写像による要素の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の要素\(a\in A\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合の要素\(f\left( a\right) \in B\)を1つずつ定めます。これを\(f\)による\(a\)の像（image）と呼びます。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち、\begin{equation*}f\left( 1\right) =c
\end{equation*}であることを意味します。他の2本の矢印より、\begin{eqnarray*}
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}であることも読み取れます。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&1^{2}=1 \\
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{2}=1 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}などとなります。
写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ f\left(
a\right) =b\right\}
\end{equation*}と定義される\(A\times B\)の部分集合であるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}f\left( a\right) =b\Leftrightarrow \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることと、\(\left(a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。
写像による集合の像・写像の値域
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(X\)の像（image）と呼びます。\(f\left( X\right) \)は\(f\)の終集合\(B\)の部分集合です。
写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)は\(A\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(A\)の像\(f\left( A\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域（range）と呼び、\begin{equation*}R\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \quad \because \text{写像による像の定義}
\end{eqnarray*}です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&c \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ 1\right\} \right) &=&\left\{ f\left( 1\right) \right\}
=\left\{ c\right\} \\
f\left( \{1,2\}\right) &=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right)
\right\} =\left\{ a,c\right\} \\
f\left( \{2,3\}\right) &=&\left\{ f\left( 2\right) ,f\left( 3\right)
\right\} =\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&f\left( \left\{ 1,2,3\right\} \right) \\
&=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right) ,f\left( 3\right) \right\} \\
&=&\left\{ a,b,c\right\} \\
&=&B
\end{eqnarray*}です。これは値域と終集合が一致する写像の例です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ 1\right\} \right) &=&\left\{ f\left( 1\right) \right\}
=\left\{ b\right\} \\
f\left( \{1,2\}\right) &=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right)
\right\} =\left\{ a,b\right\} \\
f\left( \{2,3\}\right) &=&\left\{ f\left( 2\right) ,f\left( 3\right)
\right\} =\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&f\left( \left\{ 1,2,3\right\} \right) \\
&=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right) ,f\left( 3\right) \right\} \\
&=&\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは値域と終集合が一致しない写像の例です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による閉区間\(\left[0,1\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による閉区間\(\left[ -1,2\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left\{ 3\right\} \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ 3\right\} \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left\{ 3\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 9\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。
&=&\phi \quad \because a\in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。つまり、写像による空集合の像は空集合です。
写像\(f:A\rightarrow B\)による始集合の部分集合\(X\subset A\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義されるため、要素\(b\in B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}b\in f\left( X\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in X:b=f\left( x\right)
\quad \because f\left( X\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、写像\(f\)による集合\(X\subset A\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:b=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(X=A\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、写像\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。
写像による要素の像と集合の像の関係
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選びます。\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は、\(f\)が\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対して定める像\(f\left( x\right) \)をすべて集めることにより得られる集合であるため、\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) \in f\left( X\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(X\)の要素の像は、\(f\)による\(X\)の像の要素になることが保証されるということです。
X\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
上の命題とは逆に、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、任意の集合\(X\subset A\)について、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in A:\left[ f\left( x\right) \in f\left( X\right) \Rightarrow x\in
X\right]
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、この命題の否定である、\begin{equation*}
\exists x\in A:\left[ f\left( x\right) \in f\left( X\right) \wedge x\not\in X\right]
\end{equation*}を満たすような集合\(X\subset A\)が存在する状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。開区間\(\left( -1,3\right) \subset \mathbb{R} \)に注目すると、その像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( -1,3\right) \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -1,3\right) \right\} \\
&=&[0,9)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\left( -1,3\right) \)の要素ではない実数\(-2\)に注目すると、その像は、\begin{equation*}f\left( -2\right) =4\in f\left( \left( -1,3\right) \right)
\end{equation*}を満たします。以上より、\begin{equation*}
f\left( -2\right) \in f\left( \left( -1,3\right) \right) \wedge -2\not\in
\left( -1,3\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
写像による集合の像と包含関係
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選びます。両者の間に\(X_{1}\subset X_{2}\)が成り立つ場合には、それらの像の間にも、\begin{equation*}f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}という包含関係が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題とは逆に、任意の集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、以下の関係\begin{equation*}f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right) \Rightarrow X_{1}\subset X_{2}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、上の命題の否定である、\begin{equation*}
f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right) \wedge X_{1}\not\subset X_{2}
\end{equation*}を満たすような集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)が存在する状況が起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。始集合\(\mathbb{R} \)の部分集合である閉区間\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,2\right] \)に注目すると、\(f\)によるこれらの像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,0\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,0\right] \right\} =\left[ 0,1\right] \\
f\left( \left[ 0,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,2\right] \right\} =\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}となるため\begin{equation*}
f\left( \left[ -1,0\right] \right) \subset f\left( \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、明らかに、\begin{equation*}
\left[ -1,0\right] \not\subset \left[ 0,2\right] \end{equation*}です。
写像による補集合の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)をそれぞれ任意に選んだ上で、その補集合\(X^{c}=A\backslash X\)をとります。このとき、以下の2つの集合\begin{eqnarray*}f\left( X^{c}\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in
X^{c}\right\} \\
f\left( X\right) ^{c} &=&B\backslash f\left( X\right)
\end{eqnarray*}の間に何らかの関係は成り立つでしょうか。
後ほど示すように、\(f\)が単射と呼ばれるタイプの写像である場合には、\begin{equation*}f\left( X^{c}\right) \subset f\left( X\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立ち、\(f\)が全射と呼ばれるタイプの写像である場合には、\begin{equation*}f\left( X\right) ^{c}\subset f\left( X^{c}\right)
\end{equation*}が成り立ち、\(f\)が全単射と呼ばれるタイプの写像である場合には、\begin{equation*}f\left( X^{c}\right) =f\left( X\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立ちますが、一般には、両者の間にこれらの関係は成立しません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。始集合\(\mathbb{Z} \)の部分集合であるすべての非負の整数からなる集合\begin{equation*}X=\left\{ 0,1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}に注目すると、以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( X^{c}\right) &\subset &f\left( X\right) ^{c} \\
f\left( X\right) ^{c} &\subset &f\left( X^{c}\right) \\
f\left( X^{c}\right) &=&f\left( X\right) ^{c}
\end{eqnarray*}はいずれも成立しません（演習問題）。
写像による共通部分の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、これらの共通部分の像について以下の関係\begin{equation*}f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \cap f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、共通部分の像は像の共通部分の部分集合であるということです。
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題とは逆に、任意の\(X_{1},X_{2}\subset A\)について以下の関係\begin{equation*}f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\cap
X_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、上の命題の否定である、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \not\subset f\left( X_{1}\cap
X_{2}\right)
\end{equation*}を満たすような\(X_{1},X_{2}\subset A\)が存在する状況が起こり得るということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとします。このとき、始集合\(\left\{ a,b\right\} \)の部分集合である\(\left\{ a\right\} \)と\(\left\{ b\right\} \)に注目すると、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ a\right\} \right) \cap f\left( \left\{ b\right\} \right)
&=&\left\{ c\right\} \cap \left\{ c\right\} =\left\{ c\right\} \\
f\left( \left\{ a\right\} \cap \left\{ b\right\} \right) &=&f\left( \phi
\right) =\phi
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\left( \left\{ a\right\} \right) \cap f\left( \left\{ b\right\} \right)
\not\subset f\left( \left\{ a\right\} \cap \left\{ b\right\} \right)
\end{equation*}となります。
ちなみに、写像\(f:A\rightarrow B\)が単射と呼ばれる種類の写像である場合には、任意の集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\cap
X_{2}\right)
\end{equation*}もまた成立することが保証されます。先の命題の主張を踏まえると、これは、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) =f\left( X_{1}\right) \cap f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}と必要十分です。単射については場を改めて解説します。
先の命題は、写像の始集合の2つの部分集合に関するものでしたが、始集合の任意個の部分集合についても同様の主張が成り立ちます。
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、先の命題の主張は、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\cap X_{2}\cap \cdots \cap X_{n}\right) \subset f\left(
X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \cap \cdots \cap f\left( X_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}X_{i}\right) \subset
\bigcap\limits_{i=1}^{n}f\left( X_{i}\right)
\end{equation*}となります。
f\left( X_{1}\cap X_{2}\cap \cdots \right) \subset f\left( X_{1}\right) \cap
f\left( X_{2}\right) \cap \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \bigcap\limits_{i=1}^{+\infty }X_{i}\right) \subset
\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty }f\left( X_{i}\right)
\end{equation*}となります。
先の例から明らかであるように、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の部分集合族\(\left\{ X_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right) \subset
f\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。ただし、\(f\)が単射と呼ばれる種類の写像である場合には上の関係もまた成り立つことが保証されます。先の命題の主張を踏まえると、これは、\begin{equation*}f\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right)
=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}と必要十分です。単射については場を改めて解説します。
写像による和集合の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。このとき、これらの和集合の像について以下の関係\begin{equation*}f\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =f\left( X_{1}\right) \cup f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
写像による共通部分の像に関する先の命題とは異なり、和集合の像に関する上の命題では等号が成立することに注意してください。
上の命題は写像の始集合の2つの部分集合に関するものですが、始集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。
=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}である場合、先の命題の主張は、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\cup X_{2}\cup \cdots \cup X_{n}\right) =f\left( X_{1}\right)
\cup f\left( X_{2}\right) \cup \cdots \cup f\left( X_{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}X_{i}\right)
=\bigcup\limits_{i=1}^{n}f\left( X_{i}\right)
\end{equation*}となります。
f\left( X_{1}\cup X_{2}\cup \cdots \right) =f\left( X_{1}\right) \cup
f\left( X_{2}\right) \cup \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \bigcup\limits_{i=1}^{+\infty }X_{i}\right)
=\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty }f\left( X_{i}\right)
\end{equation*}となります。
写像による差集合の像
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。このとき、これらの差集合の像について以下の関係\begin{equation*}f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) \subset f\left(
X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(X_{1}=A\)である場合には、任意の\(X\subset A\)について、\begin{equation*}f\left( A\right) \backslash f\left( X\right) \subset f\left( X^{c}\right)
\end{equation*}となる。
上の命題とは逆に、任意の集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)について以下の関係\begin{equation*}f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \backslash
f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、上の命題の否定である、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \not\subset f\left( X_{1}\right)
\backslash f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}を満たす集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)が存在する事態が起こり得るということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとします。このとき、始集合\(\left\{ a,b\right\} \)の部分集合である\(\left\{ a\right\} \)と\(\left\{ b\right\} \)に注目すると、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ a\right\} \backslash \left\{ b\right\} \right) &=&f\left(
\left\{ a\right\} \right) =\left\{ c\right\} \\
f\left( \left\{ a\right\} \right) \backslash f\left( \left\{ b\right\}
\right) &=&\left\{ c\right\} \backslash \left\{ c\right\} =\phi
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f\left( \left\{ a\right\} \backslash \left\{ b\right\} \right) \not\subset
f\left( \left\{ a\right\} \right) \backslash f\left( \left\{ b\right\}
\right)
\end{equation*}となります。
ちなみに、写像\(f:A\rightarrow B\)が単射と呼ばれる種類の写像である場合には、任意の集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \backslash
f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}もまた成立することが保証されます。先の命題の主張を踏まえると、これは、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) =f\left(
X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}と必要十分です。単射については場を改めて解説します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(X=\mathbb{R} \)の場合の\(f\)の値域と、\(X=\mathbb{Z} \)の場合の\(f\)の値域をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( \left[ 1,2\right] \right) \\
&&\left( b\right) \ f\left( \left( 1,2\right) \right) \\
&&\left( c\right) \ f\left( \left[ -1,1\right] \right) \\
&&\left( d\right) \ f\left( \left( -1,1\right) \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( \left\{ -1,0,1\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ f\left( \left( -2,2\right) \right) \\
&&\left( c\right) \ f\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
4,1\right) ,\left( 5,2\right) \right\}
\end{equation*}と定義されており、写像\(g:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}g=\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,2\right) ,\left( 5,3\right) \right\}
\end{equation*}と定義されています。\(f\)と\(g\)の値域をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の集合\begin{equation*}
X=\left\{ 0,1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}について、\begin{eqnarray*}
f\left( X^{c}\right) &\subset &f\left( X\right) ^{c} \\
f\left( X\right) ^{c} &\subset &f\left( X^{c}\right) \\
f\left( X^{c}\right) &=&f\left( X\right) ^{c}
\end{eqnarray*}はいずれも成立しないことを示してください。
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