実数集合 R と等しい濃度を持つ無限集合を連続体と呼びます。連続体濃度は可算濃度とは異なる濃度です。R 上の任意の区間(1点集合を除く)は連続体です。
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連続体

復習になりますが、集合は有限集合と無限集合に分類可能であり、無限集合の中でも\(\mathbb{N}\)と等しい濃度を持つ集合を可算集合と呼び、可算集合でない無限集合を非可算集合と呼びます。ただ、非可算集合の存在は自明ではないため、カントールの対角線論法を使って、\(\mathbb{R}\)上の開区間\(\left( 0,1\right) \)が非可算集合であることを示しました。では、この集合\(\left( 0,1\right) \)は、他のどのような集合と濃度が等しくなるのでしょうか。

実は、開区間\(\left( 0,1\right) \)の濃度は、\(\mathbb{R}\)の濃度と等しくなります。実際、それぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{2x-1}{4x\left( 1-x\right) }
\end{equation*}を定める写像\(f:\left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R}\)は全単射になります(演習問題にします)。

命題(開区間の濃度)
\(\mathbb{R}\)上の開区間\(\left( 0,1\right) \)は、\begin{equation*}
\#\left( 0,1\right) =\#\mathbb{R}\end{equation*}を満たす。
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開区間\(\left( 0,1\right) \)のように、\(\mathbb{R}\)と等しい濃度を持つ集合を連続体(continuum)と呼びます。\(\mathbb{R}\)は無限集合であり、そこには無限個の要素が含まれるため、その濃度を自然数として表すことができません。そこで、\(\mathbb{R}\)の濃度を、\begin{equation*}
\mathbf{c}=\#\mathbb{R}\end{equation*}という記号で表します。\(\mathbf{c}\)は\(\mathbb{R}\)の濃度を表す記号であり、そのような濃度を連続体濃度(potency of continuum)と呼びます。

すでに示したように、開区間\(\left( 0,1\right) \)は連続体であるとともに、可算集合ではありません。したがって、連続体濃度\(\mathbf{c}\)は可算濃度\(\aleph _{0}\)とは異なる濃度です。

命題(連続体濃度と可算濃度)
可算濃度と連続体濃度は異なる。すなわち、\begin{equation*}
\mathbf{c\not=}\aleph _{0}
\end{equation*}が成り立つ。
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有界区間は連続体

\(\mathbb{R}\)上の有界な開区間\(\left( a,b\right) \)を任意に選びます。ただし、\(a<b\)です。このとき、それぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =a+\left( b-a\right) x\in \left( a,b\right)
\end{equation*}を定める写像\(f:\left( 0,1\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)は全単射であるため(演習問題にします)、\(\#\left( 0,1\right) =\#\left( a,b\right) \)が成り立ちます。また、\(\#\left( 0,1\right) =\#\mathbb{R}\)であるため、\(=\)の推移性より\(\#\left( a,b\right) =\#\mathbb{R}\)が成り立ちます。

命題(有界な開区間は連続体)
\(a<b\)を満たす任意の\(a,b\in \mathbb{R}\)について、\(\mathbb{R}\)上の有界な開区間\(\left( a,b\right) \)は連続体である。
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\(\mathbb{R}\)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)を任意に選びます。ただし、\(a<b\)です。このとき、それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =a+\left( b-a\right) x\in \left[ a,b\right] \end{equation*}を定める写像\(f:\left[ 0,1\right] \rightarrow \left[ a,b\right] \)は全単射であるため(演習問題にします)、\(\#\left[ 0,1\right] =\#\left[ a,b\right] \)が成り立ちます。したがって、\(\#\left[ 0,1\right] =\#\left( 0,1\right) \)を示すことができれば、\(=\)の推移性より\(\#\left[ a,b\right] =\#\mathbb{R}\)が成り立ちます。そこで、\(\#\left[ 0,1\right] =\#\left( 0,1\right) \)を示すために、\begin{equation*}
X=\left[ 0,1\right] \backslash \left\{ 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots
\right\}
\end{equation*}という集合を考えると、\begin{eqnarray*}
\left[ 0,1\right] &=&X\cup \left\{ 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots
\right\} \\
\left( 0,1\right) &=&X\cup \left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}と表すことができます。その上で、それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n+1} & \left( if\ x=\frac{1}{n}\right) \\
x & \left( if\ x\in X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(f:\left[ 0,1\right] \rightarrow \left( 0,1\right) \)を構成するとこれは全単射であるため(演習問題にします)、\(\#\left[ 0,1\right] =\#\left( 0,1\right) \)が成り立ちます。

命題(有界な閉区間は連続体)
\(a<b\)を満たす任意の\(a,b\in \mathbb{R}\)について、\(\mathbb{R}\)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)は連続体である。
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同様に考えると、\(\mathbb{R}\)上の有界な半開区間もまた連続体であることが示されます。

命題(有界な半開区間は連続体)
\(a<b\)を満たす任意の\(a,b\in \mathbb{R}\)について、\(\mathbb{R}\)上の有界な半開区間\([a,b),\ (a,b]\)はともに連続体である。
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以上により、\(\mathbb{R}\)上の任意の有界区間(1点集合を除く)は連続体であることが示されました。

 

無限区間は連続体

\(\mathbb{R}\)上の無限閉区間\([a,+\infty )\)を任意に選びます。このとき、それぞれの\(x\in \lbrack a,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x\in
\mathbb{R}\end{equation*}を定める写像\(f:[a,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}\)を構成すると、これは単射です(演習問題にします)。

半開区間\([a,b)\)を任意に選びます。ただし、\(a<b\)です。先に示したように\([a,b)\)は連続体ですので、全単射\(g:\mathbb{R}\rightarrow \lbrack a,b)\)が存在します。したがって、\(g\)の終集合を\([a,b)\)から\([a,+\infty )\)へ拡張して\(g:\mathbb{R}\rightarrow \lbrack a,+\infty )\)とすれば、これは明らかに単射です。

一般に、集合\(X,Y\)について、\(X\)から\(Y\)への単射と、\(Y\)から\(X\)への単射が存在する場合には、\(X\)から\(Y\)への全単射が存在します(シュレーダー=ベルンシュタインの定理)。以上より、\([a,+\infty )\)から\(\mathbb{R}\)への全単射が存在することが示されました。つまり、\(\#[a,+\infty )=\#\mathbb{R}\)が成り立ちます。

シュレーダー=ベルンシュタインの定理について復習する

無限閉区間\((-\infty ,b]\)が連続体であることも同様にして示されます。

命題(無限閉区間は連続体)
任意の\(a,b\in \mathbb{R}\)について、\(\mathbb{R}\)上の無限閉区間\([a,+\infty ),\ (-\infty ,b]\)はともに連続体である。
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同様に考えると、\(\mathbb{R}\)上の無限開区間もまた連続体であることが示されます。

命題(無限開区間は連続体)
任意の\(a,b\in \mathbb{R}\)について、\(\mathbb{R}\)上の無限開区間\((a,+\infty ),\ (-\infty ,b)\)はともに連続体である。
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以上により、任意の無限区間は連続体であることが示されました。また、先に示したように、任意の有界区間も連続体であるため、結局、任意の区間は連続体です。ただし、1点集合を除きます。

系(区間は連続体)
\(\mathbb{R}\)上の任意の区間は連続体である。ただし、1点集合を除く。

次回は濃度を比較する方法について解説します。

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