ベクトル変換としての線形汎関数

行ベクトルから定義される線形汎関数

定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実数空間\(\mathbb{R} \)であるような写像\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(f\)に入力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(f\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(f\)が線形写像、すなわち線形汎関数であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) +f\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( k\boldsymbol{x}\right) =kf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに対して列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行ベクトル\(\boldsymbol{v}\)の列の個数と列ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため両者の行列積\begin{eqnarray*}\boldsymbol{vx} &=&\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n}
\end{eqnarray*}が1つの実数として定まります。このような事情を踏まえると、行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んで固定したとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の実数\begin{equation*}f_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{vx}
\end{equation*}を像として定める多変数の実数値写像\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{v}}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

行ベクトル\(\boldsymbol{v}\)から以上の要領で定義される写像\(f_{\boldsymbol{v}}\)は線形写像、すなわち線形汎関数になることが保証されます。

線形汎関数は行ベクトルによって表現される

行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{vx}
\end{equation*}を像として定める写像\(f_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは線形汎関数になることが明らかになりました。逆に、線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{vx}
\end{equation*}を満たす行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することを保証できます。順番に解説します。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)とその定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が与えられれば、以下の行ベクトル\begin{equation*}
V\left( f\right) =\left( f\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f\left(
\boldsymbol{e}_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。これを写像\(f\)の標準行列（standard matrix of \(f\)）と呼びます。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形汎関数である場合には、任意の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{vx}
\end{equation*}を満たす行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在するとともに、このような行ベクトル\(\boldsymbol{v}\)が一意的に定まります。しかも、この行ベクトル\(\boldsymbol{v}\)は\(f\)の標準ベクトルと一致します。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{v}=V\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

標準基底ベクトルと線形写像

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底を、\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。その上で、\(n\)個の実数\begin{equation}\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset \mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{equation}を任意に選びます。このとき、\(\left( 1\right) \)を\(\left(2\right) \)へ写す線形汎関数、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
v_{1}=f\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) \\
\vdots \\
v_{n}=f\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。

先の命題に登場する\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底であるため、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)は線型独立な異なる\(n\)個のベクトルです。一方、\(n\)個の実数\(\left\{v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \)は任意に選ぶことができるため、\(v_{1},\cdots ,v_{n}\)の中に等しい実数が含まれていても問題ありません。

\(n\)個の実数\(v_{1},\cdots ,v_{n}\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)を\(v_{1},\cdots ,v_{n}\)へ写す線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が必ず存在することが明らかになりました。逆に、線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が具体的にどのような形状を持つかは、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)に対して定める\(n\)個の実数\(f\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されます。具体的には以下の通りです。

2つの写像\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、これらが写像として一致することは、以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。一方、\(f,g\)がともに線形汎関数である場合には、これらが写像として一致することを示すために\(\mathbb{R} ^{n}\)上のすべてのベクトル\(\boldsymbol{x}\)について\(f\left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( \boldsymbol{x}\right) \)が成り立つことを示す必要はなく、\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)に対して定める像が常に一致することを示せば十分です。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} :f\left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には\(f=g\)になることが保証されます。

以上の命題より、線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が具体的にどのような形状を持つかは、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)に対して定める実数\(f\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,f\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されることが明らかになりました。

演習問題