実ベクトル空間における線形写像
定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が以下の2つの条件を満たす場合には、\(\boldsymbol{f}\)を線形写像(linear mapping)や1次写像などと呼びます。
写像\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)から2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだ上で、それらのベクトル和\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)を写像\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \)が得られます。このベクトルが、\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)に対してそれぞれ定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \)のベクトル和と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は加法性(additivity)を満たすと言います。つまり、加法性を満たす写像\(\boldsymbol{f}\)のもとでは、ベクトル和の像はそれぞれのベクトルの像のベクトル和と一致するということです。
写像\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)からベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだ上で、そのスカラー倍に相当するベクトル\(k\boldsymbol{x}\)を写像\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) \)が得られます。このベクトルが、\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)のスカラー\(k\)倍と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は斉次性(homogeneity)を満たすと言います。つまり、斉次性を満たす写像\(\boldsymbol{f}\)のもとでは、ベクトルのスカラー倍の像はベクトルの像のスカラー倍と一致するということです。
改めて整理すると、写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。これらの性質を総称して線型性(linearity)と呼ぶこともできます。
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が線形写像であることは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が線形写像であることは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\boldsymbol{f}\left( x+y\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\boldsymbol{f}\left( kx\right) =k\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x+y\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x+y\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( y\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( y\right)
\end{array}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( kx\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( kx\right)
\end{array}\right) =k\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が線形写像であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) +f\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( k\boldsymbol{x}\right) =kf\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。この例のように、終集合が\(1\)次元の実ベクトル空間\(\mathbb{R} \)であるような線形写像を線型汎関数(linear functional)と呼ぶ場合もあります。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が線形写像であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{array}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( k\boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( k\boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) =k\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。特に、定義域と終集合が同一次元の実ベクトル空間であるような線形写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を線形変換(linear transformation)や線形作用素(linear operator)または1次変換などと呼びます。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x+y \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ベクトル\(\left( x_{1},y_{1}\right),\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2} \\
y_{1}+y_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( x_{1}+x_{2}\right) +\left( y_{1}+y_{2}\right) \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x_{1}+y_{1} \\
0\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
2x_{2}+y_{2} \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
y_{1}\end{array}\right) +\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
y_{2}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は加法性を満たします。また、スカラー\(k\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( k\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
kx \\
ky\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( kx\right) +ky \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&k\left(
\begin{array}{c}
2x+y \\
0\end{array}\right) \\
&=&k\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は斉次性を満たします。以上より、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像(線形変換)であることが明らかになりました。
線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素であるゼロベクトル\(\boldsymbol{0}_{n}\)を\(\boldsymbol{f}\)に入力すると、\(\boldsymbol{f}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のゼロベクトル\(\boldsymbol{0}_{m}\)が得られます。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{0}_{n}\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はゼロベクトルをゼロベクトルへ写すということです。
\end{equation*}である。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x+y \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2\cdot 0+0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため主張が成り立ちます。
先の命題の対偶より、写像\(\boldsymbol{f}\)によるゼロベクトルの像がゼロベクトルではない場合、\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
y+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(\boldsymbol{f}\)によるゼロベクトルの像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、これはゼロベクトルではないため、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。
線形写像によるベクトル逆元の像はベクトル逆元
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)からベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだ上で、そのベクトル加法逆元\(-\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left( -\boldsymbol{x}\right) \)が得られますが、これは\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の加法逆元と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( -\boldsymbol{x}\right) =-\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトル逆元をベクトル逆元へ写すということです。
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x+y \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\forall \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\boldsymbol{f}\left( -\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \right) =-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( -\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
-x \\
-y\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( -x\right) +\left( -y\right) \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
2x+y \\
0\end{array}\right) \\
&=&-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため主張が成り立ちます。
先の命題の対偶より、写像\(\boldsymbol{f}\)による何らかのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の加法逆元の像\(\boldsymbol{f}\left( -\boldsymbol{x}\right) \)が\(-\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)と一致しない場合、\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert y\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left\vert -1\right\vert \\
\left\vert -1\right\vert
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &=&-\left(
\begin{array}{c}
\left\vert 1\right\vert \\
\left\vert 1\right\vert
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right) \not=-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。
線形写像による線型結合の像は線型結合
線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)から2つのベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\)を任意に選んだ上で、これらの線型結合\(k_{1}\boldsymbol{x}_{1}+k_{2}\boldsymbol{x}_{2}\)を写像\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left(k_{1}\boldsymbol{x}_{1}+k_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right) \)が得られますが、このベクトルは、\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}_{1}\)と\(\boldsymbol{x}_{2}\)に対してそれぞれ定めるベクトルの線型結合である\(k_{1}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{1}\right) +k_{2}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{2}\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k_{1}\boldsymbol{x}_{1}+k_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right) =k_{1}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{1}\right) +k_{2}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトルの線型結合を線型結合へ写すということです。
逆の議論も成立するため、以上の性質によって線形写像の定義とすることもできます。線形写像は任意の2つのベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。
\end{equation*}を満たすことと、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることは必要十分条件である。
線形写像を以下のように定義することもできます。線形写像は任意の有限個のベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。
+k_{m}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{m}\right)
\end{equation*}を満たすことと、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることは必要十分条件である。
線形写像の例:ゼロ写像
実ベクトル空間はゼロベクトルを要素として持つため、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}を像として定める写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。これをゼロ写像(zero mapping)と呼びます。
ゼロ写像は線形写像です。
\end{equation*}を定めるものとする。\(\boldsymbol{f}\)は線形写像である。
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がゼロ写像であることは、\begin{equation*}
\forall 0\in \mathbb{R} :f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より\(f\)は線形写像です。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}がゼロ写像であることは、\begin{equation*}
\forall 0\in \mathbb{R} :\boldsymbol{f}\left( 0\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall 0\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( 0\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( 0\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がゼロ写像であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{0}_{n}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( \boldsymbol{0}_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より\(f\)は線形写像です。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}がゼロ写像であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{0}_{n}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{0}_{n}\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{0}_{n}\in \mathbb{R} ^{n}:\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{0}_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{0}_{n}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。
線形写像の例:恒等写像
写像の定義域と終集合が等しい場合には、入力したベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、それと同じベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}
\end{equation*}を返す写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が定義可能です。これを恒等写像(identity mapping)と呼びます。
恒等写像は線形写像です。
\end{equation*}を定めるものとする。\(\boldsymbol{f}\)は線形写像である。
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が恒等写像であることは、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より\(f\)は線形写像です。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の定義域\(\mathbb{R} \)と終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)は異なる次元の空間であるため、\(\boldsymbol{f}\)は恒等写像になり得ません。
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)と終集合\(\mathbb{R} \)は異なる次元の空間であるため、\(f\)は恒等写像になり得ません。
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が恒等写像であることは、\begin{equation*}
n=m
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。
線形写像の例:行列から定義される線形写像
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに対して\(n\)次元の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行列\(A\)の列の個数とベクトル\(\boldsymbol{x}\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため両者の行列積\begin{eqnarray*}A\boldsymbol{x} &=&\begin{pmatrix}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( \boldsymbol{x},1\right)
\\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( \boldsymbol{x},1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\left( a_{11},\cdots ,a_{1n}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
\vdots \\
\left( a_{m1},\cdots ,a_{mn}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}が1つの列ベクトルとして定まります。このような事情を踏まえると、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んで固定したとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を像として定める多変数のベクトル値写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。
行列\(A\)から以上の要領で定義される写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)は線形写像になることが保証されます。
\end{equation*}を定める写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すれば、これは線形写像になる。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}-x_{3} \\
x_{1}+3x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。先の命題より\(\boldsymbol{f}_{A}\)は線形写像です。
線形写像の例:行ベクトルから定義される線形汎関数
行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに対して列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行ベクトル\(\boldsymbol{v}\)の列の個数と列ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため両者の行列積\begin{eqnarray*}\boldsymbol{vx} &=&\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n}
\end{eqnarray*}が1つの実数として定まります。このような事情を踏まえると、行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んで固定したとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の実数\begin{equation*}f_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{vx}
\end{equation*}を像として定める多変数の実数値写像\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{v}}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
ベクトル\(\boldsymbol{v}\)から以上の要領で定義される写像\(f_{\boldsymbol{v}}\)は線形写像、すなわち線形汎関数になることが保証されます。
\end{equation*}を定める写像\(f_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは線形汎関数になる。
\boldsymbol{v}=\left( 1,2,-1\right)
\end{equation*}が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}f_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{vx} \\
&=&\left( 1,2,-1\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}+2x_{2}-x_{3}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。先の命題より\(f_{\boldsymbol{v}}\)は線形写像です。
線形写像の例:原点を通過する直線を定義する写像
1変数のベクトル値写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定めるベクトルが、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =t\boldsymbol{v}
\end{equation*}と表されるものとします。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v}\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の直線です。
方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を行ベクトルとみなした場合、\(\boldsymbol{v}\)から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( t\right) =\boldsymbol{v}t
\end{equation*}となります。したがって、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{v}t=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}
\end{equation*}を得ます。以上より、原点を通過する直線を定義する写像\(\boldsymbol{f}\)は線形写像であることが明らかになりました。
線形写像の例:原点を通過する平面を定義する写像
2変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定めるベクトルが、線型独立な非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}と表されるものとします。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の平面です。
方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を列ベクトルとみなした上で行列\begin{equation*}\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\begin{pmatrix}
v_{1} & w_{1} \\
\vdots & \vdots \\
v_{n} & w_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義した場合、\(\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \)から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定めるベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) &=&\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
v_{1} & w_{1} \\
\vdots & \vdots \\
v_{n} & w_{n}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
v_{1}s+w_{1}t \\
\vdots \\
v_{n}s+w_{n}t\end{array}\right) \\
&=&s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{eqnarray*}となります。したがって、任意の\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }
\end{equation*}を得ます。以上より、原点を通過する平面を定義する写像\(\boldsymbol{f}\)は線形写像であることが明らかになりました。
線形写像の例:斉次連立1次方程式の係数行列から定義される写像
すべての定数項が\(0\)であるような変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、斉次連立1次方程式を、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}と表現することもできます。
演習問題
\begin{array}{c}
5 \\
1 \\
2\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{2}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
8 \\
2 \\
6\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。ただし、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上における標準基底です。以上を踏まえた上で、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
3 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}を特定してください。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =2x-y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が線形写像であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が線形写像ではないことを示してください。
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。この写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを示してください。
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x+y \\
x+1 \\
3y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像ではないことを示してください。
\begin{array}{c}
1 \\
2\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-3 \\
5\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
7 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上の情報をもとに\(\boldsymbol{f}\)の形状を特定してください。
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
4 \\
6\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
8 \\
10\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上の情報をもとに\(\boldsymbol{f}\)の形状を特定してください。
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