単射・全射・全単射

定義域の異なる要素に対して異なる像を定める写像を単射を呼びます。終集合のそれぞれの要素が定義域の要素の像になるような写像を全射と呼びます。単射かつ全射であるような写像を全単射と呼びます。
< 前のページ

単射

写像\(f:A\rightarrow B\)の定義域に属する異なる要素\(a,a^{\prime }\in A\)を任意に選んだとき、\(f\)によるそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \)もまた異なることが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}
\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\Rightarrow f\left(
a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を\(A\)から\(B\)への単射(injection)や1対1の写像(one-to-one-mapping)などと呼びます。上の定義を、\begin{equation*}
\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ f\left( a\right) =f\left( a^{\prime
}\right) \Rightarrow a=a^{\prime }\right] \end{equation*}と言い換えることもできます。

逆に、写像\(f:A\rightarrow B\)が単射でないこととは、上の定義の否定である、\begin{equation*}
\exists a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\wedge f\left( a\right)
=f\left( a^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の定義域に属する異なる要素の中に、\(f\)によるそれらの像が等しいものが存在するということです。

例(単射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。\(A\)のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める像は異なるため、この\(f\)は単射です。
図:単射
図:単射
例(単射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)と\(3\)の両方から\(b\)へ矢印が伸びています。つまり、\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)であるため、この\(f\)は単射ではありません。
図:単射ではない
図:単射ではない
例(単射)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x+5
\end{equation*}を像として定めるものとします。定義域の要素\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) =g\left( x^{\prime }\right) &\Leftrightarrow
&x+5=x^{\prime }+5\quad \because g\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x=x^{\prime }
\end{eqnarray*}が成り立つため、この\(f\)は単射です。
例(単射)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。定義域の異なる要素\(2,-2\)に注目すると、\begin{equation*}
f\left( 2\right) =f\left( -2\right) =4
\end{equation*}が成り立つため、この\(f\)は単射ではありません。
例(単射)
写像\(f:A\rightarrow B\)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\subset B \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =a
\end{eqnarray*}をともに満たす場合、これを包含写像(inclusion mapping)と呼びます。定義域の要素\(a\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( a\right) \)より、この\(a\)は終集合\(B\)の要素でもあります。さらに\(\left( b\right) \)より、\(f\)による\(a\)の像は\(a\)自身と一致します。包含写像の定義より、\(a\not=a^{\prime }\)を満たす任意の\(a,a^{\prime }\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( a\right) &=&a\quad \because \left( b\right) \\
&\not=&a^{\prime }\quad \because a\not=a^{\prime } \\
&=&f\left( a^{\prime }\right) \quad \because \left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、包含写像\(f\)は単射です。

 

全射

写像\(f:A\rightarrow B\)の終集合の要素\(b\in B\)を任意に選んだとき、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす定義域の要素\(a\in A\)が存在することを保証できる場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall b\in B,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を\(X\)から\(Y\)への全射(surjection)や\(X\)から\(Y\)の上への写像(onto-mapping)などと呼びます。

逆に、写像\(f:A\rightarrow B\)が全射でないこととは、上の定義の否定である、\begin{equation*}
\exists b\in B,\ \forall a\in A:b\not=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の終集合の要素の中に、\(f\)の定義域のいかなる要素の像でないものが存在するということです。

例(全射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。\(B\)のすべての要素に対して\(A\)の要素から矢印が伸びているため、この\(f\)は全射です。
図:全射
図:全射
例(全射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(b\)へ伸びている矢印が存在しないため、この\(f\)は全射ではありません。
図:全射ではない
図:全射ではない
例(全射)
写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E_{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めるものとします。ただし、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合、\(E_{++}\)はすべての正の偶数からなる集合です。正の偶数\(y\)を任意に選ぶと、それは自然数\(x\)を用いて\(y=2x\)という形で表すことができますが、\(f\)の定義より、これは\(f\left( x\right) =y\)であることを意味します。したがって、\begin{equation*}
\forall y\in E_{++},\ \exists x\in \mathbb{N} :y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)が全射であることが示されました。
例(全射)
上の例の写像\(f:\mathbb{N} \rightarrow E_{++}\)の終集合を\(E_{++}\)から\(\mathbb{N} \)に縮小して\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)とすると、これはもはや全射ではありません。実際、例えば、終集合の要素\(3\in \mathbb{N} \)に対しては、\(3=2x\)すなわち\(3=f\left( x\right) \)を満たす自然数\(x\)は存在しません。つまり、\begin{equation*}
\exists 3\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{N} :3\not=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、この新たな\(f\)は全射ではありません。
例(全射)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =1
\end{equation*}を像として定めるものとします。定義域の任意の要素\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\left( x\right) =1\)であるため、例えば、終集合の要素\(2\in \mathbb{R} \)に対して\(f\left( x\right) =2\)を満たす始集合の要素\(x\in \mathbb{R} \)は存在しません。つまり、\begin{equation*}
\exists 2\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :2\not=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、この\(f\)は全射ではありません。
例(全射)
繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が包含写像であるとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\subset B \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =a
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。先に示したように包含写像は単射です。一方、包含写像は全射であるとは限りません。実際、\(A\)が\(B\)の真部分集合であるとき、\(b\not\in A\)を満たす\(B\)の要素\(b\)が存在するとともに、\(f\)の定義より、\(f\left( a\right) =b\)を満たす\(a\in A\)は存在しません。
例(全射)
包含写像\(f:A\rightarrow B\)が\(A=B\)を満たすとき、これを恒等写像(identity mapping)と呼びます。つまり、恒等写像とは、\begin{equation*}
\forall a\in A:f\left( a\right) =a
\end{equation*}を満たす写像\(f:A\rightarrow A\)のことです。包含写像は単射であるため、恒等写像もまた単射です。一方、包含写像は全射であるとは限らない一方、恒等写像は常に全射です。実際、恒等写像\(f\)の定義より、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists a\in A:f\left( a\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、この\(f\)が全射であるか否かを問わず、終集合を\(B\)から\(R\left( f\right) \)に制限して\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)とすれば、これは必ず全射になります。実際、写像の値域は、\begin{equation*}
R\left( f\right) =\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、\(b\in R\left( f\right) \)を任意に選ぶと、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が必ず存在します。つまり、\begin{equation*}
\forall b\in R\left( f\right) ,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は全射です。

命題(写像から生成される全射)
写像\(f:A\rightarrow B\)が任意に与えられたとき、\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)は全射である。ただし、\(R\left( f\right) \)は\(f\)の値域である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)と定義域\(D\left( f\right) \)は常に一致する一方で、終集合\(B\)と値域\(R\left( f\right) \)は一致するとは限りません。しかし、写像\(f\)が全射の場合には、その終集合と値域もまた常に一致します。実際、任意の\(b\in B\)に対して、\begin{eqnarray*}
b\in R\left( f\right) &\Leftrightarrow &\exists a\in A:b=f\left( a\right)
\quad \because R\left( f\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &b\in B\quad \because \text{全射の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(R\left( f\right) =B\)が成り立ちます。

命題(全射の終集合と値域は一致する)
写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であるならば、\begin{equation*}
R\left( f\right) =B
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(R\left( f\right) \)は\(f\)の値域である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

全単射

写像\(f:A\rightarrow B\)が単射かつ全射であるとき、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime
}\Rightarrow f\left( a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall b\in B,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には\(f\)を\(A\)から\(B\)への全単射(bijection)と呼びます。

全単射\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、終集合の要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、\(f\)が全射であることから、これに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす定義域の要素\(a\in A\)が必ず存在します。ここで、\(a\)とは異なる\(A\)の要素\(a^{\prime }\)についても\(b=f\left( a^{\prime }\right) \)が成り立つものと仮定します。すると\(f\left( a\right) =f\left( a^{\prime }\right) \)となりますが、\(f\)が単射であることから\(a=a^{\prime }\)となり矛盾です。したがって、\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\)は一意的です。逆に、それぞれの\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が一意的に定まるとき、\(f\)は全単射になります(演習問題にします)。以上を踏まえると、写像が全単射であることを以下のように表現できます。

命題(全単射の特徴づけ)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、それぞれの\(b\in B\)に対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(a\in A\)が1つずつ存在することは、\(f\)が全単射であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(全単射)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。
図:全単射
図:全単射

先に確認したように、この写像\(f\)は単射かつ全射であるため、全単射です。実際、\(B\)のすべての要素に対して\(A\)の要素から矢印が伸びているとともに、\(B\)のそれぞれの要素に対して伸びている矢印は1本ずつであるため、やはり\(f\)は全単射です。

例(全単射)
写像\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。ただし、\(\mathbb{R} _{++}\)はすべての正の実数からなる集合です。\(f\)の終集合の要素である正の実数\(y\)を任意に選ぶと、それに対して\(y=x^{2}\)すなわち\(y=f\left( x\right)\)を満たす正の実数\(x\)は1つずつ存在するため、\(f\)は全単射です。
例(全単射)
上の例の写像\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)から\(\mathbb{R} \)へ拡大して\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{++}\)とすると、これは全単射ではありません。実際、\(f\)の終集合の要素である正の実数\(4\)を選ぶと、それに対して\(4=x^{2}\)すなわち\(4=f\left( x\right) \)を満たす実数\(x\)は\(2\)と\(-2\)の二通り存在します。
例(全単射)
繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow A\)が恒等写像であることとは、\begin{equation*}
\forall a\in A:f\left( a\right) =a
\end{equation*}を満たすことを意味します。先に示したように恒等写像は単射かつ全射であるため、これは全単射です。

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その終集合を\(B\)から\(R\left( f\right) \)に制限して\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)とすれば、これは必ず全射になります。単射もまた写像であるため、単射の終集合を値域に制限すれば全射になるため、それは全単射になります。つまり、単射から全単射を生成することができます。

命題(単射から生成される全単射)
単射\(f:A\rightarrow B\)が任意に与えられたとき、\(f:A\rightarrow R\left( f\right) \)は全単射である。ただし、\(R\left( f\right) \)は\(f\)の値域である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}
a\in f^{-1}\left( b\right) \Leftrightarrow f\left( a\right) =b
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(f^{-1}\left( b\right) \)は\(f\)による\(b\)の逆像であり、これは\(A\)の部分集合です。上の命題では\(a\)を\(f^{-1}\left( b\right) \)の要素としていますが、これを少し限定して、\(a\)が\(f^{-1}\left( y\right) \)の唯一の要素であるとしても命題は成り立つでしょうか。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow f\left( a\right) =b
\end{equation*}という関係は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、これは成り立つとは限りません。

例(像と逆像の関係)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。順序対\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1=x^{2}\right\} =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}すなわち\(f^{-1}\left( 1\right) \not=\{1\}\)が成り立ちます。他方で\(f\left( 1\right) =1\)であるため、これは先の関係が成り立たないことを示す反例になっています。

一方、写像\(f:A\rightarrow B\)が全単射である場合には、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow f\left( a\right) =b
\end{equation*}という関係もまた常に成り立ちます。

命題(全単射による像と逆像)
写像\(f:A\rightarrow B\)が全単射であるならば、任意の順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)に対して、\begin{equation*}
f^{-1}\left( b\right) =\left\{ a\right\} \Leftrightarrow f\left( a\right) =b
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

次回は写像が単射、全射、全単射であるための条件や、それに関連して左逆写像や右逆写像などの概念について解説します。

次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
< 前のページ

プレミアム会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)へのアクセスが可能に。
会員サービス
ログイン

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

アカウント
ログイン