実ベクトル空間上の線形写像（線形変換・1次変換）の定義と具体例

実ベクトル空間における線形写像

定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が以下の2つの条件を満たす場合には、\(\boldsymbol{f}\)を線形写像（linear mapping）や1次写像などと呼びます。

写像\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)から2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだ上で、それらのベクトル和\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)を写像\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \)が得られます。このベクトルが、\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)に対してそれぞれ定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \)のベクトル和と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は加法性（additivity）を満たすと言います。つまり、加法性を満たす写像\(\boldsymbol{f}\)のもとでは、ベクトル和の像はそれぞれのベクトルの像のベクトル和と一致するということです。

写像\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)からベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだ上で、そのスカラー倍に相当するベクトル\(k\boldsymbol{x}\)を写像\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) \)が得られます。このベクトルが、\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)のスカラー\(k\)倍と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は斉次性（homogeneity）を満たすと言います。つまり、斉次性を満たす写像\(\boldsymbol{f}\)のもとでは、ベクトルのスカラー倍の像はベクトルの像のスカラー倍と一致するということです。

改めて整理すると、写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。これらの性質を総称して線型性（linearity）と呼ぶこともできます。

線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素であるゼロベクトル\(\boldsymbol{0}_{n}\)を\(\boldsymbol{f}\)に入力すると、\(\boldsymbol{f}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のゼロベクトル\(\boldsymbol{0}_{m}\)が得られます。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{0}_{n}\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はゼロベクトルをゼロベクトルへ写すということです。

先の命題の対偶より、写像\(\boldsymbol{f}\)によるゼロベクトルの像がゼロベクトルではない場合、\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。

線形写像によるベクトル逆元の像はベクトル逆元

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)からベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだ上で、そのベクトル加法逆元\(-\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left( -\boldsymbol{x}\right) \)が得られますが、これは\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の加法逆元と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( -\boldsymbol{x}\right) =-\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトル逆元をベクトル逆元へ写すということです。

先の命題の対偶より、写像\(\boldsymbol{f}\)による何らかのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の加法逆元の像\(\boldsymbol{f}\left( -\boldsymbol{x}\right) \)が\(-\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)と一致しない場合、\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。

線形写像による線型結合の像は線型結合

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)から2つのベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\)を任意に選んだ上で、これらの線型結合\(k_{1}\boldsymbol{x}_{1}+k_{2}\boldsymbol{x}_{2}\)を写像\(\boldsymbol{f}\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left(k_{1}\boldsymbol{x}_{1}+k_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right) \)が得られますが、このベクトルは、\(\boldsymbol{f}\)が\(\boldsymbol{x}_{1}\)と\(\boldsymbol{x}_{2}\)に対してそれぞれ定めるベクトルの線型結合である\(k_{1}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{1}\right) +k_{2}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{2}\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k_{1}\boldsymbol{x}_{1}+k_{2}\boldsymbol{x}_{2}\right) =k_{1}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{1}\right) +k_{2}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトルの線型結合を線型結合へ写すということです。

逆の議論も成立するため、以上の性質によって線形写像の定義とすることもできます。線形写像は任意の2つのベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

線形写像を以下のように定義することもできます。線形写像は任意の有限個のベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

線形写像の例：ゼロ写像

実ベクトル空間はゼロベクトルを要素として持つため、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}を像として定める写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。これをゼロ写像（zero mapping）と呼びます。

ゼロ写像は線形写像です。

線形写像の例：恒等写像

写像の定義域と終集合が等しい場合には、入力したベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、それと同じベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}
\end{equation*}を返す写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が定義可能です。これを恒等写像（identity mapping）と呼びます。

恒等写像は線形写像です。

線形写像の例：行列から定義される線形写像

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに対して\(n\)次元の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行列\(A\)の列の個数とベクトル\(\boldsymbol{x}\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため両者の行列積\begin{eqnarray*}A\boldsymbol{x} &=&\begin{pmatrix}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( \boldsymbol{x},1\right)
\\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( \boldsymbol{x},1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\left( a_{11},\cdots ,a_{1n}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
\vdots \\
\left( a_{m1},\cdots ,a_{mn}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}が1つの列ベクトルとして定まります。このような事情を踏まえると、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んで固定したとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を像として定める多変数のベクトル値写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。

行列\(A\)から以上の要領で定義される写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)は線形写像になることが保証されます。

線形写像の例：行ベクトルから定義される線形汎関数

行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに対して列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行ベクトル\(\boldsymbol{v}\)の列の個数と列ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため両者の行列積\begin{eqnarray*}\boldsymbol{vx} &=&\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n}x_{n}
\end{eqnarray*}が1つの実数として定まります。このような事情を踏まえると、行ベクトル\(\boldsymbol{v}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んで固定したとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の実数\begin{equation*}f_{\boldsymbol{v}}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{vx}
\end{equation*}を像として定める多変数の実数値写像\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{v}}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

ベクトル\(\boldsymbol{v}\)から以上の要領で定義される写像\(f_{\boldsymbol{v}}\)は線形写像、すなわち線形汎関数になることが保証されます。

線形写像の例：原点を通過する直線を定義する写像

1変数のベクトル値写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定めるベクトルが、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =t\boldsymbol{v}
\end{equation*}と表されるものとします。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\left\{ t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v}\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の直線です。

方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を行ベクトルとみなした場合、\(\boldsymbol{v}\)から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}\left( t\right) =\boldsymbol{v}t
\end{equation*}となります。したがって、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{v}t=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{v}}
\end{equation*}を得ます。以上より、原点を通過する直線を定義する写像\(\boldsymbol{f}\)は線形写像であることが明らかになりました。

線形写像の例：原点を通過する平面を定義する写像

2変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定めるベクトルが、線型独立な非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}と表されるものとします。この写像\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{equation*}\left\{ s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、これは原点を通過し方向ベクトルが\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の平面です。

方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を列ベクトルとみなした上で行列\begin{equation*}\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\begin{pmatrix}
v_{1} & w_{1} \\
\vdots & \vdots \\
v_{n} & w_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義した場合、\(\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \)から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定めるベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) &=&\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
v_{1} & w_{1} \\
\vdots & \vdots \\
v_{n} & w_{n}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
v_{1}s+w_{1}t \\
\vdots \\
v_{n}s+w_{n}t\end{array}\right) \\
&=&s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{eqnarray*}となります。したがって、任意の\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right) =\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }\left(
\begin{array}{c}
s \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}_{\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) }
\end{equation*}を得ます。以上より、原点を通過する平面を定義する写像\(\boldsymbol{f}\)は線形写像であることが明らかになりました。

線形写像の例：斉次連立1次方程式の係数行列から定義される写像

すべての定数項が\(0\)であるような変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を斉次連立1次方程式と呼びます。その係数行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、斉次連立1次方程式を、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}と表現することもできます。

演習問題