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合成写像

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合成写像

集合\(A,B,C\)に加えて2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。写像\(f\)の終集合と写像\(g\)の始集合が同一の集合\(B\)であることに注意してください。

写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合のそれぞれの要素\(a\in A\)に対して像\begin{equation*}f\left( a\right) \in B
\end{equation*}を定めますが、この像\(f\left( a\right) \)が属する集合\(B\)はもう一方の写像\(g:B\rightarrow C\)の定義域であるため、写像\(g\)はこの要素\(f\left( a\right) \in B\)に対して像\begin{equation*}g\left( f\left( a\right) \right) \in C
\end{equation*}を定めます。

このような事情を踏まると、先のような2つの写像\(f,g\)が与えられた場合には、写像\(f\)の始集合のそれぞれの要素\(a\in A\)に対して、写像\(g\)の終集合の要素\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =g\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}を像として定める\(A\)から\(C\)への写像\begin{equation*}g\circ f:A\rightarrow C
\end{equation*}が定義可能です。このような写像を\(f\)と\(g\)の合成写像(composite mapping)と呼びます。

例(合成写像)
入り口を集めることにより得られる集合\(A\)と、中継地を集めることにより得られる集合\(B\)と、出口を集めることにより集合\(C\)が与えられているものとします。それぞれの入り口\(a\in A\)に対して、その入り口を選んだ場合に到達する中継地\(f\left( a\right) \in B\)が1つずつだけ存在するのであれば、\begin{equation*}f:A\rightarrow B
\end{equation*}は写像になります。また、それぞれの中継地\(b\in B\)に対して、その中継地\(b\in B\)を選んだ場合に到達する出口\(g\left( b\right) \in C\)が1つずつだけ存在するのであれば、\begin{equation*}g:B\rightarrow C
\end{equation*}は写像になります。\(f\)の終集合と\(g\)の始集合は同一の集合\(B\)であるため合成写像\begin{equation*}\left( g\circ f\right) :A\rightarrow C
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの入り口\(a\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) &=&g\left( f\left( a\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&g\left( \text{入り口}a\text{を選んだ場合に到達する中継地}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\text{入り口}a\text{を選んだ場合に到達する出口}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(合成写像)
すべての日本国民からなる集合を\(A\)で、すべての年齢からなる集合を\(B\)で、すべての年齢区分からなる集合を\(C\)でそれぞれ表します。より正確には、\begin{eqnarray*}B &=&\left\{ 0,1,2,3,\cdots \right\} \\
C &=&\left\{ \text{年少人口(}0\text{〜}14\text{歳)},\text{生産年齢人口(}15\text{〜}64\text{歳)},\text{老年人口(}65\text{歳〜)}\right\}
\end{eqnarray*}です。写像\(f:A\rightarrow B\)はそれぞれの日本国民\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a\text{の年齢}
\end{equation*}を定めるものとします。また、写像\(g:B\rightarrow C\)はそれぞれの年齢\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}f\left( b\right) =b\text{が属する年齢区分}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)の終集合と\(g\)の始集合は同一の集合\(B\)であるため合成写像\begin{equation*}\left( g\circ f\right) :A\rightarrow C
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの日本国民\(a\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) &=&g\left( f\left( a\right) \right)
\quad \because \text{合成写像} \\
&=&g\left( a\text{の年齢}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&a\text{の年齢が属する年齢区分 }\quad \because g\text{の定義} \\
&=&a\text{が属する年齢区分}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(合成写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+1
\end{equation*}を定めるものとします。また、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の終集合と\(g\)の始集合は同一の集合\(\mathbb{R} \)であるため合成写像\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&g\left( x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x+1\right) ^{2}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

始集合と終集合が同一の集合であるような写像\(f:A\rightarrow A\)については、2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&A\rightarrow A \\
f &:&A\rightarrow A
\end{eqnarray*}の合成写像\(f\circ f:A\rightarrow A\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ f\right) \left( a\right) =f\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}を定めます。

例(合成写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。この写像\(f\)の始集合と終集合は同一の集合\(\mathbb{R} \)であるため合成写像\(f\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ f\right) \left( x\right) &=&f\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&f\left( x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x^{2}\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&x^{4}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

写像どうしは合成できるとは限らない

2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C
\end{eqnarray*}が与えられた場合、\(f\)の終集合と\(g\)の始集合は同一の集合\(B\)であるため合成写像\begin{equation*}g\circ f:A\rightarrow C
\end{equation*}は常に定義可能である一方、\(g\)の終集合\(C\)と\(f\)の始集合\(A\)は一致するとは限らないため合成写像\begin{equation*}f\circ g:B\rightarrow B
\end{equation*}は定義可能であるとは限りません。

例(合成写像)
写像\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定める一方で、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の終集合は\(g\)の始集合の部分集合であるため合成写像\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&g\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、合成写像\begin{equation*}
f\circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は定義可能ではありません。実際、点\(0\)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) \left( 0\right) &=&f\left( g\left( 0\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&f\left( 0^{2}\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&f\left( 0\right) \\
&=&\frac{1}{0}\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、実数を\(0\)で割ることはできないため\(\left( f\circ g\right) \left( 0\right) \)は定義不可能だからです。

 

写像の合成は交換律を満たさない

始集合と終集合が同一の集合であるような2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow A \\
g &:&A\rightarrow A
\end{eqnarray*}が与えられた場合、2つの合成写像\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) &:&A\rightarrow A \\
\left( f\circ g\right) &:&A\rightarrow A
\end{eqnarray*}がともに定義可能ですが、これらは異なる写像です。つまり、合成写像\(\left( g\circ f\right) \)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =g\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}である一方、もう一方の合成写像\(\left( f\circ g\right) \)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( a\right) =f\left( g\left( a\right) \right)
\end{equation*}です。したがって、2つの写像\(f,g\)を合成する際には順番に注意する必要があります。

例(合成写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sin x
\end{equation*}を像として定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの要素\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) (x) &=&g\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sin \left( x^{2}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}である一方、合成写像\(f\circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの要素\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) (x) &=&f\left( g\left( x\right) \right) \quad
\because f\circ g\text{の定義} \\
&=&f\left( \sin x\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( \sin x\right) ^{2}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

 

写像の合成は結合律を満たす

集合\(A,B,C,D\)に加えて3つの写像\begin{eqnarray*}f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C \\
h &:&C\rightarrow D
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。

写像\(f\)の終集合と写像\(g\)の始集合はともに\(B\)であるため、\(f\)と\(g\)の合成関数\begin{equation*}g\circ f:A\rightarrow C
\end{equation*}が定義可能です。得られた合成写像\(g\circ f\)の終集合と残された写像\(h\)の始集合はともに\(C\)であるため、\(g\circ f\)と\(h\)の合成関数\begin{equation}h\circ \left( g\circ f\right) :A\rightarrow D \quad \cdots (1)
\end{equation}が定義可能です。

写像\(g\)の終集合と写像\(h\)の始集合はともに\(C\)であるため、\(g\)と\(h\)の合成写像\begin{equation*}h\circ g:B\rightarrow D
\end{equation*}が定義可能です。残された写像\(f\)の終集合と合成写像\(h\circ g\)の定義域はともに\(B\)であるため、\(f\)と\(h\circ g\)の合成写像\begin{equation}\left( h\circ g\right) \circ f:A\rightarrow D \quad \cdots (2)
\end{equation}が定義可能です。

つまり、3つの写像\(f,g,h\)を合成する場合、隣り合うどの2つの写像を最初に合成するかに応じて、最終的に\(\left( 1\right) \)または\(\left( 2\right) \)が得られます。実は、\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は写像として等しくなることが保証されます。つまり、任意の\(a\in A\)について、\begin{equation*}\left( h\circ \left( g\circ f\right) \right) \left( a\right) =\left( \left(
h\circ g\right) \circ f\right) \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。写像の合成に関する以上の性質を結合律(associative law)と呼びます。

命題(写像の合成に関する結合律)
集合\(A,B,C,D\)に加えて3つの写像\begin{eqnarray*}f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C \\
h &:&C\rightarrow D
\end{eqnarray*}が任意に与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}
h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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合成可能な3つの写像\(f,g,h\)が与えられたとき、写像の合成\(\circ \)の結合律より、\begin{equation*}h\circ \left( g\circ f\right) =\left( h\circ g\right) \circ f
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(h\circ \left( g\circ f\right) \)と\(\left( h\circ g\right) \circ f\)は写像として等しいため両者を区別する必要はなく、これらをまとめて、\begin{equation*}h\circ g\circ f
\end{equation*}と表記できるものと定めます。

例(写像の合成に関する結合律)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\cos x
\end{equation*}を像として定め、写像\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を像として定めるとき、合成写像\(h\circ g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) (x) &=&h\left( g\left( f\left( x\right)
\right) \right) \quad \because h\circ g\circ f\text{の定義}
\\
&=&h\left( g\left( 2x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&h\left( \cos 2x\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left[ \cos 2x\right] ^{3}\quad \because h\text{の定義}
\end{eqnarray*}を像として定めます。

集合\(A,B,C,D\)に加えて4つの写像\begin{eqnarray*}f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow C \\
h &:&C\rightarrow D \\
i &:&D\rightarrow E
\end{eqnarray*}が与えられたとき、写像の合成\(\circ \)に関する結合律を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}\left( \left( i\circ h\right) \circ g\right) \circ f &=&\left( i\circ \left(
h\circ g\right) \right) \circ f\quad \because \text{結合律}
\\
&=&i\circ \left( \left( h\circ g\right) \circ f\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&i\circ \left( h\circ \left( g\circ f\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、合成可能な4つの写像\(f,g,h,i\)を合成する場合、\(f,g,h,i\)の間にある3個の\(\circ \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる合成写像は写像として等しくなることが保証されるため、これら4つの合成写像を区別せずに、\begin{equation*}i\circ h\circ g\circ f
\end{equation*}で表記します。

任意の有限個の写像の合成についても同様の議論が成立します。つまり、合成可能な有限\(n\)個の写像\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)の間にある\(n-1\)個の\(\circ \)の中のどれを最初に作用させる場合でも、最終的に得られる合成写像は写像として等しくなることが保証されるため、それらの合成写像を区別せずに、\begin{equation*}f_{1}\circ \cdots \circ f_{n}
\end{equation*}で表記します。

問題(結合律の一般化)
合成可能な有限\(n\)個の写像\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)を任意に選んだ上で、これらの相対的な順番を変えないまま合成するとき、合成させる順番とは関係なく最終的に得られる合成写像はいずれも写像として等しい。
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演習問題

問題(恒等写像との合成)
始集合と終集合が同一の集合であるような写像\(I_{A}:A\rightarrow A\)が恒等写像であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A:I_{A}\left( a\right) =a
\end{equation*}を満たすことを意味します。つまり、恒等写像とは入力した要素をそのまま出力する写像です。以上を踏まえた上で、写像\begin{equation*}
f:A\rightarrow B
\end{equation*}を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\circ I_{A}=f \\
&&\left( b\right) \ I_{B}\circ f=f
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを示してください。つまり、任意の写像を恒等写像と合成しても、得られる写像はもとの写像に等しいということです。

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問題(合成写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4,5\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}f=\left\{ \left( 1,3\right) ,\left( 2,5\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,1\right) ,\left( 5,2\right) \right\}
\end{equation*}と定義されており、写像\(g:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}g=\left\{ \left( 1,4\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 3,1\right) ,\left(
4,2\right) ,\left( 5,3\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。合成写像\begin{eqnarray*}
g\circ f &:&A\rightarrow A \\
f\circ g &:&A\rightarrow A
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(合成写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{2}-2
\end{equation*}を定めるものとします。合成写像\begin{eqnarray*}
g\circ f &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
f\circ g &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(合成写像)
写像\(f:A\rightarrow A\)は定数写像であるものとします。つまり、ある\(a_{0}\in A\)が存在して、\begin{equation*}\forall a\in A:f\left( a\right) =a_{0}
\end{equation*}が成り立つということです。写像\(g:A\rightarrow A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\circ g=f
\end{equation*}が成り立つことを示してください。また、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow A\)もまた定数写像であることを示してください。
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問題(合成写像の定義域)
写像\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{4}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{4}{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2}{3x-4}
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{5}{4}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{5}{4}\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{3}{4x-5}
\end{equation*}を定めるものとします。合成写像\(f\circ g\)とその定義域を特定してください。
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問題(合成写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+2x
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x^{2}-x
\end{equation*}を定めるものとします。合成写像\begin{eqnarray*}
&&f\circ g \\
&&g\circ f \\
&&f\circ f \\
&&g\circ g
\end{eqnarray*}をそれぞれ特定してください。

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問題(合成写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+1
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成写像\begin{eqnarray*}
&&f\circ g\circ f \\
&&g\circ f\circ g
\end{eqnarray*}をそれぞれ特定してください。

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問題(合成写像と方程式)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{2}+1
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =1-x
\end{equation*}を定めるものとします。以下の方程式\begin{equation*}
\left( f\circ g\right) \left( x\right) +\left( g\circ f\right) \left(
x\right) +5=0
\end{equation*}の解を求めてください。

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