線形写像の加法（線形写像の和）

線形写像の加法

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

定義域と終集合を共有する2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな写像\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)と\(g\)の和（sum）と呼びます。

線形写像どうしの和は線形写像になることが保証されます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を定義域とし、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)を終集合とする線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

線形写像\(f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より\(f+g\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathbb{R} ^{m}\)への線形写像になることが保証されますが、これは\(f+g\)が\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)の要素になることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)は線形写像どうしの加法\(+\)について閉じているということです。このような事情を踏まえると、線形写像を成分とするそれぞれの順序対\(\left( f,g\right)\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)に対して、それらの和\(f+g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を定める二項演算\begin{equation*}+:\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \rightarrow \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を線形写像の加法（addition of lineaer maps）と呼びます。順序対\(\left( f,g\right) \)に対して線形写像の加法\(+\)を適用することを、\(f\)と\(g\)を足す（add）と言います。

線形写像の加法は定義域と終集合を共有する線形写像に対してのみ定義されます。定義域や終集合が異なる線形写像に対して加法を適用することはできません。

線形写像の加法と行列加法の関係

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

定義域と終集合を共有する2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が線形写像であることは、これらの写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&Ax \\
g\left( x\right) &=&Bx
\end{eqnarray*}という形で表されることと必要十分です。この場合、\(A\)は\(f\)の標準行列であり、\(B\)は\(g\)の標準行列です。先の命題より、この場合には写像\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は線形写像になりますが、この写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルは、先の行列\(A,B\)の行列和\(A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =\left( A+B\right) x
\end{equation*}という形で表されます。つまり、\(A+B\)が\(f+g\)の標準行列であるということです。

以上の命題より、線形写像の加法は、行列の加法と実質的に等しいことが明らかになりました。したがって、行列加法に関して成り立つ性質はそのまま線形写像の加法に関する性質として引き継がれます。以下では代表的な性質を提示します。

線形写像の加法に関する結合律

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall f,g,h\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :\left( f+g\right) +h=f+\left( g+h\right)
\end{equation*}を満たします。これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( f+g\right) +h\)は、はじめに\(f\)と\(g\)を足した上で、得られた結果と\(h\)をさらに足して得られる線形写像です。右辺\(f+\left( g+h\right) \)は、はじめに\(g\)と\(h\)を足した上で、\(f\)と先の結果を足して得られる線形写像です。結合律はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、3つの線形写像\(f,g,h\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

ゼロ写像（線形写像の加法に関する単位元）

実ベクトル空間はゼロベクトルを要素として持つため、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を像として定める写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。これをゼロ写像（zero mapping）と呼びます。

ゼロ写像は線形写像であるとともに、その標準行列はゼロ行列と一致します。

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+0=f
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロ写像\(0\)は線形写像ですが、任意の線形写像\(f\)に対してゼロ写像\(0\)を足してもその結果は\(f\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、
これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left(f+g\right) +h\)は、はじめに\(f\)と\(g\)を足した上で、得られた結果と\(h\)をさらに足して得られる線形写像です。右辺\(f+\left( g+h\right) \)は、はじめに\(g\)と\(h\)を足した上で、\(f\)と先の結果を足して得られる線形写像です。結合律はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、3つの線形写像\(f,g,h\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロ写像を線形写像の加法に関する単位元（identity element of addition of linear maps）と呼ぶ場合もあります。

線形写像の加法に関する逆元

写像\(f:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を像として定める写像\(-f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。これを\(f\)の加法に関する逆元（inverse element in relation to addition of linear maps）と呼びます。

線形写像の加法逆元は線形写像であるとともに、その標準行列はもとの線形写像の標準行列の行列加法に関する逆元と一致します。

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) ,\ \exists -f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+\left( -f\right) =0
\end{equation*}を満たします。つまり、線形写像\(f\)を任意に選んだとき、先の理由によりその加法に関する逆元\(-f\)が存在することが保証されますが、\(f\)と\(-f\)の和はゼロ写像と一致することが保証されるということです。

線形写像の加法に関する交換律

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+g=g+f
\end{equation*}を満たします。これを交換律（commutative law）と呼びます。本来、2つの線形写像\(f,g\)を成分とする順序対\(\left( f,g\right) ,\left(g,f\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( f,g\right) \)に加法を適用して得られる線形写像\(f+g\)と、\(\left( g,f\right) \)に加法を適用して得られる線形写像\(g+f\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい線形写像であることを保証します。

線形写像の加法に関する逆元の逆元

線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、その加法逆元\(-f\)もまた\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)の要素であるため、さらにその加法逆元\(-\left( -f\right) \)が存在し、これもまた\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)の要素になります。しかも、\begin{equation*}-\left( -f\right) =f
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、線形写像の加法に関して、線形写像の逆元の逆元はもとの線形写像と一致します。

ゼロ写像の加法逆元

ゼロ写像\(0\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)は線形写像であるため、その加法逆元\(-0\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)もまた線形写像です。しかも、\begin{equation*}-0=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロ写像の加法逆元はゼロ写像です。