濃度の狭義大小関係

無限集合を含めた一般の集合について、それらの濃度の大きさを比較する狭義大小関係を定義します。
より大きい濃度  より小さい濃度  反射律  反対称律  推移律  順序関係
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濃度の狭義大小関係

有限集合\(X\)の濃度\(\#X\)はその集合\(X\)に含まれる要素の個数と一致し、有限集合の濃度を比較する大小関係\(\leq \)は自然数どうしを比較する通常の大小関係と一致します。つまり、有限集合\(X,Y\)に対して\(\#X\leq \#Y\)が成り立つことは、\(X\)に含まれる要素の個数が、\(Y\)に含まれる要素の個数を超えないことを意味します。また、有限集合\(X,Y\)に対して、\(X\)に含まれる要素の個数が\(Y\)に含まれる要素の個数よりも小さいことは\(\#X<\#Y\)と表すことができます。ただし、\(<\)は自然数どうしを比較する通常の狭義大小関係であり、任意の有限集合\(X,Y\)に関して、\(\leq \)と\(<\)の間には、\begin{equation*}
\#X<\#Y\Leftrightarrow \left( \#X\leq \#Y\ \wedge \ \#X\not=\#Y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

一方、無限集合を含めた一般の集合\(X,Y\)の濃度は自然数として定まるとは限らないため、それらの濃度を自然数を比較する狭義大小関係を用いて比較することはできません。そこで、濃度を比較する大小関係\(\leq \)が与えられたとき、有限集合の場合と同様に、任意の集合\(X,Y\)に対しても、\begin{equation*}
\#X<\#Y\Leftrightarrow \left( \#X\leq \#Y\ \wedge \ \#X\not=\#Y\right)
\end{equation*}を満たすものとして濃度の狭義大小関係\(<\)を定義します。ただし、ここでの\(X,Y\)は有限集合とは限らないため、それらの濃度\(\#X,\#Y\)は自然数であるとは限らず、上の定義中の\(<,\leq ,=\)はいずれも自然数どうしを比較する記号ではなく、集合の濃度を比較する記号です。集合\(X,Y\)に対して\(\#X<\#Y\)が成り立つとき、\(Y\)の濃度は\(X\)の濃度よりも大きいと言います。逆に、\(X\)の濃度は\(Y\)の濃度よりも小さいと言うこともできます。

例(濃度の狭義大小関係)
\(1\)から\(100\)までの自然数からなる集合\(X=\{1,2,\cdots ,100\}\)と、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} =\{1,2,\cdots \}\)について考えます。明らかに\(X\subset \mathbb{N}\)であるため\(\#X\leq \#\mathbb{N}\)が成り立ちます。また、写像\(f:X\rightarrow \mathbb{N}\)を任意に選ぶと、任意の\(x\in X\)に対して\(f\left( x\right) \not=n\)であるような自然数\(n\in \mathbb{N}\)が必ず存在するため、\(f\)は全射ではありません。したがって\(X\)から\(\mathbb{N}\)への全単射が存在せず、\(\#X\not=\#\mathbb{N}\)が成り立ちます。以上より\(\#X<\#\mathbb{N}\)であることが示されました。
例(濃度の狭義大小関係)
任意の集合\(X\)とそのベキ集合を\(2^{X}\)の間には\(\#X<\#2^{X}\)が成り立ちます。証明は演習問題とします。

 

濃度の狭義大小関係と自然数の狭義大小関係の違い

無限集合を含めた一般の集合\(X,Y\)に対しては、\begin{equation*}
\#X\leq \#Y\ \Leftrightarrow \ X\subset Y
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、集合\(X,Y\)について、\(X\)が\(Y\)の部分集合であることは、\(X\)の濃度が\(Y\)の濃度を超えないための必要十分条件です。では、一般の集合\(X,Y\)に対して、\begin{equation}
\#X<\#Y\ \Leftrightarrow \ \left( X\subset Y\ \wedge \ X\not=Y\right)
\tag{1}
\end{equation}という関係は成り立つでしょうか。つまり、集合\(X,Y\)について、\(X\)が\(Y\)の真部分集合であることは、\(X\)の濃度が\(Y\)の濃度を超えないための必要十分条件でしょうか。

有限集合\(X\)とその真部分集合\(Y\)が与えられたとき、\(Y\)のすべての要素は\(X\)の要素であるとともに、\(X\)の要素の中には\(Y\)の要素ではないものが必ず存在します。\(X,Y\)はともに有限集合ですので、このとき、\(Y\)の要素の個数は\(X\)の要素の個数よりも厳密に少なくなります。したがって、有限集合\(X,Y\)に関しては\(\left( 1\right) \)が明らかに成り立ちます。

一方、以下の例が示すように、無限集合を含めた一般の集合\(X,Y\)に対しては、\(\left( 1\right) \)は成り立つとは限りません。

例(濃度の狭義大小関係)
すべての自然からなる集合\(\mathbb{N} =\{1,2,\cdots \}\)とすべての正の偶数からなる集合\(E=\{2,4,\cdots \}\)について考えます。\(E\)は\(\mathbb{N}\)の真部分集合である一方で、\(\mathbb{N} \sim E\)であることから\(\#\mathbb{N} =\#E\)が成り立つため、これと\(<\)の定義より\(\#E<\#\mathbb{N}\)は成り立ちません。

上の例から明らかになったように、無限集合を含めた一般の集合\(X,Y\)については、\(X\)が\(Y\)の真部分集合であることは、\(X\)の濃度が\(Y\)の濃度を超えないための必要十分条件になるとは限りません。

 

写像を用いた濃度の狭義大小関係の表現

以前学んだように、集合\(X,Y\)に対して単射\(f:X\rightarrow Y\)が存在することは、\(\#X\leq \#Y\)が成り立つための必要十分条件です。また、全単射\(f:X\rightarrow Y\)が存在することは、\(\#X=\#Y\)が成り立つための必要十分条件です。以上の事実と濃度を比較する狭義大小関係\(<\)の定義より以下を得ます。

命題(濃度を比較する狭義大小関係)
集合\(X,Y\)について、\(X\)から\(Y\)への単射が存在するとともに全単射が存在しないことは、\(\#X<\#Y\)が成り立つための必要十分条件である。

以前学んだように、集合\(X,Y\)に対して、\(Y\)から\(X\)への全単射が存在することは、\(X\)から\(Y\)への全単射が存在するための必要十分条件です。また、選択公理を認める場合、集合\(X,Y\)について、\(Y\)から\(X\)への全射が存在することは、\(X\)から\(Y\)への単射が存在するための必要十分条件です。これらの事実を利用すると上の命題を以下のように言い換えることができます。

命題(濃度を比較する狭義大小関係)
集合\(X,Y\)について、\(Y\)から\(X\)への全射が存在するとともに全単射が存在しないことは、\(\#X<\#Y\)が成り立つための必要十分条件である。ただし、選択公理を認めるものとする。

 

濃度の狭義大小関係は狭義順序関係

集合族\(\mathfrak{A}\)に属する集合\(X,Y\)を任意にとると、\(\#X<\#Y\)は成り立つか否かのどちらか一方ですので、\(<\)は\(\mathfrak{A}\)上の二項関係です。

集合\(X\)を任意に選んだときに、\(\#X<\#X\)が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。このとき\(<\)の定義より\(\#X\leq \#X\)かつ\(\#X\not=\#X\)が成り立ちますが、\(\#X\not=\#X\)は\(=\)の反射律と矛盾です。したがって\(\#X<\#X\)は成り立ちません。つまり、集合の濃度を比較する狭義大小関係\(<\)は非反射律(antireflexive law)を満たす集合族\(\mathfrak{A}\)上の二項関係です。

命題(非反射律)
任意の集合\(X\)について、\begin{equation*}
\lnot \left( \#X<\#X\right)
\end{equation*}が成り立つ。

\(\#X<\#Y\)を満たす集合\(X,Y\)を任意に選びます。このとき、\(\#Y<\#X\)が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。\(\#X<\#Y\)より\(\#X\leq \#Y\)かつ\(\#X\not=\#Y\)が成り立ち、\(\#Y<\#X\)より\(\#Y\leq \#X\)かつ\(\#Y\not=\#X\)が成り立ちます。\(\#X\leq \#Y\)かつ\(\#Y\leq \#X\)が成り立つとき、\(\leq \)の反対称律より\(\#X=\#Y\)が成り立ちますが、これは\(\#X\not=\#Y\)と矛盾します。したがって\(\#Y<\#X\)は成り立ちません。つまり、集合の濃度を比較する狭義大小関係\(<\)は非対称律(asymmetric law)を満たす集合族\(\mathfrak{A}\)上の二項関係です。

命題(非対称律)
任意の集合\(X,Y\)について、\begin{equation*}
\#X\leq \#Y\ \Rightarrow \ \lnot \left( \#Y<\#X\right)
\end{equation*}が成り立つ。

\(\#X<\#Y\)かつ\(\#Y<\#Z\)を満たす集合\(X,Y,Z\)を任意に選びます。\(\#X<\#Y\)より\(\#X\leq \#Y\)かつ\(\#X\not=\#Y\)が成り立ち、\(\#Y<\#Z\)より\(\#Y\leq \#Z\)かつ\(\#Y\not=\#Z\)が成り立ちます。\(\#X\leq \#Y\)かつ\(\#Y\leq \#Z\)が成り立つとき、\(\leq \)の推移性より\(\#X\leq \#Z\)が成り立ちます。\(\#X=\#Z\)が成り立つものと仮定して矛盾を導きます。\(\#X=\#Z\)と\(\#X\leq \#Y\)より\(\#Z\leq \#Y\)が成り立ちますが、これと\(\#Y\leq \#Z\)に対して\(\leq \)の反対称律を適用すると\(\#Y=\#Z\)となりますが、これは\(\#Y\not=\#Z\)と矛盾します。したがって\(\#X\not=\#Z\)であることが示されました。以上で\(\#X\leq \#Z\)かつ\(\#X\not=\#Z\)であることが示されたため、\(<\)の定義より\(\#X<\#Z\)が成り立ちます。つまり、集合の濃度を比較する狭義大小関係\(<\)は推移律(transitive law)を満たす集合族\(\mathfrak{A}\)上の二項関係です。

命題(推移律)
任意の集合\(X,Y,Z\)について、\begin{equation*}
\left( \#X<\#Y\ \wedge \ \#Y<\#Z\ \right) \Rightarrow \ \#X<\#Z
\end{equation*}が成り立つ。

非反射律・非対称律・推移律を満たす二項関係を狭義順序関係(strict order relation)と呼びます。濃度の狭義大小関係を表す\(<\)を集合族\(\mathfrak{A}\)上に定義された二項関係とみなすとき、これまでの議論により、\(\leq \)は非反射律・非対称律・推移律を満たすため、これは狭義順序関係としての要件を満たします。

系(濃度の狭義大小関係は狭義順序関係)
集合族\(\mathfrak{A}\)上の二項関係\(<\)を、任意の集合\(X,Y\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*}
\#X<\#Y\Leftrightarrow \left( \#X\leq \#X\ \wedge \ \#X\not=\#Y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、この\(<\)は\(\mathfrak{A}\)上の狭義順序関係である。

次回は濃度の演算について学びます。
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