内積としての線形汎関数

ベクトルから定義される線形汎関数

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。特に、多変数の実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が線形写像である場合、これを線形汎関数と呼びます。

\(n\)次元のベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、同じく\(n\)次元のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選べば、両者の内積\begin{eqnarray*}v\cdot x &=&\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \cdot \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \\
&=&v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n}
\end{eqnarray*}が1つの実数として定まります。

このような事情を踏まえると、ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、内積\begin{equation*}f_{v}\left( x\right) =v\cdot x
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{v}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、この写像は線形汎関数になることが保証されます。

内積としての線形汎関数

ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、入力したベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)との内積に相当する実数\(v\cdot x\in \mathbb{R} \)を出力する写像\(f_{v}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、それは線形汎関数になることが明らかになりました。逆に、線形汎関数が与えられたとき、それは必ず内積の形で表現可能です。しかも、そのような表現は一意的です。順番に解説します。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)とその定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられれば、以下のベクトル\begin{equation}
v=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が定義可能です。これを写像\(f\)の標準ベクトル（standard vector of \(f\)）と呼びます。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が線形汎関数である場合には、そしてその場合にのみ、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =v\cdot x
\end{equation*}という形で表されます。しかも、このベクトル\(v\)は写像\(f\)の標準ベクトルと必ず一致します。つまり、写像\(f\)が線形汎関数であることと、それが\(f\)の標準ベクトル\(v\)との内積\(v\cdot x\)の形で表現されることは必要十分であるということです。写像\(f\)の標準ベクトル\(v\)は一意的に定まるため、以上の事実は、線形汎関数とその標準ベクトルが1対1の関係にあることを意味します。

線形汎関数と標準基底

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元は\(n\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底には\(n\)個のベクトルが含まれます。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底を、\begin{equation}\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。その上で、実数空間\(\mathbb{R} \)の中から\(n\)個の実数\begin{equation}\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset \mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{equation}を選んだとき、\(\left( 1\right) \)を\(\left( 2\right) \)へ写す線形写像、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
v_{1}=f\left( e_{1}\right) \\
\vdots \\
v_{n}=f\left( e_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、それは一意的に定まることが保証されます。証明では先の命題を利用します。

上の命題より、線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が具体的にどのような形状を持つかは、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(e_{1},\cdots ,e_{n}\)に対して定める実数\(f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されることが明らかになりました。

ちなみに、上の命題に登場する\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底であるため、その要素であるベクトル\(e_{1},\cdots ,e_{n}\)は線型独立な異なる\(n\)個のベクトルです。一方、\(\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)から任意に選ぶことができるため、その要素である実数\(v_{1},\cdots ,v_{n}\)の中に等しい実数が含まれていても問題ありません。

先の命題では線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が標準基底ベクトルに対して定めるベクトルを指定しましたが、実際には、標準基底に限定されない、任意の基底を選んだ場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元は\(n\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底には\(n\)個のベクトルが含まれます。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation}\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。その上で、実数空間\(\mathbb{R} \)の中から\(n\)個の実数\begin{equation}\left\{ w_{1},\cdots ,w_{n}\right\} \subset \mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{equation}を選んだとき、\(\left( 1\right) \)を\(\left( 2\right) \)へ写す線形汎関数、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
w_{1}=f\left( v_{1}\right) \\
\vdots \\
w_{n}=f\left( v_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、それは一意的に定まることが保証されます。

上の命題より、線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が具体的にどのような形状を持つかは、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底ベクトル\(v_{1},\cdots,v_{n}\)に対して定める実数\(f\left( v_{1}\right) ,\cdots ,f\left( v_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されることが明らかになりました。

演習問題