線形写像空間の定義

線形写像の定義

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在するベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を1つずつ定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が以下の2つの条件を満たす場合には、そのような写像\(f\)を線形写像（linear mapping）や1次写像などと呼びます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

1つ目の条件は、\begin{equation*}
\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right)
\end{equation*}であり、これを加法性（additivity）と呼びます。つまり、加法性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトル和の像（左辺）はそれぞれのベクトルの像のベクトル和（右辺）と一致します。

2つ目の条件は、\begin{equation*}
\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}であり、これを斉次性（homogeneity）と呼びます。つまり、斉次性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトルのスカラー倍の像（左辺）はベクトルの像のスカラー倍（右辺）と一致するということです。

改めて整理すると、写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。これらの性質を総称して線型性（linearity）と呼ぶ場合もあります。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を定義域とし、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)を終集合とする線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

線形写像の加法の定義とその性質

定義域と終集合を共有する2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな写像\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)と\(g\)の和（sum）と呼びます。

線形写像どうしの和は線形写像になることが保証されます。

線形写像\(f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より\(f+g\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathbb{R} ^{m}\)への線形写像になることが保証されますが、これは\(f+g\)が\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)の要素になることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)は線形写像どうしの加法\(+\)について閉じているということです。このような事情を踏まえると、線形写像を成分とするそれぞれの順序対\(\left( f,g\right)\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)に対して、それらの和\(f+g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を定める二項演算\begin{equation*}+:\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \rightarrow \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を線形写像の加法（addition of lineaer maps）と呼びます。順序対\(\left( f,g\right) \)に対して線形写像の加法\(+\)を適用することを、\(f\)と\(g\)を足す（add）と言います。

定義域と終集合を共有する2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が線形写像であることは、これらの写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&Ax \\
g\left( x\right) &=&Bx
\end{eqnarray*}という形で表されることと必要十分です。この場合、\(A\)は\(f\)の標準行列であり、\(B\)は\(g\)の標準行列です。先の命題より、この場合には写像\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は線形写像になりますが、この写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルは、先の行列\(A,B\)の行列和\(A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =\left( A+B\right) x
\end{equation*}という形で表されます。つまり、\(A+B\)が\(f+g\)の標準行列であるということです。

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall f,g,h\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :\left( f+g\right) +h=f+\left( g+h\right)
\end{equation*}を満たします。これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( f+g\right) +h\)は、はじめに\(f\)と\(g\)を足した上で、得られた結果と\(h\)をさらに足して得られる線形写像です。右辺\(f+\left( g+h\right) \)は、はじめに\(g\)と\(h\)を足した上で、\(f\)と先の結果を足して得られる線形写像です。結合律はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、3つの線形写像\(f,g,h\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

実ベクトル空間はゼロベクトルを要素として持つため、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を像として定める写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。これをゼロ写像（zero mapping）と呼びます。

ゼロ写像は線形写像であるとともに、その標準行列はゼロ行列と一致します。

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+0=f
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロ写像\(0\)は線形写像ですが、任意の線形写像\(f\)に対してゼロ写像\(0\)を足してもその結果は\(f\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、
これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left(f+g\right) +h\)は、はじめに\(f\)と\(g\)を足した上で、得られた結果と\(h\)をさらに足して得られる線形写像です。右辺\(f+\left( g+h\right) \)は、はじめに\(g\)と\(h\)を足した上で、\(f\)と先の結果を足して得られる線形写像です。結合律はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、3つの線形写像\(f,g,h\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロ写像を線形写像の加法に関する単位元（identity element of addition of linear maps）と呼ぶ場合もあります。

写像\(f:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( x\right) =-f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を像として定める写像\(-f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。これを\(f\)の加法に関する逆元（inverse element in relation to addition oflinear maps）と呼びます。

線形写像の加法逆元は線形写像であるとともに、その標準行列はもとの線形写像の標準行列の行列加法に関する逆元と一致します。

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) ,\ \exists -f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+\left( -f\right) =0
\end{equation*}を満たします。つまり、線形写像\(f\)を任意に選んだとき、先の理由によりその加法に関する逆元\(-f\)が存在することが保証されますが、\(f\)と\(-f\)の和はゼロ写像と一致することが保証されるということです。

線形写像に関する加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+g=g+f
\end{equation*}を満たします。これを交換律（commutative law）と呼びます。本来、2つの線形写像\(f,g\)を成分とする順序対\(\left( f,g\right) ,\left(g,f\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( f,g\right) \)に加法を適用して得られる線形写像\(f+g\)と、\(\left( g,f\right) \)に加法を適用して得られる線形写像\(g+f\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい線形写像であることを保証します。

線形写像のスカラー乗法の定義とその性質

実数と写像\begin{eqnarray*}
k &\in &\mathbb{R} \\
f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな写像\begin{equation*}
kf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)のスカラー\(k\)倍（scalar product）と呼びます。スカラー倍\(kf\)の\(k\)をスカラー（scalar）や係数（coefficient）などと呼び、スカラーがとり得る値からなる集合である実数集合\(\mathbb{R} \)をスカラー場（scalarfield）や係数体（coefficient field）などと呼びます。

線形写像のスカラー倍は線形写像になることが保証されます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を定義域とし、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)を終集合とする線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より\(kf\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathbb{R} ^{m}\)への線形写像になることが保証されますが、これは\(kf\)が\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)の要素になることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :kf\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、スカラーと線形写像を成分とするそれぞれの順序対\(\left( k,f\right) \in \mathbb{R} \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)に対して、スカラー倍\(kf\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を定める二項演算\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} \times \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \rightarrow \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を線形写像のスカラー乗法（scalar multiplication of lineaer map）と呼びます。スカラー乗法\(\cdot \)の記号は省略されるのが慣例です。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。先の命題より、この場合には写像\begin{equation*}kf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は線形写像になりますが、この写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルは、先の行列\(A\)のスカラー倍\(kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =\left( kA\right) x
\end{equation*}という形で表されます。つまり、\(kA\)が\(kf\)の標準行列であるということです。

2つのスカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}k_{1}\left( k_{2}f\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これを乗法とスカラー乗法の間の互換性（compatibility）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を指定しています。つまり、左辺\(k_{1}\left( k_{2}f\right) \)は、はじめに線形写像\(f\)のスカラー\(k_{2}\)倍をとった上で、得られた線形写像をさらにスカラー\(k_{1}\)倍することで得られる線形写像です。右辺\(\left( k_{1}k_{2}\right) f\)は、はじめにスカラーどうしの積\(k_{1}k_{2}\)をとった上で、線形写像\(f\)のスカラー\(k_{1}k_{2}\)倍することで得られる線形写像です。互換性はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、線形写像が与えられたとき、そのスカラー倍のスカラー倍（左辺）は、スカラーどうしの積とのスカラー倍（右辺）と一致するということです。

線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1f=f
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の線形写像\(f\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(f\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元（identity element of scalar multiplication）と呼ぶこともできます。

線形写像の加法とスカラー乗法の関係

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k\left( f+g\right) =kf+kg
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、線形写像の和のスカラー倍はスカラー倍の和と一致します。これを線形写像の加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition of linear maps）と呼びます。

スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と線形写像\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( k_{1}+k_{2}\right) f=k_{1}f+k_{2}f
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、スカラーどうしの和に関する線形写像のスカラー倍は線形写像のスカラー倍どうしの和と一致します。これを加法に関する線形写像のスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition）と呼びます。

線形写像空間の定義

これまで明らかになった線形写像の加法およびスカラー乗法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall f,g,h\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :\left( f+g\right) +h=f+\left( g+h\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+0=f \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) ,\ \exists -f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+\left( -f\right) =0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :f+g=g+f \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :k_{1}\left( k_{2}f\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) f \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :1f=f \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall f,g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :k\left( f+g\right) =kf+kg \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) f=k_{1}f+k_{2}f
\end{eqnarray*}となります。

線形写像の加法が\(\left(V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left( V_{6}\right) \)を満たし、さらに加法とスカラー乗法の間に\(\left( V_{7}\right) \)と\(\left(V_{8}\right) \)が成り立つことは、\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間（vector space with a scalar field \(\mathbb{R} \)）であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を線形写像空間（linear mapping space）と呼びます。通常、線形写像空間を\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) ,+,\cdot \right)
\end{equation*}と表記しますが、線形写像空間について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに\begin{equation*}
\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}と表記できます。