実ベクトル空間上の線形写像が全単射であることの判定

線形写像が全単射であることの判定

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。ただし、写像\(f\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が全射であることとは、終集合上に存在するベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、それに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす定義域上のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall y\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists x\in \mathbb{R} ^{n}:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(f\)が線形写像である場合、それが全射であることを様々な形で表現できることを明らかにしました。結果だけを簡単に復習します。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が単射であることとは、定義域上に存在する異なるベクトル\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)がそれらに対してベクトル\(f\left( x\right) ,f\left( x^{\prime}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)もまた異なることが保証されること、すなわち、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ x\not=x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right) \not=f\left(
x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。対偶をとると、上の定義を、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \Rightarrow
x=x^{\prime }\right] \end{equation*}と言い換えることもできます。ただし、\(f\)が線形写像である場合、それが単射であることを様々な形で表現できることを明らかにしました。結果だけを簡単に復習します。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が全単射であることは、\(f\)が全射かつ単射であることを意味するため、上述の諸条件を用いることにより、線形写像が全単射であることを様々な形で判定できます。

全単射であるような線形写像は線形変換

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が全単射である場合、\begin{equation*}n=m
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、線形変換であるような線形写像だけが全単射になり得るということです。

上の命題の対偶より、線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}n\not=m
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は全単射ではありません。

線形写像が全射であるための必要十分条件

定義域と終集合が一致する線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)について、\(f\)が全射であることと\(f\)が単射であることは必要十分です。

以上の命題を踏まえると以下を得ます。

線形写像の像を用いた全単射判定

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の像は、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が全単射であるための必要十分条件になります。

線形写像の核を用いた全単射判定

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、\begin{equation*}\ker f=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が全単射であるための必要十分条件になります。

線形写像の標準行列の列空間と行空間を用いた全単射判定

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の列空間は、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が全単射であるための必要十分条件です。

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の行空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が全単射であるための必要十分条件です。

線形写像の標準行列の階数を用いた全単射判定

線形写像が全単射であることを以下のように表現することもできます。

線形写像の標準行列の行標準形を用いた全単射判定

線形写像が全単射であることを以下のように表現することもできます。

まとめ：線形写像が全単射であることの判定

定義域と終集合が一致する線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)だけが全単射になり得ることを示すとともに、\(f\)が全単射であることは様々な形で表現可能であることが明らかになりました。得られた結果をまとめます。