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写像による像

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写像による要素の像

復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の要素\(a\in A\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合の要素\(f\left( a\right) \in B\)を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の(image)と呼びます。

例(写像による要素の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の2本の矢印より\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。

図:写像による要素の像
図:写像による要素の像
例(写像による要素の像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&1^{2}=1 \\
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{2}=1 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}などとなります。

写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ f\left(
a\right) =b\right\}
\end{equation*}という\(A\times B\)の部分集合として定義されるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( a\right) =b\Leftrightarrow \left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることと、\(\left( a,b\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

 

写像による集合の像・写像の値域

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(X\)の(image)と呼びます。\(f\left( X\right) \)は\(f\)の終集合\(B\)の部分集合です。

写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)は\(A\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(A\)の像\(f\left( A\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域(range)と呼び、\(R\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \quad \because \text{写像による像の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(写像による集合の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

図:写像による集合の像
図:写像による集合の像

図より\(f\left( 1\right) =c\)かつ\(f\left(2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。したがって、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ 1\right\} \right) &=&\left\{ f\left( 1\right) \right\}
=\left\{ c\right\} \\
f\left( \{1,2\}\right) &=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right)
\right\} =\left\{ a,c\right\} \\
f\left( \{2,3\}\right) &=&\left\{ f\left( 2\right) ,f\left( 3\right)
\right\} =\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&f\left( \left\{ 1,2,3\right\} \right) \\
&=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right) ,f\left( 3\right) \right\} \\
&=&\left\{ a,b,c\right\} \\
&=&B
\end{eqnarray*}となります。これは値域と終集合が一致する写像の例です。

例(写像による集合の像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

図:写像による集合の像
図:写像による集合の像

図より\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)です。したがって、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ 1\right\} \right) &=&\left\{ f\left( 1\right) \right\}
=\left\{ b\right\} \\
f\left( \{1,2\}\right) &=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right)
\right\} =\left\{ a,b\right\} \\
f\left( \{2,3\}\right) &=&\left\{ f\left( 2\right) ,f\left( 3\right)
\right\} =\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&f\left( \left\{ 1,2,3\right\} \right) \\
&=&\left\{ f\left( 1\right) ,f\left( 2\right) ,f\left( 3\right) \right\} \\
&=&\left\{ a,b\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは値域と終集合が一致しない写像の例です。

例(写像による集合の像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による閉区間\(\left[0,1\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による閉区間\(\left[ -1,2\right] \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,2\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}です。また、\(f\)による集合\(\left\{ 3\right\} \subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ 3\right\} \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left\{ 3\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 9\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。
例(写像による集合の像)
空集合は任意の集合の部分集合であるため、写像\(f:A\rightarrow B\)による空集合\(\phi \subset A\)の像を考えることもできます。写像による集合の像の定義より、これは、\begin{equation*}f(\phi )=\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in \phi \right\}
\end{equation*}となりますが、\(a\in \phi \)は恒偽式であるため\(f\left(\phi \right) =\phi \)となります。つまり、写像による空集合の像は空集合です。

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)による始集合の部分集合\(X\subset A\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の要素\(b\in B\)について、\begin{eqnarray*}b\in f\left( X\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in X:b=f\left( x\right)
\quad \because f\left( X\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(X\subset A\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in B\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:b=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists x\in X:\left( x,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(X=A\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( A\right) \\
&=&\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:b=f\left( a\right) \right\} \\
&=&\left\{ b\in B\ |\ \exists a\in A:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

 

写像による要素の像と集合の像の関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X\subset A\)を任意に選んだ上で、その要素\(x\in X\)を任意に選びます。すると、\(f\left( X\right) \)の定義より\(f\left( x\right) \in f\left( X\right) \)が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(X\)の要素であるならば、\(f\)による\(x\)の像は\(f\left( X\right) \)の要素になります。

命題(写像による要素の像と集合の像の関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)と始集合の部分集合\(X\subset A\)が与えられたとき、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}x\in X\Rightarrow f\left( x\right) \in f\left( X\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題とは逆に、写像\(f:A\rightarrow B\)と始集合の部分集合\(X\subset A\)が与えられたとき、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) \in f\left( X\right) \Rightarrow x\in X
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、\begin{equation*}
f\left( x\right) \in f\left( X\right) \wedge x\not\in X
\end{equation*}を満たすような\(x\in A\)が存在する状況が起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(写像による要素の像と集合の像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。始集合の部分集合である開区間\(\left( -1,3\right)\subset \mathbb{R} \)に注目すると、その像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( -1,3\right) \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -1,3\right) \right\} \\
&=&[0,9)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\left( -1,3\right) \)の要素ではない実数\(-2\)に注目すると、その像は、\begin{equation*}f\left( -2\right) =4\in f\left( \left( -1,3\right) \right)
\end{equation*}を満たします。

 

写像による集合の像と包含関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選びます。両者の間に\(X_{1}\subset X_{2}\)が成り立つ場合には、それらの像の間にも、\begin{equation*}f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}という包含関係が成り立ちます。

命題(写像による集合の像と包含関係)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}X_{1}\subset X_{2}\Rightarrow f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題とは逆に、\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right) \Rightarrow X_{1}\subset X_{2}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。つまり、\begin{equation*}
f(X_{1})\subset f\left( X_{2}\right) \wedge X_{1}\not\subset X_{2}
\end{equation*}を満たすような\(X_{1},X_{2}\subset A\)が存在する状況が起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(写像による要素の像と集合の像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。始集合\(\mathbb{R} \)の部分集合である閉区間\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,2\right] \)に注目すると、\(f\)によるこれらの像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,0\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,0\right] \right\} =\left[ 0,1\right] \\
f\left( \left[ 0,2\right] \right) &=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,2\right] \right\} =\left[ 0,4\right] \end{eqnarray*}となるため\(f\left( \left[ -1,0\right] \right)\subset f\left( \left[ 0,2\right] \right) \)が成り立ちます。その一方で、\(\left[ -1,0\right] \subset \left[ 0,2\right] \)は成り立ちません。

 

写像による共通部分の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、これらの共通部分の像について、\begin{equation*}f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \cap f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(写像による共通部分の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( X_{1}\cap X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \cap f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題とは逆に、\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}f\left( X_{1}\right) \cap f\left( X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\cap
X_{2}\right)
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(写像による共通部分の像)
写像\(f:\left\{ a,b\right\} \rightarrow \left\{ c,d\right\} \)が、\begin{equation*}f\left( a\right) =f\left( b\right) =c
\end{equation*}を満たすものとします。このとき、始集合\(\left\{ a,b\right\} \)の部分集合である\(\left\{ a\right\} \)と\(\left\{ b\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ a\right\} \right) \cap f\left( \left\{ b\right\} \right)
&=&\left\{ c\right\} \cap \left\{ c\right\} =\left\{ c\right\} \\
f\left( \left\{ a\right\} \cap \left\{ b\right\} \right) &=&f\left( \phi
\right) =\phi
\end{eqnarray*}となるため、\(f\left( \left\{ a\right\}\right) \cap f\left( \left\{ b\right\} \right) \)は\(f\left( \left\{a\right\} \cap \left\{ b\right\} \right) \)の部分集合ではありません。

先の命題は、写像の始集合の2つの部分集合に関するものでしたが、始集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(写像による共通部分の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の部分集合族\(\left\{ X_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right) \subset
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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写像による和集合の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。このとき、これらの和集合の像について、\begin{equation*}f\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =f\left( X_{1}\right) \cup f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(写像による和集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =f\left( X_{1}\right) \cup f\left(
X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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写像による共通部分の像に関する先の命題とは異なり、和集合の像に関する上の命題では等号が成立します。

上の命題は写像の始集合の2つの部分集合に関するものですが、始集合の部分集合族に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(写像による和集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の部分集合族\(\left\{ X_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\right)
=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }f\left( X_{\lambda }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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写像による差集合の像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)を任意に選びます。このとき、これらの差集合の像について、\begin{equation*}f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) \subset f\left(
X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(写像による差集合の像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(X_{1},X_{2}\subset A\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}f\left( X_{1}\right) \backslash f\left( X_{2}\right) \subset f\left(
X_{1}\backslash X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(X_{1}=A\)である場合には、任意の\(X\subset A\)について、\begin{equation*}f\left( A\right) \backslash f\left( X\right) \subset f\left( X^{c}\right)
\end{equation*}となる。

証明

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上の命題とは逆に、\(X_{1},X_{2}\subset A\)について、\begin{equation*}f\left( X_{1}\backslash X_{2}\right) \subset f\left( X_{1}\right) \backslash
f\left( X_{2}\right)
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(写像による差集合の像)
写像\(f:\left\{ a,b\right\} \rightarrow \left\{ c,d\right\} \)が、\begin{equation*}f\left( a\right) =f\left( b\right) =c
\end{equation*}を満たすものとします。このとき、始集合\(\left\{ a,b\right\} \)の部分集合である\(\left\{ a\right\} \)と\(\left\{ b\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ a\right\} \backslash \left\{ b\right\} \right) &=&f\left(
\left\{ a\right\} \right) =\left\{ c\right\} \\
f\left( \left\{ a\right\} \right) \backslash f\left( \left\{ b\right\}
\right) &=&\left\{ c\right\} \backslash \left\{ c\right\} =\phi
\end{eqnarray*}であるため、\(f\left( \left\{ a\right\}\backslash \left\{ b\right\} \right) \)は\(f\left( \left\{ a\right\}\right) \backslash f\left( \left\{ b\right\} \right) \)の部分集合ではありません。

 

演習問題

問題(写像による像)
写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(X=\mathbb{R} \)の場合の\(f\)の値域と、\(X=\mathbb{Z} \)の場合の\(f\)の値域をそれぞれ求めてください。
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問題(写像による像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( \left[ 1,2\right] \right) \\
&&\left( b\right) \ f\left( \left( 1,2\right) \right) \\
&&\left( c\right) \ f\left( \left[ -1,1\right] \right) \\
&&\left( d\right) \ f\left( \left( -1,1\right) \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(写像による像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+1
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( \left\{ -1,0,1\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ f\left( \left( -2,2\right) \right) \\
&&\left( c\right) \ f\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(写像による像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4,5\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}f=\left\{ \left( 1,3\right) ,\left( 2,5\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 5,2\right) \right\}
\end{equation*}と定義されており、写像\(g:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}g=\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,2\right) ,\left( 5,3\right) \right\}
\end{equation*}と定義されています。\(f\)と\(g\)の値域をそれぞれ求めてください。
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次回は写像による逆像という概念について解説します。

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