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線形写像

実ベクトル空間の間の線形写像(線形変換・1次変換)

目次

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実ベクトル空間における線形写像

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在するベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を1つずつ定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が以下の2つの条件を満たす場合には、そのような写像\(f\)を線形写像(linear mapping)や1次写像などと呼びます。

写像\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)から2つのベクトル\(x,y\)を任意に選んだ上で、それらのベクトル和\(x+y\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(f\left( x+y\right) \)が得られます。このベクトルが、\(f\)が\(x\)と\(y\)に対してそれぞれ定めるベクトル\(f\left( x\right) ,f\left(y\right) \)のベクトル和と必ず一致する場合、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は加法性(additivity)を満たすと言います。つまり、加法性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトル和の像はそれぞれのベクトルの像のベクトル和と一致するということです。

写像\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)からベクトル\(x\)を任意に選んだ上で、そのスカラー倍\(kx\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(f\left( kx\right) \)が得られます。このベクトルが、\(f\)が\(x\)に対してそれぞれ定めるベクトル\(f\left( x\right) \)のスカラー\(k\)倍と必ず一致する場合、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は斉次性(homogeneity)を満たすと言います。つまり、斉次性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトルのスカラー倍の像はベクトルの像のスカラー倍と一致するということです。

改めて整理すると、写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。これらの性質を総称して線型性(linearity)と呼ぶ場合もあります。

例(線形写像であるような1変数の実数値関数)
1変数の実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が線形写像であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

例(線形写像であるような1変数のベクトル値関数)
1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が線形写像であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x+y\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x+y\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( y\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( y\right)
\end{array}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( kx\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( kx\right)
\end{array}\right) =k\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

例(線型汎関数)
多変数の実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が線形写像であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}: \\
&&\quad \quad \quad f\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) =f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +f\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} : \\
&&\quad \quad \quad f\left( kx_{1},\cdots ,kx_{n}\right) =kf\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。この例のように、終集合が\(1\)次元の実ベクトル空間\(\mathbb{R} \)であるような線形写像を線型汎関数(linear functional)と呼ぶ場合もあります。
例(線形写像であるような多変数のベクトル値関数)
多変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が線形写像であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( L_{1}\right) \ \forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}: \\
&&\quad \quad \quad \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{array}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}: \\
&&\quad \quad \quad \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( kx_{1},\cdots ,kx_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( kx_{1},\cdots ,kx_{n}\right)
\end{array}\right) =k\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
例(線形変換)
定義域と終集合が一致する線形写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}については、これを特に線形変換(linear transformation)や線形作用素(linear operator)または1次変換などと呼びます。

 

線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素であるゼロベクトルを\(f\)に入力すると、\(f\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のゼロベクトルが得られます。つまり、\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はゼロベクトルをゼロベクトルへ写すということです。

命題(線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル)
線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像は、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}である。

証明

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対偶より、写像\(f\)によるゼロベクトルの像\(f\left( 0\right) \)がゼロベクトルではない場合、\(f\)は線形写像ではありません。

例(線形写像ではない写像)
写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
y+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)によるゼロベクトルの像は、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}であり、これはゼロベクトルではないため、先の命題より\(f\)は線形写像ではありません。

 

線形写像によるベクトル逆元の逆像はベクトル逆元

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)からベクトル\(x\)を任意に選んだ上で、そのベクトル加法逆元\(-x\)を\(f\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(f\left( -x\right) \)が得られますが、これは\(f\)が\(x\)に対して定めるベクトル\(f\left( x\right) \)の加法逆元と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトル逆元をベクトル逆元へ写すということです。

命題(線形写像によるベクトル逆元の逆像はベクトル逆元)
線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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対偶より、写像\(f\)による何らかのベクトル\(x\)の加法逆元の像\(f\left( -x\right) \)が\(-f\left( x\right) \)と一致しない場合、\(f\)は線形写像ではありません。

例(線形写像ではない写像)
写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert y\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( -1,-1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left\vert -1\right\vert \\
\left\vert -1\right\vert
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
-f\left( 1,1\right) &=&-\left(
\begin{array}{c}
\left\vert 1\right\vert \\
\left\vert 1\right\vert
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f\left( -1,-1\right) \not=-f\left( 1,1\right)
\end{equation*}であり、したがって先の命題より\(f\)は線形写像ではありません。

 

線形写像による線型結合の像は線型結合

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)から2つのベクトル\(x_{1},x_{2}\)を任意に選んだ上で、これらの線型結合\(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(f\left(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) \)が得られますが、このベクトルは、\(f\)が\(x_{1}\)と\(x_{2}\)に対してそれぞれ定めるベクトルの線型結合である\(k_{1}f\left( x_{1}\right) +k_{2}f\left( x_{2}\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) =k_{1}f\left( x_{1}\right)
+k_{2}f\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトルの線型結合を線型結合へ写すということです。

逆の議論も成立するため、以上の性質によって線形写像の定義とすることもできます。線形写像は任意の2つのベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

命題(線形写像による線型結合の像は線型結合)
写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) =k_{1}f\left( x_{1}\right)
+k_{2}f\left( x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が線形写像であるための必要十分条件である。
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線形写像を以下のように定義することもできます。線形写像は任意の有限個のベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

命題(線形写像による線型結合の像は線型結合)
写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} ,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( k_{1}x_{1}+\cdots +k_{m}x_{m}\right) =k_{1}f\left( x_{1}\right)
+\cdots +k_{m}f\left( x_{m}\right)
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が線形写像であるための必要十分条件である。
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線形写像の例:ゼロ写像

実ベクトル空間はゼロベクトルを要素として持つため、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を像として定める写像\(f:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が定義可能です。これをゼロ写像(zero mapping)と呼びます。

ゼロ写像は線形写像です。

命題(ゼロ写像は線形写像)
写像\(f:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は線形写像である。
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線形写像の例:恒等写像

写像の定義域と終集合が等しい場合には、入力したベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、それと同じベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を返す写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が定義可能です。これを恒等写像(identity mapping)と呼びます。

恒等写像は線形写像です。

命題(恒等写像は線形写像)
写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は線形写像である。
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線形写像の例:行列から定義される線形写像

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(n\)次元の列ベクトル\(x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選べば、\(A\)の列の個数と\(x\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため、両者の行列積\begin{equation*}Ax\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}
Ax &=&\begin{pmatrix}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( x,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( x,1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{行列の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\left( a_{11},\cdots ,a_{1n}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
\vdots \\
\left( a_{m1},\cdots ,a_{mn}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。このような事情を踏まえると、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{A}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。

例(行列から定義される線形写像)
以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{A}\left( x\right) &=&Ax \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( 1,2,-1\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
\left( 1,0,3\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+2x_{2}-x_{3} \\
x_{1}+3x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
f_{A}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。

行列から先のように定義される写像は線形写像になることが保証されます。

命題(行列から定義される線形写像)
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}を定める写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すれば、これは線形写像になる。
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演習問題

問題(線形写像であるような2変数関数)
2変数の実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x-y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が線形写像であることを示してください。
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問題(線形写像であるような1変数関数)
1変数の実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が線形写像ではないことを示してください。
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問題(射影写像)
3次元平面上の点\(X\)の位置ベクトルが\(\left( x,y,z\right) \)であるとき、その点\(X\)の\(xy\)平面への射影に相当する位置ベクトルは\(\left( x,y,0\right) \)です。このような事情を踏まえた上で、それぞれのベクトル\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( x,y,0\right)
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。この写像\(f\)が線形写像であることを示してください。
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