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全単射

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全単射

写像\(f:A\rightarrow B\)が単射かつ全射である場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime
}\Rightarrow f\left( a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall b\in B,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(f\)を\(A\)から\(B\)への全単射(bijection)と呼びます。

全単射\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、\(f\)が全射であることから、これに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす定義域の要素\(a\in A\)が必ず存在します。ここで、\(a\)とは異なる\(A\)の要素\(a^{\prime }\)についても\(b=f\left( a^{\prime}\right) \)が成り立つものと仮定します。すると\(f\left( a\right) =f\left( a^{\prime }\right) \)となりますが、\(f\)が単射であることから\(a=a^{\prime }\)となり矛盾です。したがって、\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\)は一意的であること、すなわち\(f\)による\(b\)の逆像\(f^{-1}\left( b\right) \)は1つの要素を持つ集合であることが明らかになりました。つまり、\(f\)が全単射である場合には、\begin{equation*}\forall b\in B,\ \exists a\in A:f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つということです。逆に上の条件が成り立つとき場合には\(f\)は全単射です。したがって写像が全単射であることを以下のように表現できます。

命題(全単射の特徴づけ)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、それぞれの\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が1つずつ存在することは、すなわち、\begin{equation*}\forall b\in B,\ \exists a\in A:f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が全単射であるための必要十分条件である。
証明

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例(全単射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の2本の矢印より\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。\(B\)のすべての要素に対して矢印が1本ずつ伸びているため\(f\)は全単射です。
図:全単射
図:全単射
例(全単射ではない写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =f\left( 2\right) =b\)かつ\(f\left( 3\right) =c\)です。\(b\)に対して複数の矢印が伸びているため\(f\)は全単射ではありません(単射ではない)。
図:全単射ではない
図:全単射ではない
例(全単射ではない写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c,d\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =c\)です。\(d\)に対して伸びている矢印が存在しないため\(f\)は全単射ではありません(全射ではない)。
図:全単射ではない
図:全単射ではない
例(全単射ではない写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right)=f\left( 3\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)です。\(b\)に対して複数の矢印が伸びており、なおかつ\(c\)に対して伸びている矢印も存在しないため\(f\)は全単射ではありません(単射および全射のどちらでもない)。
図:全単射ではない
図:全単射ではない
例(全単射)
写像\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{R} _{++}\)はすべての正の実数からなる集合です。\(f\)の終集合の要素である正の実数\(y\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、その逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ y=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \sqrt{y}\right\}
\end{eqnarray*}となり、これは1点集合であるため\(f\)は全単射です。
例(全単射ではない)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先の例とは異なり定義域が\(\mathbb{R} _{++}\)ではなく\(\mathbb{R} \)であることに注意してください。例えば、終集合の要素\(4\in \mathbb{R} _{++}\)に注目すると、その逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 4\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 4=x^{2}\right\} \\
&=&\left\{ 2,-2\right\}
\end{eqnarray*}となり、これは1点集合ではないため\(f\)は全単射ではありません。
例(包含写像)
写像\(f:A\rightarrow B\)は包含写像であるものとします。つまり、定義域と終集合の間に\(A\subset B\)という関係が成り立つとともに、\(f\)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める像が、\begin{equation*}f\left( a\right) =a
\end{equation*}であるということです。包含写像は単射である一方で全射でないため、全単射ではありません。
例(恒等写像)
写像\(f:A\rightarrow A\)が恒等写像であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(a\in A\)に対して定める像が、\begin{equation*}f\left( a\right) =a
\end{equation*}であるということです。恒等写像は単射かつ全射であるため、全単射です。
例(単射から生成される全単射)
写像\(f:A\rightarrow B\)が任意に与えられたとき、その終集合を値域へ制限して\(f:A\rightarrow f\left( A\right) \)とすれば全射になります。したがって、単射\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その終集合を値域へ制限して\(f:A\rightarrow f\left(A\right) \)とすれば\(f\)は全単射になります。つまり、単射から全単射を常に生成することができます。

 

全単射のもとでの像と逆像の関係

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}b=f\left( a\right) \Leftrightarrow a\in f^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(f\)による\(b\)の逆像であり、これは\(A\)の部分集合です。上の命題では\(a\)を\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素としていますが、これを少し限定して、\(a\)を\(f^{-1}\left( y\right) \)の唯一の要素とした命題も成り立つでしょうか。つまり、順序対\(\left(a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}b=f\left( a\right) \Leftrightarrow f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\}
\end{equation*}という関係は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、これは成り立つとは限りません。

例(像と逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。順序対\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}すなわち\(f^{-1}\left( 1\right) \not=\{1\}\)が成り立ちます。他方で\(f\left( 1\right) =1\)であるため、これは先の関係が成り立たないことを示す反例になっています。

一方、写像\(f:A\rightarrow B\)が全単射である場合には、任意の順序対\(\left( a,b\right)\in A\times B\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow f\left( a\right) =b
\end{equation*}という関係もまた常に成り立ちます。

命題(全単射による像と逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が全単射であるならば、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}b=f\left( a\right) \Leftrightarrow f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\}
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(f^{-1}\left( a\right) \)は\(f\)による\(b\)の逆像である。
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全単射と合成写像

2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( a\right) =g\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}を像として定める合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が定義可能です。写像\(f,g\)がともに全単射である場合、\(f,g\)はともに全射かつ単射です。全射どうしの合成は全射であり、単射どうしの合成は単射であるため、それらの合成写像\(g\circ f\)もまた全単射になることが保証されます。

命題(全単射の合成は全単射)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、これらがともに全単射であるならば、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)もまた全単射である。

逆に、合成写像\(g\circ f\)が全単射であるとき、それを構成する写像\(f,g\)もまた全単射であることを保証できるのでしょうか。この場合、\(g\circ f\)は単射かつ全射ですが、\(g\circ f\)が単射である場合には\(f\)は単射であり、\(g\circ f\)が全射である場合には\(g\)は全射であるため、\(f\)が単射で\(g\)が全射であることは保証されます。

命題(全単射である合成写像を構成する単射と全射)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が全単射であるならば、\(f\)は単射であり、\(g\)は全射である。

合成写像\(g\circ f\)が全単射である場合には\(f\)が単射で\(g\)が全射であることが明らかになりましたが、\(f\)や\(g\)は全単射であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(全単射である合成写像を構成する非全単射)
集合\(A,B,C\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。写像\(f:A\rightarrow B\)は、\begin{eqnarray*}f\left( a_{1}\right) &=&b_{1} \\
f\left( a_{2}\right) &=&b_{2}
\end{eqnarray*}を満たし、写像\(g:B\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}g\left( b_{1}\right) &=&c_{1} \\
g\left( b_{2}\right) &=&c_{2} \\
g\left( b_{3}\right) &=&c_{2}
\end{eqnarray*}を満たすとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( a_{1}\right) &=&g\left( f\left( a_{1}\right)
\right) =g\left( b_{1}\right) =c_{1} \\
\left( g\circ f\right) \left( a_{2}\right) &=&g\left( f\left( a_{2}\right)
\right) =g\left( b_{2}\right) =c_{2}
\end{eqnarray*}を満たします。\(g\circ f\)は全単射です。また、\(f\)は単射ですが全射ではなく、\(g\)は全射ですが単射ではありません。
例(全単射である合成写像を構成する単射と全射)
2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:B\rightarrow C\)が任意に与えられたとき、合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)について、\begin{equation*}g\circ f=I_{A}
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし\(I_{A}:A\rightarrow A\)は恒等写像です。恒等写像は全単射であることと上の命題を踏まえると、このとき\(f\)は単射で\(g\)は全射になることが保証されます。実際、上の条件が成り立つ場合には\(g\)は\(f\)の左逆写像であるため\(f\)が単射になり、\(f\)は\(g\)の右逆写像であるため\(g\)は全射になります。以上の結果はお互いに整合的です。

 

演習問題

問題(全単射)
写像\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 1,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-1\right) ^{2}
\end{equation*}を定めます。この\(f\)は全単射ですか。議論してください。
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問題(全単射)
\(a<b\)かつ\(c<d\)を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{d-c}{b-a}\left( x-a\right) +c
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \left[ c,d\right] \)を定義します。この\(f\)が全単射であることを示してください。
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問題(全単射)
写像\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{1-\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射ですか。議論してください。
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次回は写像が全単射であることと、写像に対して逆写像が存在することが必要十分であることなど、全単射と逆写像の関係について解説します。

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全単射と逆写像

写像が全単射であることと、その写像の逆写像が存在することは必要十分です。また、逆写像が存在するとき、それは左逆写像や右写像と一致します。

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