線形写像の合成

線形写像の合成写像は線形写像

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

線形写像\(f\)の終集合の次元と線形写像\(g\)の定義域の次元が一致しているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{p} \\
g &:&\mathbb{R} ^{p}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の終集合の次元と\(g\)の定義域の次元はともに\(p\)で一致していることに注意してください。\(n\)と\(m\)は任意です。このとき、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
=\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{p}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{p}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定める合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,p\right) \)は\(f\)の成分関数であり、\(g_{j}:\mathbb{R} ^{p}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( j=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の成分関数です。

線形写像の合成写像は線形写像になることが保証されます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を定義域とし、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)を終集合とする線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

線形写像である\(f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{p}\right) \)および\(g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{p},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より\(g\circ f\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathbb{R} ^{m}\)への線形写像になることが保証されますが、これは\(g\circ f\)が\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)の要素になることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{p}\right) ,\ \forall g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{p},\mathbb{R} ^{m}\right) :g\circ f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、線形写像を成分とするそれぞれの順序対\(\left( f,g\right) \in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{p}\right) \times \hom \left( \mathbb{R} ^{p},\mathbb{R} ^{m}\right) \)に対して、合成写像\(g\circ f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) \)を定める二項演算\begin{equation*}\circ :\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{p}\right) \times \hom \left( \mathbb{R} ^{p},\mathbb{R} ^{m}\right) \rightarrow \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を線形写像の合成（composition of linear maps）と呼びます。

線形写像の合成\(g\circ f\)は\(f\)の終集合の次元と\(g\)の定義域の次元が一致する場合にのみ定義されます。\(f\)の終集合の次元と\(g\)の次元が異なる場合には合成写像\(g\circ f\)は定義されません。

線形写像の合成と行列乗法の関係

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{p} \\
g &:&\mathbb{R} ^{p}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が線形写像であることは、これらの写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{p,n}\)および\(B\in M_{m,p}\)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&Ax \\
g\left( x\right) &=&Bx
\end{eqnarray*}という形で表されることと必要十分です。この場合、\(A\)は\(f\)の標準行列であり、\(B\)は\(g\)の標準行列です。先の命題より、この場合には合成写像\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は線形写像になりますが、この合成写像がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルは、先の行列\(A,B\)の行列積\(BA\in M_{m,n}\)を用いて、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left( BA\right) x
\end{equation*}という形で表されます。つまり、\(BA\)が\(g\circ f\)の標準行列であるということです。行列\(B\)の行の個数と行列\(A\)の列の個数はともに\(p\)で一致しているため行列積\(BA\)が定義可能であることに注意してください。

以上の命題より、線形写像の合成は、行列乗法と実質的に等しいことが明らかになりました。したがって、行列乗法に関して成り立つ性質はそのまま線形写像の合成に関する性質として引き継がれます。以下では代表的な性質を提示します。

線形写像の合成の結合律

線形写像の合成は以下の性質\begin{equation*}
\forall f\in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{q}\right) ,\ \forall g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{q},\mathbb{R} ^{p}\right) ,\ \forall h\in \hom \left( \mathbb{R} ^{p},\mathbb{R} ^{m}\right) :h\circ \left( g\circ f\right) =\left( h\circ g\right) \circ f
\end{equation*}を満たします。これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は合成を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺の\(h\circ\left( g\circ f\right) \)は、はじめに\(f\)と\(g\)を合成した上で、得られた結果\(g\circ f\)と\(h\)をさらに合成して得られる線形写像です。右辺の\(\left( h\circ g\right) \circ f\)は、はじめに\(h\)と\(g\)を合成した上で、\(f\)と先の結果\(h\circ g\)を合成して得られる線形写像です。結合律はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、3つの合成写像\(f,g,h\)を合成する場合には、隣り合うどの2つを先に合成しても得られる結果は変わらないということです。

線形写像の加法と合成に関する分配律

線形写像の加法と合成の間には以下の関係が成り立ちます。\(\left( a\right) \)を左分配律（left distributive law）と呼び、\(\left(b\right) \)を右分配律（right distributive law）と呼びます。

ゼロ写像との合成

線形写像とゼロ写像の合成が定義可能である場合、それはゼロ写像になることが保証されます。

線形写像のスカラー乗法と合成の関係

線形写像のスカラー乗法と合成の間には以下の関係が成り立ちます。