単射の定義
写像\(f:A\rightarrow B\)とは始集合に属するそれぞれの要素\(a\in A\)に対して、終集合に属する要素\(f\left(a\right) \in B\)を1つずつ定める規則として定義されます。
始集合に属する「異なる」要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選びそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \in B\)をとると、それらは一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、問題はありません。
その一方で、写像\(f:A\rightarrow B\)の定義域に属する異なる要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選んだとき、\(f\)によるそれらの像\(f\left(a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \in B\)もまた異なることが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\Rightarrow f\left(
a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right]
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を\(A\)から\(B\)への単射（injection）や1対1の写像（one-to-one-mapping）などと呼びます。対偶をとると、上の定義を、\begin{equation*}\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ f\left( a\right) =f\left( a^{\prime
}\right) \Rightarrow a=a^{\prime }\right]
\end{equation*}と言い換えることもできます。
写像\(f:A\rightarrow B\)が単射でないこととは、上の定義の否定である、\begin{equation*}\exists a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\wedge f\left( a\right)
=f\left( a^{\prime }\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の定義域に属する異なる要素の中に、\(f\)によるそれらの像が等しいものが存在する場合、\(f\)は単射ではありません。
\end{equation*}は写像になります。\(f\)が単射である場合には、\begin{equation*}\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\Rightarrow f\left(
a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは、入り口を変えれば出口も必ず変わることを意味します。同じことを、\begin{equation*}
\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ f\left( a\right) =f\left( a^{\prime
}\right) \Rightarrow a=a^{\prime }\right] \end{equation*}と表現できますが、これは、出口が何らかの入り口に繋がっている場合、その入り口は1つだけであることを意味します。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち、\begin{equation*}f\left( 1\right) =c
\end{equation*}であることを意味します。他の2本の矢印より、\begin{eqnarray*}
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}であることも読み取れます。始集合\(A\)のそれぞれの要素に対して終集合\(B\)の異なる要素が割り当てられているため、この写像\(f\)は単射です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b
\end{equation*}が成立しているため、この写像\(f\)は単射ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の要素\(x,x^{\prime}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) &\Leftrightarrow
&x+5=x^{\prime }+5\quad \because f\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x=x^{\prime }
\end{eqnarray*}が成り立つため、この写像\(f\)は単射です。
\end{equation*}を像として定めるものとします。2つの要素\(2,-2\in \mathbb{R} \)は異なるにも関わらず、\begin{equation*}f\left( 2\right) =f\left( -2\right) =4
\end{equation*}が成立しているため、この写像\(f\)は単射ではありません。
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める像が、\begin{equation*}f\left( a\right) =a
\end{equation*}である場合、このような写像\(f\)を包含写像（inclusion mapping）と呼びます。包含写像は単射です。実際、異なる要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( a\right) &=&a\quad \because f\text{の定義} \\
&\not=&a^{\prime }\quad \because a\not=a^{\prime } \\
&=&f\left( a^{\prime }\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
\end{equation*}である場合、このような写像\(f\)を恒等写像（identity mapping）と呼びます。恒等写像は特別な包含写像です。先に示したように包含写像は単射であるため、恒等写像もまた単射です。
単射による補集合の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選んだ上で、その補集合\(X^{c}=A\backslash X\)をとります。このとき、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}f\left( X^{c}\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in
X^{c}\right\} \\
f\left( X\right) ^{c} &=&B\backslash f\left( X\right)
\end{eqnarray*}の間に包含関係は成立するとは限りません。一方、\(f\)が単射である場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( X^{c}\right) \subset f\left( X\right) ^{c}
\end{equation*}が成立することが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。
実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、任意の集合\(X\subset A\)について、\begin{equation*}f\left( X^{c}\right) \subset f\left( X\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は単射であることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は単射である。
以上の2つの命題を踏まえると、写像が単射であることを以下のように表現できることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が単射であるための必要十分条件である。
単射による共通部分の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation}\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) \subset f\left(
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、共通部分の像は像の共通部分の部分集合であるということです。その一方で、以下の関係\begin{equation}
\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right)
\subset f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}は成り立つとは限りません。つまり、像の共通部分は共通部分の像の部分集合であるとは限らないということです。
一方、\(f\)が単射である場合には\(\left( 2\right) \)もまた成り立つことが保証されます。\(\left( 1\right) \)が常に成り立つことを踏まえると、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、\begin{equation*}\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) =f\left(
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) =f\left(
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は単射であることが保証されます。
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は単射である。
以上の2つの命題を踏まえると、写像が単射であることを以下のように表現できることが明らかになりました。
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が単射であるための必要十分条件である。
上の命題を以下のように表現することもできます。
=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が単射であるための必要十分条件である。
単射による和集合の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation}\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) =f\left(
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、2つの集合の和集合の像は像の和集合と一致するということです。単射もまた写像であるため、\(f\)が単射である場合にも上の関係が成り立ちます。
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の部分集合族\(\left\{ X_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right)
=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合族の和集合の像は像の和集合と一致するということです。単射もまた写像であるため、\(f\)が単射である場合にも上の関係が成り立ちます。
単射による差集合の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation}\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\right) \backslash f\left(
X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、像の差集合は差集合の像の部分集合であるということです。その一方で、以下の関係\begin{equation}
\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \subset
f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}は成り立つとは限りません。つまり、差集合の像は像の差集合の部分集合であるとは限らないということです。
一方、\(f\)が単射である場合には\(\left( 2\right) \)もまた成り立つことが保証されます。\(\left( 1\right) \)が常に成り立つことを踏まえると、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、\begin{equation*}\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\right) \backslash f\left(
X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。
X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall X_{1},X_{2}\subset A:f\left( X_{1}\right) \backslash f\left(
X_{2}\right) =f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は単射であることが保証されます。
X_{2}\right) =f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)は単射である。
以上の2つの命題を踏まえると、写像が単射であることを以下のように表現できることが明らかになりました。
X_{2}\right) =f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が単射であるための必要十分条件である。
単射と合成写像
2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C
\end{eqnarray*}が与えられたとき、\(f\)の終集合と\(g\)の始集合はともに\(B\)で一致するため合成写像\begin{equation*}g\circ f:A\rightarrow C
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =g\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}を定めます。
写像\(f,g\)がともに単射である場合、それらの合成写像\(g\circ f\)もまた単射になることが保証されます。
逆に、合成写像\(g\circ f\)が単射であるとき、それを構成する写像\(f,g\)もまた単射であることを保証できるのでしょうか。この場合、\(f\)が単射であることは保証されます。
合成写像\(g\circ f\)が単射である場合には\(f\)もまた単射であることが明らかになりましたが、もう一方の写像\(g\)は単射であるとは限りません。以下の例より明らかです。
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。写像\(f:A\rightarrow B\)は、\begin{eqnarray*}f\left( a_{1}\right) &=&b_{1} \\
f\left( a_{2}\right) &=&b_{2}
\end{eqnarray*}を満たし、写像\(g:B\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}g\left( b_{1}\right) &=&c_{1} \\
g\left( b_{2}\right) &=&c_{2} \\
g\left( b_{3}\right) &=&c_{2}
\end{eqnarray*}を満たすとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( a_{1}\right) &=&g\left( f\left( a_{1}\right)
\right) =g\left( b_{1}\right) =c_{1} \\
\left( g\circ f\right) \left( a_{2}\right) &=&g\left( f\left( a_{2}\right)
\right) =g\left( b_{2}\right) =c_{2}
\end{eqnarray*}を満たします。\(f\)と\(g\circ f\)はともに単射である一方、\(g\)は単射ではありません。
単射の逆写像
単射の逆写像は存在するとは限りません。実際、写像\(f:A\rightarrow B\)が単射であり、なおかつその値域\(f\left( A\right) \)が終集合\(B\)の真部分集合である場合、すなわち\(b\not\in f\left( A\right) \)を満たす\(b\in B\)が存在する場合、この\(b\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)は存在しないため、その逆像\(f^{-1}\left( a\right) \)は空集合になり、したがって逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は点\(b\in B\)において定義不可能です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&c
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は単射です。逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は存在しません。実際、\(f\)による要素\(d\in B\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( d\right) &=&\left\{ x\in A\ |\ f\left( x\right) =d\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)はそもそも点\(d\in B\)において定義不可能だからです。一方、写像の終集合を値域\(f\left( A\right) =\left\{ a,b,c\right\} \)に制限して、\begin{equation*}f:A\rightarrow \left\{ a,b,c\right\}
\end{equation*}とすれば話は別です。この新たな写像\(f\)に関しては逆写像\(f^{-1}:\left\{a,b,c\right\} \rightarrow A\)が存在し、これは、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&2 \\
f^{-1}\left( b\right) &=&1 \\
f^{-1}\left( c\right) &=&3
\end{eqnarray*}を定めます。
上の例が示唆するように、単射\(f:A\rightarrow B\)に逆写像が存在しない場合でも、その単射の終集合を値域へ制限して、\begin{equation*}f:A\rightarrow f\left( A\right)
\end{equation*}とすれば、その逆写像\(f^{-1}:f\left( A\right) \rightarrow A\)が存在することを保証できます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は単射でしょうか。議論してください。ただし、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は単射でしょうか。議論してください。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は単射でしょうか。議論してください。ただし、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合であり、\(\mathbb{Q} \)はすべての有理数からなる集合です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は単射でしょうか。議論してください。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。
B &=&\left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{eqnarray*}と定義されているものとします。以下の\(A\times B\)の部分集合\begin{eqnarray*}f &=&\left\{ \left( a,2\right) ,\left( b,0\right) ,\left( c,0\right) ,\left(
d,1\right) \right\} \\
g &=&\left\{ \left( a,1\right) ,\left( b,3\right) ,\left( c,0\right) ,\left(
d,2\right) \right\} \\
h &=&\left\{ \left( a,3\right) ,\left( b,1\right) ,\left( d,2\right) ,\left(
d,3\right) \right\} \\
i &=&\left\{ \left( a,1\right) ,\left( c,2\right) ,\left( d,3\right)
\right\}
\end{eqnarray*}はそれぞれ単射でしょうか。議論してください。
\end{equation*}が成り立つ場合に限定すると、\(g\circ f\)が単射である場合には\(g\)もまた単射になることを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとし、写像\(g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}g\left( n\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
n+1 & \left( if\ n\text{が偶数}\right) \\
1 & \left( if\ n\text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)と写像\(f\)はともに単射である一方、写像\(g\)は単射はないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。逆写像\(f^{-1}\)は存在するでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。逆写像\(f^{-1}\)は存在するでしょうか。議論してください。
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