回転変換行列

平面における回転変換

実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の行列\begin{equation*}M\left( \theta \right) =\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義します。その上で、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{M\left( \theta \right) }\left( \boldsymbol{x}\right) &=&M\left( \theta
\right) \boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\cos \left( \theta \right) -x_{2}\sin \left( \theta \right) \\
x_{1}\sin \left( \theta \right) +x_{2}\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{M\left( \theta \right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定義します。行列から定義される写像は線形写像であるため\(f_{M\left( \theta \right) }\)は線形写像です。

平面上の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、これを円座標（極座標）に変換すると、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \phi \right) \\
r\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}になるものとします。この点を先の線形写像\(f_{M\left( \theta \right) }\)へ入力すると、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{M\left( \theta \right) }\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) &=&M\left( \theta \right) \left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \phi \right) \\
r\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \phi \right) \\
r\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r\left[ \cos \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) -\sin \left(
\theta \right) \sin \left( \phi \right) \right] \\
r\left[ \cos \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right) +\cos \left(
\phi \right) \sin \left( \theta \right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \phi +\theta \right) \\
r\sin \left( \phi +\theta \right)
\end{array}\right) \quad \because \text{加法定理}
\end{eqnarray*}が出力されます。変換の前後の2つの点\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \phi \right) \\
r\sin \left( \phi \right)
\end{array}\right) \rightarrow \left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \phi +\theta \right) \\
r\sin \left( \phi +\theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を比較すると明らかであるように、この線形写像\(f_{M\left( \theta \right) }\)は入力した点を原点を中心に\(\theta \)だけ回転させます。ただし、\(\theta >0\)の場合には反時計回りの回転であり、\(\theta <0\)の場合には時計回りの回転です。

線形写像\(f_{M\left( \theta \right) }\)が定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める像は、\begin{eqnarray*}f_{M\left( \theta \right) }\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
f_{M\left( \theta \right) }\left( \boldsymbol{e}_{2}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \theta \right) \\
\cos \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。

空間におけるx軸を回転軸とする回転変換

実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の行列\begin{equation*}M\left( \theta ,x\right) =\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
0 & \sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{3,3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義します。その上で、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{M\left( \theta ,x\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) &=&M\left( \theta
,x\right) \boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
0 & \sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\cos \left( \theta \right) -x_{3}\sin \left( \theta \right) \\
x_{3}\cos \left( \theta \right) +x_{2}\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{M\left( \theta ,x\right) }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。行列から定義される写像は線形写像であるため\(f_{M\left( \theta ,x\right) }\)は線形写像です。

空間上の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、\(yz\)平面上において原点を中心に点\(\left( x_{2},x_{3}\right) \)を反時計まわりに\(\theta \)だけ回転させることにより得られる点の座標は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{2}\cos \left( \theta \right) -x_{3}\sin \left( \theta \right) \\
x_{3}\cos \left( \theta \right) +x_{2}\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、これは列ベクトル\(f_{M\left( \theta ,x\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) \)の第2列目と第3列目と一致します。したがって、先の線形写像\(f_{M\left( \theta ,x\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) \)は入力した点\(\boldsymbol{x}\)の\(x\)座標を固定したまま、\(yz\)平面上において原点を中心に\(\theta \)だけ回転させる変換です。言い換えると、\(x\)軸を回転軸として\(\theta \)だけ回転させる変換です。ただし、\(\theta >0\)の場合には反時計回りの回転であり、\(\theta <0\)の場合には時計回りの回転です（右手系）。

空間におけるy軸を回転軸とする回転変換

実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の行列\begin{equation*}M\left( \theta ,y\right) =\begin{pmatrix}
0 & \cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
0 & 1 & 0 \\
0 & \sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\in M_{3,3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義します。その上で、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{M\left( \theta ,y\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) &=&M\left( \theta
,y\right) \boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & 0 & -\sin \left( \theta \right) \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \left( \theta \right) & 0 & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\cos \left( \theta \right) -x_{3}\sin \left( \theta \right) \\
x_{2} \\
x_{3}\cos \left( \theta \right) +x_{1}\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{M\left( \theta ,y\right) }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。行列から定義される写像は線形写像であるため\(f_{M\left( \theta ,y\right) }\)は線形写像です。

空間上の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、\(xz\)平面上において原点を中心に点\(\left( x_{1},x_{3}\right) \)を反時計まわりに\(\theta \)だけ回転させることにより得られる点の座標は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\cos \left( \theta \right) -x_{3}\sin \left( \theta \right) \\
x_{3}\cos \left( \theta \right) +x_{1}\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、これは列ベクトル\(f_{M\left( \theta ,y\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) \)の第1列目と第3列目と一致します。したがって、先の線形写像\(f_{M\left( \theta ,y\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) \)は入力した点\(\boldsymbol{x}\)の\(y\)座標を固定したまま、\(xz\)平面上において原点を中心に\(\theta \)だけ回転させる変換です。言い換えると、\(y\)軸を回転軸として\(\theta \)だけ回転させる変換です。ただし、\(\theta >0\)の場合には反時計回りの回転であり、\(\theta <0\)の場合には時計回りの回転です（右手系）。

空間におけるz軸を回転軸とする回転変換

実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の行列\begin{equation*}M\left( \theta ,z\right) =\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) & 0 \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right) & 0 \\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}\in M_{3,3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義します。その上で、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{eqnarray*}f_{M\left( \theta ,z\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) &=&M\left( \theta
,z\right) \boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) & 0 \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right) & 0 \\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\cos \left( \theta \right) -x_{2}\sin \left( \theta \right) \\
x_{2}\cos \left( \theta \right) +x_{1}\sin \left( \theta \right) \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{M\left( \theta ,z\right) }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。行列から定義される写像は線形写像であるため\(f_{M\left( \theta ,z\right) }\)は線形写像です。

空間上の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、\(xy\)平面上において原点を中心に点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を反時計まわりに\(\theta \)だけ回転させることにより得られる点の座標は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}\cos \left( \theta \right) -x_{2}\sin \left( \theta \right) \\
x_{2}\cos \left( \theta \right) +x_{1}\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、これは列ベクトル\(f_{M\left( \theta ,z\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) \)の第1列目と第2列目と一致します。したがって、先の線形写像\(f_{M\left( \theta ,z\right) }\left( \boldsymbol{x}\right) \)は入力した点\(\boldsymbol{x}\)の\(z\)座標を固定したまま、\(xy\)平面上において原点を中心に\(\theta \)だけ回転させる変換です。言い換えると、\(z\)軸を回転軸として\(\theta \)だけ回転させる変換です。ただし、\(\theta >0\)の場合には反時計回りの回転であり、\(\theta <0\)の場合には時計回りの回転です（右手系）。

演習問題