写像による像

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写像による要素の像

復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(B\)の要素を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の(image)と呼び、\(f\left( a\right) \)と表記します。

例(写像による要素の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。
図:写像による要素の像
図:写像による要素の像
例(写像による要素の像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているとき、\(f\)による要素\(1\in \mathbb{R} \)の像は、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =1^{2}=1
\end{equation*}です。また、\(f\)による要素\(-1\in \mathbb{R} \)の像は、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =\left( -1\right) ^{2}=1
\end{equation*}です。また、\(f\)による集合\(\frac{1}{2}\subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{equation*}
f\left( \frac{1}{2}\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4}
\end{equation*}です。

写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ f\left(
a\right) =b\right\}
\end{equation*}という\(A\times B\)の部分集合として定義されるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
f\left( a\right) =b\Leftrightarrow \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることと、\(\left( a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

命題(写像による要素の像の特徴づけ)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}
f\left( a\right) =b\Leftrightarrow \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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写像による集合の像・写像の値域

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}
f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}で表し、これを写像\(f\)による集合\(X\)の(image)と呼びます。\(f\left( X\right) \)は写像\(f\)の終集合\(B\)の部分集合です。

写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)は\(A\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(A\)の像\(f\left( A\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域(range)と呼び、\(R\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\}
\end{eqnarray*}です。

例(写像による集合の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =c\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。したがって、\(f\left( \left\{ 1\right\} \right) =\left\{ c\right\} \)や\(f\left( \{1,2\}\right) =\left\{ a,c\right\} \)、\(f\left( \{2,3\}\right) =\left\{ a,b\right\} \)などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は\(R\left( f\right) =f\left( A\right) =f\left( \left\{ 1,2,3\right\} \right) =\left\{ a,b,c\right\} =B\)です。これは値域と終集合が一致する写像の例です。
図:写像による集合の像
図:写像による集合の像
例(写像による集合の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図より、\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)です。したがって、\(f\left( \left\{ 1\right\} \right) =\left\{ b\right\} \)や\(f\left( \{1,2\}\right) =\left\{ a,b\right\} \)、\(f\left( \{2,3\}\right) =\left\{ a,b\right\} \)などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は\(R\left( f\right) =f\left( A\right) =f\left( \left\{ 1,2,3\right\} \right) =\left\{ a,b\right\} \)です。この例が示唆するように、一般に、写像の値域と終集合は一致するとは限りません。
図:写像による集合の像
図:写像による集合の像
例(写像による集合の像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義されているものとします。\(f\)による閉区間\(\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による閉区間\(\left[ -1,2\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ -1,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left\{ 3\right\} \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ 3\right\} \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left\{ 3\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 9\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left(
\mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in
\mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。
例(写像による集合の像)
空集合は任意の部分集合であるため、写像\(f:A\rightarrow B\)による空集合\(\phi \subset A\)の像を考えることもできます。写像による集合の像の定義より、これは、\begin{equation*}
f(\phi )=\{f(a)\in B\ |\ a\in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(a\in \phi \)は恒偽式であるため\(f\left( \phi \right) =\phi \)となります。つまり、写像による空集合の像は空集合です。

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)による集合\(X\subset A\)の像は、\begin{equation*}
f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の要素\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( X\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in X:b=f\left( x\right)
\\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます(演習問題にします)。

命題(写像による集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)と集合\(X\subset A\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( X\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in X:b=f\left( x\right)
\\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。
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上の命題より、写像\(f:A\rightarrow B\)による集合\(X\subset A\)の像\(f\left( X\right) \)を、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:b=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(X=A\)の場合には、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、写像の値域\(R\left( f\right) \)を様々な形で表現できます。

 

写像による要素の像と集合の像の関係

写像\(f:A\rightarrow B\)と始集合の部分集合\(X\subset A\)が与えられたとき、\(x\in X\)を満たす要素\(x\in A\)を任意に選ぶと、\(f\left( X\right) \)の定義より\(f\left( x\right) \in f\left( A\right) \)が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(X\)の要素であるならば、\(f\)による\(x\)の像は\(X\)の像の要素になります。

命題(写像による要素の像と集合の像の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)と集合\(X\subset A\)が与えられたとき、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}
x\in X\Rightarrow f\left( x\right) \in f\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題とは逆に、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) \in f\left( X\right) \Rightarrow x\in X
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、\begin{equation*}
f\left( x\right) \in f\left( X\right) \wedge x\not\in X
\end{equation*}を満たすような\(x\in A\)が存在する状況が起こり得ます。これは以下の例から明らかです。

例(写像による要素の像と集合の像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義します。始集合の部分集合である開区間\(\left( -1,3\right) \subset \mathbb{R} \)に注目すると、その像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left( -1,3\right) \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left( -1,3\right) \right\} \\
&=&[0,9)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\left( -1,3\right) \)の要素ではない実数\(-2\)に注目すると、その像は、\begin{equation*}
f\left( -2\right) =4\in f\left( \left( -1,3\right) \right)
\end{equation*}を満たします。

 

写像による集合の像と包含関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。\(X_{1}\subset X_{2}\)が成り立つ場合には、任意の\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( X_{1}\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in X_{1}:b=f\left(
x\right) \quad \because f\left( X_{1}\right) \text{の定義}
\\
&\Rightarrow &\exists x\in X_{2}:b=f\left( x\right) \quad \because
X_{1}\subset X_{2} \\
&\Leftrightarrow &b\in f\left( X_{2}\right) \quad \because f\left(
X_{2}\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f\left( X_{1}\right) \subset f\left( X_{2}\right) \)です。

命題(写像による集合の像と包含関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
X_{1}\subset X_{2}\Rightarrow f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題とは逆に、任意の\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}
f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right) \Rightarrow X_{1}\subset X_{2}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、\begin{equation*}
f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right) \wedge X_{1}\not\subset X_{2}
\end{equation*}を満たすような\(X_{1},X_{2}\subset A \)が存在する状況が起こり得ます。これは以下の例から明らかです。

例(写像による要素の像と集合の像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義します。始集合の部分集合である閉区間\(\left[ -1,0\right] ,\left[ 0,2\right] \subset \mathbb{R} \)に注目すると、これらの像は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ -1,0\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,0\right] \right\} =\left[ 0,1\right] \\
f\left( \left[ 0,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in
\mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,2\right] \right\} =\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}となるため、\(f\left( \left[ -1,0\right] \right) \subset f\left( \left[ 0,2\right] \right) \)が成り立ちますが、その一方で\(\left[ -1,0\right] \subset \left[ 0,2\right] \)は成り立ちません。

 

写像による共通部分の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。任意の\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in
X_{1}\cap X_{2}:b=f\left( x\right) \quad \because f\left( X_{1}\cap
X_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\left[ \exists x\in X_{1}:b=f\left( x\right) \right] \wedge \left[ \exists x\in X_{2}:b=f\left( x\right) \right] \quad \because \cap
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &b\in f\left( X_{1}\right) \wedge b\in f\left( X_{2}\right)
\quad \because f\left( X_{1}\right) ,f\left( X_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &b\in f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \quad
\because \because \cap \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \)です。

命題(写像による共通部分の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \cap f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題とは逆に、任意の\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\cap
X_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。これは以下の例から明らかです。

例(写像による共通部分の像)
写像\(f:\left\{ a,b\right\} \rightarrow \left\{ c,d\right\} \)が\(f\left( a\right) =f\left( b\right) =c\)を満たすものとします。このとき、始集合の部分集合\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \subset \left\{ a,b\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ a\right\} \right) \cap f\left( \left\{ b\right\} \right)
&=&\left\{ c\right\} \cap \left\{ c\right\} =\left\{ c\right\} \\
f\left( \left\{ a\right\} \cap \left\{ b\right\} \right) &=&f\left( \phi
\right) =\phi
\end{eqnarray*}であるため、\(f\left( \left\{ a\right\} \right) \cap f\left( \left\{ b\right\} \right) \subset f\left( \left\{ a\right\} \cap \left\{ b\right\} \right) \)は成り立ちません。

先の命題は、写像の始集合の2つの部分集合に関するものでしたが、始集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(写像による共通部分の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\(A\)の部分集合族\(\left\{ X_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
f\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) \subset
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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写像による和集合の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。任意の\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( X_{1}\cup X_{2}\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in
X_{1}\cup X_{2}:b=f\left( x\right) \quad \because f\left( A_{1}\cup
A_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists x\in X_{1}:b=f\left( x\right) \right] \vee \left[ \exists x\in X_{2}:b=f\left( x\right) \right] \quad \because \cup
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &b\in f\left( X_{1}\right) \vee b\in f\left( X_{2}\right)
\quad \because f\left( X_{1}\right) ,f\left( X_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &b\in f\left( X_{1}\right) \cup f\left( X_{2}\right) \quad
\because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =f\left( X_{1}\right) \cup f\left( X_{2}\right) \)です。

命題(写像による和集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =f\left( X_{1}\right) \cup f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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写像による共通部分の像に関する先の命題とは異なり、和集合の像に関する上の命題では等号が成立することに注意してください。

上の命題は写像の始集合の2つの部分集合に関するものでしたが、始集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(写像による和集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\(A\)の部分集合族\(\left\{ X_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
f\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right)
=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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写像による差集合の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。任意の\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}
b\in f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) &\Leftrightarrow
&b\in f\left( X_{1}\right) \wedge b\not\in f\left( X_{2}\right) \quad
\because \backslash \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left[ \exists x\in X_{1}:b=f\left( x\right) \right] \wedge \left[ \forall x\in X_{2}:b\not=f\left( x\right) \right] \quad
\because f\left( X_{1}\right) ,f\left( X_{2}\right) \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\exists x\in X_{1}\backslash X_{2}:b=f\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &b\in f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \quad \because
f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。すなわち、\(f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \)です。

命題(写像による差集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) \subset f\left(
X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(X_{1}=A\)である場合には、任意の\(X\subset A\)について、\begin{equation*}
f\left( A\right) \backslash f\left( X\right) \subset f\left( A\backslash
X\right)
\end{equation*}となる。
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上の命題とは逆に、任意の\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}
f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \backslash
f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。これは以下の例から明らかです。

例(写像による差集合の像)
写像\(f:\left\{ a,b\right\} \rightarrow \left\{ c,d\right\} \)が\(f\left( a\right) =f\left( b\right) =c\)を満たすものとします。このとき、始集合の部分集合\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \subset \left\{ a,b\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( \left\{ a\right\} \backslash \left\{ b\right\} \right) &=&f\left(
\left\{ a\right\} \right) =\left\{ c\right\} \\
f\left( \left\{ a\right\} \right) \backslash f\left( \left\{ b\right\}
\right) &=&\left\{ c\right\} \backslash \left\{ c\right\} =\phi
\end{eqnarray*}であるため、\(f\left( \left\{ a\right\} \backslash \left\{ b\right\} \right) \subset f\left( \left\{ a\right\} \right) \backslash f\left( \left\{ b\right\} \right) \)は成り立ちません。

次回は写像による逆像という概念について解説します。
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