線形写像の像（値域）

写像の像

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(x\)の像（image）と呼びます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(f\)の成分関数です。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。\(f\)は\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(f\)による\(X\)の像（image）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。ベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y\in f\left( X\right) \Leftrightarrow \exists x\in X:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成立するため、\(f\)による\(X\)の像を、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} ^{n}\)の像をとることもできます。これを\(f\)の像（image）や値域（range）などと呼び、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}f &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{Im}f\subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。ベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y\in f\left( X\right) \Leftrightarrow \exists x\in \mathbb{R} ^{n}:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成立するため、\(f\)の像を、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} ^{n}:y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

線形写像の像は標準行列の列空間と一致する

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

以上の事実を踏まえると、線形写像\(f\)に関しては、その像\(\mathrm{Im}f\)が標準行列\(A\)の列空間と一致することが示されます。

線形写像の像は終集合の部分空間

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域は\(f\)の標準行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列空間と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。一般に、行列\(A\)の列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の部分空間であるため、それと一致する\(\mathrm{Im}f\)もまた\(\mathbb{R} ^{m}\)上の部分空間です。

線形写像による部分空間の像は部分空間

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。加えて、\(f\)の定義域である実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)を任意に選びます。このとき、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(f\)の終集合である実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間になることが保証されます。線形写像は部分空間を部分空間へ写すということです。

演習問題