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単射

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単射

写像\(f:A\rightarrow B\)の定義域に属する異なる要素\(a,a^{\prime}\in A\)を任意に選んだとき、\(f\)によるそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \)もまた異なることが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\Rightarrow f\left(
a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を\(A\)から\(B\)への単射(injection)や1対1の写像(one-to-one-mapping)などと呼びます。対偶をとると、上の定義を、\begin{equation*}\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ f\left( a\right) =f\left( a^{\prime
}\right) \Rightarrow a=a^{\prime }\right] \end{equation*}と言い換えることもできます。

写像\(f:A\rightarrow B\)が単射でないこととは、上の定義の否定である、\begin{equation*}\exists a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\wedge f\left( a\right)
=f\left( a^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の定義域に属する異なる要素の中に、\(f\)によるそれらの像が等しいものが存在する場合、\(f\)は単射ではありません。

例(単射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。\(A\)のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める像は異なるため、この\(f\)は単射です。
図:単射
図:単射
例(単射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)と\(3\)の両方から\(b\)へ矢印が伸びています。つまり、\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)であるため、この\(f\)は単射ではありません。
図:単射ではない
図:単射ではない
例(単射)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+5
\end{equation*}を像として定めるものとします。定義域の要素\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) =g\left( x^{\prime }\right) &\Leftrightarrow &x+5=x^{\prime
}+5\quad \because g\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x=x^{\prime }
\end{eqnarray*}が成り立つため、この\(f\)は単射です。
例(単射)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。定義域の異なる要素\(2,-2\in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 2\right) =f\left( -2\right) =4
\end{equation*}が成り立つため、この\(f\)は単射ではありません。
例(包含写像)
写像\(f:A\rightarrow B\)の定義域と終集合の間に\(A\subset B\)という関係が成り立つとともに、\(f\)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める像が、\begin{equation*}f\left( a\right) =a
\end{equation*}であるとき、このような写像\(f\)を包含写像(inclusion mapping)と呼びます。包含写像は単射です。実際、定義域の異なる要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( a\right) &=&a\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&a^{\prime }\quad \because a\not=a^{\prime } \\
&=&f\left( a^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち\(f\left( a\right) \not=f\left( a^{\prime}\right) \)が成り立つからです。
例(恒等写像)
写像\(f:A\rightarrow A\)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める像が、\begin{equation*}f\left( a\right) =a
\end{equation*}であるとき、このような写像\(f\)を恒等写像(identity mapping)と呼びます。恒等写像は特別な包含写像です。先に示したように包含写像は単射であるため、恒等写像もまた単射です。

 

単射と合成写像

2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =g\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}を像として定める合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が定義可能です。写像\(f,g\)がともに単射である場合、それらの合成写像\(g\circ f\)もまた単射になることが保証されます。実際、要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =\left( g\circ f\right) \left(
a^{\prime }\right) &\Leftrightarrow &g\left( f\left( a\right) \right)
=g\left( f\left( a^{\prime }\right) \right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&\Rightarrow &f\left( a\right) =f\left( a^{\prime }\right) \quad \because g\text{は単射} \\
&\Rightarrow &a=a^{\prime }\quad \because f\text{は単射}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。

命題(単射の合成は単射)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、これらがともに単射であるならば、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)もまた単射である。

逆に、合成写像\(g\circ f\)が単射であるとき、それを構成する写像\(f,g\)もまた単射であることを保証できるのでしょうか。この場合、\(f\)が単射であることは保証されますf。実際、要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( a\right) =f\left( a^{\prime }\right) &\Rightarrow &g\left( f\left(
a\right) \right) =g\left( f\left( a^{\prime }\right) \right) \quad \because g\text{は写像} \\
&\Leftrightarrow &\left( g\circ f\right) \left( a\right) =\left( g\circ
f\right) \left( a^{\prime }\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&\Rightarrow &a=a^{\prime }\quad \because g\circ f\text{は単射}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。

命題(単射である合成写像を構成する単射)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が単射であるならば、写像\(f\)もまた単射である。

合成写像\(g\circ f\)が単射である場合には\(f\)もまた単射であることが明らかになりましたが、もう一方の写像\(g\)は単射であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(単射である合成写像を構成する非単射)
集合\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。写像\(f:A\rightarrow B\)は、\begin{eqnarray*}f\left( a_{1}\right) &=&b_{1} \\
f\left( a_{2}\right) &=&b_{2}
\end{eqnarray*}を満たし、写像\(g:B\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}g\left( b_{1}\right) &=&c_{1} \\
g\left( b_{2}\right) &=&c_{2} \\
g\left( b_{3}\right) &=&c_{2}
\end{eqnarray*}を満たすとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( a_{1}\right) &=&g\left( f\left( a_{1}\right)
\right) =g\left( b_{1}\right) =c_{1} \\
\left( g\circ f\right) \left( a_{2}\right) &=&g\left( f\left( a_{2}\right)
\right) =g\left( b_{2}\right) =c_{2}
\end{eqnarray*}を満たします。\(f\)と\(g\circ f\)はともに単射である一方、\(g\)は単射ではありません。

 

単射の逆写像

単射の逆写像は存在するとは限りません。実際、写像\(f:A\rightarrow B\)が単射であり、なおかつその値域\(f\left( A\right) \)が終集合\(B\)の真部分集合である場合、すなわち\(b\not\in f\left( A\right) \)を満たす\(b\in B\)が存在する場合、この\(b\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)は存在しないため、その逆像\(f^{-1}\left( a\right) \)は空集合になり、したがって逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は点\(b\in B\)において定義不可能です。

例(逆写像を持たない単射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =c\)です。
図:逆写像を持たない単射
図:逆写像を持たない単射

この写像\(f\)は逆写像\(f:B\rightarrow A\)を持ちません。実際、\(f\)による\(d\in B\)の逆像は\(f^{-1}\left( d\right) =\phi \)であるため、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)はそもそも点\(d\in B\)において定義不可能だからです。ただ、写像の終集合を値域\(f\left( A\right)=\left\{ a,b,c\right\} \)に制限して\(f:A\rightarrow \left\{ a,b,c\right\} \)とすれば話は別です。この新たな写像\(f\)に関しては逆写像\(f^{-1}:\left\{ a,b,c\right\} \rightarrow A\)が存在し、これは、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&2 \\
f^{-1}\left( b\right) &=&1 \\
f^{-1}\left( c\right) &=&3
\end{eqnarray*}を定めます。

上の例が示唆するように、仮に単射\(f:A\rightarrow B\)に逆写像が存在しない場合でも、その単射の終集合を値域へ制限して\(f:A\rightarrow f\left( A\right) \)とすれば、その逆写像\(f:f\left( A\right) \rightarrow A\)が存在することが保証できます。

命題(単射の逆写像)
単射\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、写像\(f:A\rightarrow f\left(A\right) \)の逆写像\(f^{-1}:f\left( A\right)\rightarrow A\)が存在する。
証明

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例(単射の逆写像)
単射\(f:A\rightarrow B\)の終集合が値域と一致する場合には、すなわち\(f\left( A\right) =B\)が成り立つ場合には、上の命題より、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在することが保証されます。

 

演習問題

問題(単射と合成写像)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が単射であるならば写像\(f\)もまた単射であることが保証される一方で、もう一方の写像\(g\)は単射であるとは限らないことを本文中で指摘しました。一方、\(f\)の値域に関して、\begin{equation*}f\left( A\right) =B
\end{equation*}が成り立つ場合に限定すると、\(g\circ f\)が単射である場合には\(g\)もまた単射になることを証明してください。
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問題(単射と合成写像)
写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}f\left( n\right) =2n
\end{equation*}を定めるものとし、写像\(g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}g\left( n\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
n+1 & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
1 & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)と写像\(f\)はともに単射である一方、写像\(g\)は単射はないことを示してください。
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問題(単射の逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。逆写像\(f^{-1}\)は存在するでしょうか。議論してください。
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問題(単射の逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの非負の実数\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。逆写像\(f^{-1}\)は存在するでしょうか。議論してください。
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問題(単射による差集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、定義域の部分集合\(A_{1},A_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation}f\left( A_{1}\right) \backslash f\left( A_{2}\right) \subset f\left(
A_{1}\backslash A_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを示してください。また、その一方で、\begin{equation}
f\left( A_{1}\backslash A_{2}\right) \subset f\left( A_{1}\right) \backslash
f\left( A_{2}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}は成り立つとは限らないことを示してください。さらに、\(f\)が単射である場合には\(\left( 2\right) \)もまた成り立つことを示してください。
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次回は写像の左逆写像と呼ばれる概念を定義し、写像に対して左逆写像が存在することと、その写像が単射であることが必要十分であることを示します。

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単射

単射と左逆写像

写像 f に対して合成写像 g∘f が恒等写像になるような写像 g が存在する場合、このような g を f の左逆写像と呼びます。写像 f に対してその左逆写像が存在することは、f が単射であるための必要十分条件です。

DISCUSSION

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