可算集合の直積集合

有限個の可算集合の直積は可算集合になります。
可算集合 直積
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可算集合どうしの直積

自然数集合\(\mathbb{N} \)は可算集合ですが、すでに示したように、その直積集合\(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\)もまた可算集合になります。では、一般の可算集合\(X,Y\)についても、その直積集合\begin{equation*}
X\times Y=\{\left( x_{i},y_{j}\right) \ |\ x_{i}\in X,\ y_{j}\in Y\}
\end{equation*}は可算集合になるのでしょうか。そのことを示すために、\(X\times Y\)の要素を以下のように並べます。

その上で、それぞれの順序対\(\left( m,n\right) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\)に対して、表中の上から\(m\)行目、左から\(n\)列目に位置する順序列\begin{equation*}
f\left( m,n\right) =\left( x_{m},x_{n}\right) \in X\times Y
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{N} \times \mathbb{N}\rightarrow X\times Y\)を構成すると、これは全単射になります(演習問題にします)。したがって、\(X\times Y\sim \mathbb{N}\times \mathbb{N}\)が成り立ちますが、\(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\sim \mathbb{N}\)であるため、\(\sim \)の推移律より\(X\times Y\sim \mathbb{N}\)が成り立ちます。

命題(可算集合どうしの直積集合)
可算集合\(X,Y\)をそれぞれ任意に選ぶ。このとき、\(X\times Y\)は可算集合である。
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有限個の可算集合の直積集合

有限個の可算集合\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}\)が与えられたとき、先の命題を繰り返し適用すると、それらの直積集合\(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\)が可算個であることが示されます。

命題(有限個の可算集合の直積集合)
自然数\(n\)個の集合からなる集合族\(\{X_{i}\}_{i=1}^{n}\)が与えられたとき、任意の\(i\)について\(X_{i}\)が可算集合であるならば、直積集合\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}X_{i}
\end{equation*}もまた可算集合である。
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一般の集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)について考えます。ただし、添字集合\(\Lambda \)は有限集合であり、なおかつ、それぞれの添字\(\lambda \in \Lambda \)について\(X_{\lambda }\)が可算集合であるものとします。\(\Lambda \)は有限集合であるならば\(\Lambda =\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}\)と付番できるため、先の集合族の直積集合を、\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\prod_{i=1}^{n}X_{\lambda _{i}}
\end{equation*}と表現できます。したがって、上の命題より、これは可算集合です。

系(有限個の可算集合の直積集合)
集合族\(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、\(\Lambda \)が有限集合であり、なおかつ任意の\(\lambda \in \Lambda\)について\(X_{\lambda }\)が可算集合であるならば、直積集合\begin{equation*}
\prod_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }
\end{equation*}もまた可算集合である。

この命題において\(\Lambda =\{1,2,\cdots ,n\}\)とすれば一個前の命題が得られます。ただ、有限集合として\(\{1,2,\cdots ,n\}\)の他にも様々なものがあります。例えば、\(\{a,b,c,d\}\)や\(\{-1,-2,\cdots ,-n\}\)などはいずれも有限集合ですので、上の命題において\(\Lambda \)をこれらの有限集合に置き換えても、同様の結論が得られます。そのような意味で、この命題は一個前の命題の一般化になっています。

次回は非可算集合について学びます。

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