実ベクトル空間上の線形写像が単射であることの判定

線形写像が単射であることの判定

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。ただし、写像\(f\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が単射であることとは、定義域上に存在する異なるベクトル\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)がそれらに対してベクトル\(f\left( x\right) ,f\left( x^{\prime}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)もまた異なることが保証されること、すなわち、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ x\not=x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right) \not=f\left(
x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。対偶をとると、上の定義を、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \Rightarrow
x=x^{\prime }\right] \end{equation*}と言い換えることもできます。ただし、\(f\)が線形写像である場合、それが単射であることを様々な形で表現することができます。順番に解説します。

線形写像の核を用いた単射判定

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。明らかに、\begin{equation*}\ker f\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちますが、特に、\begin{equation*}
\ker f=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、すなわち、線形写像\(f\)の核がゼロベクトルだけを要素として持つ1点集合（ゼロ部分空間）であることは、\(f\)が単射であるための必要十分条件になります。

先の命題は線形写像が単射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が単射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の行空間の直交補空間を用いた単射判定

線形写像\(f\)の標準行列\(A\)の行空間\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は、\(A\)の行の線型結合として表されるベクトルを集めてできる集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の部分空間であるため、その直交補空間\begin{equation*}\left( \mathrm{row}\left( A\right) \right) ^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in \mathrm{row}\left( A\right) :n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}をとることができます。これは\(f\)の核と一致するため、すなわち、\begin{equation*}\ker f=\left( \mathrm{row}\left( A\right) \right) ^{\perp }
\end{equation*}が成り立つため、先の命題を以下のように言い換えることができます。

先の命題は線形写像が単射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が単射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の行空間を用いた単射判定

線型写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列が\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)である場合、\begin{equation*}\left( \mathrm{row}\left( A\right) \right) ^{\perp }=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が単射であるための必要十分条件であることが明らかになりました。これを以下のように言い換えることができます。

先の命題は線形写像が単射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が単射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の列を用いた単射判定

線型写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の核は、\begin{equation*}\ker f=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) =0\right\}
\end{equation*}という形で表現できることを踏まえると、先の命題を以下のように言い換えることができます。

先の命題は線形写像が単射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が単射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の階数を用いた単射判定

線形写像\(f\)が線型独立であることと、\(f\)の標準行列\(A\)の列からなるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\}
\end{equation*}が線型独立であることが必要十分条件であることが明らかになりましたが、これは、\(A\)の列空間の列階数が、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =n
\end{equation*}であることを意味します。

以上の事実を踏まえると、先の命題を以下のように表現することもできます。

先の命題は線形写像が単射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が単射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の行標準形を用いた単射判定

行列\(A\)の階数は、\(A\)の行標準形\(B\)に含まれる主成分の個数と一致するため、先の命題を以下のように表現することもできます。

先の命題は線形写像が単射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が単射ではないことの判定にも利用できます。

まとめ：線形写像が単射であることの判定

線形写像が単射であることは様々な形で表現可能であることが明らかになりました。得られた結果をまとめます。

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