }\Rightarrow m+n\leq m^{\prime }+n^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、濃度どうしの大小関係は加法のもとで保存されます。
n^{\prime }\Rightarrow m+n\leq m^{\prime }+n^{\prime }\right)
\end{equation*}を満たす。
集合の濃度の和
2つの集合\(A,B\)を任意に選びます。ただし、\(A\)と\(B\)は互いに素であるものとします。つまり、\begin{equation*}A\cap B=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。これらの集合の濃度を、\begin{eqnarray}
\left\vert A\right\vert &=&m \quad \cdots (1) \\
\left\vert B\right\vert &=&n \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}とそれぞれ表記すると、濃度の和の定義より、\begin{equation*}
m+n=\left\vert A\cup B\right\vert
\end{equation*}となります。これと\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert =\left\vert A\cup
B\right\vert
\end{equation*}を得ます。以上の議論より、互いに素な2つの集合\(A,B\)の濃度の和は、和集合\(A\cup B\)の濃度と一致することが明らかになりました。
B\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
では、互いに素であるとは限らない2つの集合の濃度の和についてはどのようなことが言えるでしょうか。まずは以下の命題を示します。
\right\vert +\left\vert A\cap B\right\vert \\
&=&\left\vert A\backslash B\right\vert +\left\vert A\cap B\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つ。
以上の命題を踏まえると、互いに素であるとは限らない2つの集合の濃度の和に関して以下が成り立つことが導かれます。
2つの集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert =\left\vert A\cup
B\right\vert +\left\vert A\cap B\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立ちます（加法の簡約法則）。濃度の加法\(+\)についても同様の主張が成り立つでしょうか。つまり、濃度\(m,n,k\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}m+n=m+k\Rightarrow n=k
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。議論してください。
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