線形写像の値域
定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対してその像\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( X\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像（image of \(X\)）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{y}\in \boldsymbol{f}\left( X\right) \Leftrightarrow \exists
\boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成立するため、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像を、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)自身の部分集合であるため、\(\boldsymbol{f}\)による\(\mathbb{R} ^{n}\)の像\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を考えることもできます。これを\(\boldsymbol{f}\)の値域（range of \(\boldsymbol{f}\)）と呼び、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{y}\in \mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow
\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成立するため、\(\boldsymbol{f}\)の値域を、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、この線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\right\}
\end{eqnarray*}です。値域を具体的に特定する方法は後述します。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{vx} \\
&=&\left( 1,2,3\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{eqnarray*}を定めます。この線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) &=&\left\{
\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\right\} \\
&=&\left\{ x_{1}+2x_{2}+3x_{3}\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\}
\end{eqnarray*}です。値域を具体的に特定する方法は後述します。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。ゼロ写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\right\}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。恒等写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v}\)であるような直線に他なりません。
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)であるような平面に他なりません。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ A\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{eqnarray*}です。値域を具体的に特定する方法は後述します。
線形写像の像は標準行列の列空間と一致する
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\begin{pmatrix}
f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =M\left( \boldsymbol{f}\right)
\boldsymbol{x}
\end{equation*}という形で表されます。ただし、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。
標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の列空間とは、行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の列ベクトル集合の線型スパン、すなわち行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を構成する列ベクトルどうしの線型結合からなる集合であり、具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right)
,\cdots ,\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,n\right) \right\}
\right) \quad \because \text{列空間の定義} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right\}
\right) \quad \because M\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ k_{1}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) +\cdots +k_{n}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義}
\end{eqnarray*}となります。
線形写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の列空間と一致することが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。\(\boldsymbol{f}_{A}\)の標準行列は、\begin{equation*}M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =A
\end{equation*}であるため、その列空間は、\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) \right) =\mathrm{col}\left(
A\right)
\end{equation*}です。標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) \)にガウス・ジョルダンの消去法を適用すると、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) &=&A \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}-4R_{1} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow -\frac{1}{3}R_{2} \\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2\end{pmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}-2R_{2}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) \right) =2
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\dim \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) \right) =2
\end{equation*}を得ます。つまり、列空間\(\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right)\right) \)から選ぶことができる線型独立な列ベクトルの個数は\(2\)ですが、以上の事実と\(\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) \right) \subset \mathbb{R} ^{2}\)より、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) \right) =\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}_{A}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) &=&\mathrm{col}\left( M\left(
\boldsymbol{f}_{A}\right) \right) \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}となります。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right)
=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{equation*}を定めます。\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\)の標準行列は、\begin{equation*}M\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =\left( \boldsymbol{v}\right)
\end{equation*}であるため、その列空間は、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) \right) &=&\mathrm{col}\left( \left( \boldsymbol{v}\right) \right) \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left(
3\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}+k_{2}2+k_{3}3\in \mathbb{R} \ |\ k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) &=&\mathrm{col}\left(
M\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) \right) \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\right\}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて導きます。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\left( \boldsymbol{0}_{m},\cdots ,\boldsymbol{0}_{m}\right) \\
&=&\boldsymbol{0}_{m,n}
\end{eqnarray*}であるため、その列空間は、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) &=&\mathrm{col}\left(
\boldsymbol{0}_{m,n}\right) \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{0}_{m},\cdots ,\boldsymbol{0}_{m}\right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\boldsymbol{0}_{m}+\cdots +k_{n}\boldsymbol{0}_{m}\in \mathbb{R} \ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\right\}
\end{eqnarray*}となります。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\mathrm{col}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。先に示したように、恒等写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて導きます。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\left( \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right) \\
&=&I_{n}
\end{eqnarray*}であるため、その列空間は、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) &=&\mathrm{col}\left(
I_{n}\right) \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +k_{n}\boldsymbol{e}_{n}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}です。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\mathrm{col}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right) \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて導きます。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{equation*}M\left( \boldsymbol{f}\right) =\left( \boldsymbol{v}\right)
\end{equation*}であるため、その列空間は、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) &=&\mathrm{col}\left(
\left( \boldsymbol{v}\right) \right) \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\} \right) \\
&=&\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}です。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\mathrm{col}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right) \\
&=&\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて導きます。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列は、\begin{equation*}M\left( \boldsymbol{f}\right) =\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)
\end{equation*}であるため、その列空間は、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) &=&\mathrm{col}\left(
\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \right) \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\right) \\
&=&\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}です。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\mathrm{col}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right) \\
&=&\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、\begin{equation*}
\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =\mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
線形写像の像は終集合の部分空間
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域は\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列空間と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。一般に、行列\(A\)の列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の部分空間であるため、それと一致する\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{m}\)上の部分空間です。
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間である。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \\
4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるとともに、その値域が、\begin{equation*}
\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であることは先に示した通りです。\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分空間であるため、\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right)
=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}
\end{equation*}を定めます。この線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\)の値域が、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) =\mathbb{R} \end{equation*}であることは先に示した通りです。\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)の部分空間であるため、\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\right) \)は\(\mathbb{R} \)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めます。ゼロ写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\right\}
\end{equation*}です。\(\left\{ \boldsymbol{0}_{m}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間であるため、\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を像として定める線形写像です。恒等写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}です。\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。原点を通過する直線は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。原点を通過する平面は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。この写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}_{A}\right) =\mathrm{row}\left( A\right)
\end{equation*}です。行列の列空間は部分空間であるため\(\mathrm{row}\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
線形写像による部分空間の像は部分空間
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。加えて、\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)を任意に選びます。このとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間になることが保証されます。線形写像は部分空間を部分空間へ写すということです。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間になる。
線形写像によるアフィン部分空間の像はアフィン部分空間
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。加えて、\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間\(X\)を任意に選びます。このとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)のアフィン部分空間になることが保証されます。線形写像はアフィン部分空間をアフィン部分空間へ写すということです。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)のアフィン部分空間になる。
演習問題
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、この写像\(\boldsymbol{f}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点を\(xy\)平面へ写す射影です。この関数\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを示すとともに、その像\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(xy\)平面であることを示してください。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2} \\
x_{1}+x_{2} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを示した上で、\(\boldsymbol{f}\)の値域\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)を求めてください。
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