線形写像の転置（転置写像）

線形写像に沿った線形汎関数の引き戻し

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。特に、多変数の実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が線形写像である場合、これを線形汎関数と呼びます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を定義域とし、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)を終集合とする線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。特に、線形汎関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)をすべて集めてできる集合\begin{equation*}\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} \right) =\left\{ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}を双対ベクトル空間と呼びます。

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。始集合が\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような線形汎関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選べば、これらの合成写像\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の実数\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\\
&=&g\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を像として定めます。線形写像どうしの合成関数は線形写像であるため\(f\circ g\)もまた線形写像であること、すなわち線形汎関数であることに注意してください。この線形汎関数\(g\circ f\)を\(g\)の\(f\)に沿った引き戻し（pullback of \(g\) with respect to \(f\)）と呼び、\begin{equation*}f^{t}\left( g\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{t}\left( g\right) =g\circ f
\end{equation*}です。

引き戻しと転置行列の関係

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

写像\(g:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して定めるベクトルが、ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{m}\)を用いて、\begin{equation*}g\left( x\right) =v\cdot x
\end{equation*}という形で表されることは、\(g\)が線形汎関数であるための必要十分です。しかも、このベクトル\(v\)は\(g\)の標準ベクトルと必ず一致します。つまり、\begin{equation*}v=\left( g\left( e_{1}\right) ,\cdots ,g\left( e_{m}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{m}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の標準基底です。

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列が\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}であるということです。線形汎関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、\(g\)の標準ベクトルが\(v\in \mathbb{R} ^{m}\)であるものとします。つまり、\(g\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める実数が、\begin{equation*}g\left( x\right) =v\cdot x
\end{equation*}であるということです。\(f\)に沿った\(g\)の引き戻しは線形汎関数\begin{equation*}f^{t}\left( g\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}ですが、これがそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める実数は、先の行列\(A\)の転置行列\(A^{t}\)とベクトル\(v\)を用いて、\begin{equation*}f^{t}\left( g\right) \left( x\right) =\left( A^{t}v\right) \cdot x
\end{equation*}という形で表されます。つまり、\(A^{t}v\)が\(f^{t}\left(g\right) \)の標準ベクトルであるということです。

線形写像の転置

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、線形汎関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\(f\)に沿った\(g\)の引き戻しに相当する線形汎関数\(f^{t}\left( g\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定まることが明らかになりました。つまり、\begin{equation*}\forall g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{m},\mathbb{R} \right) :f^{t}\left( g\right) \in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

このような事情を踏まえると、線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの線形汎関数\(g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{m},\mathbb{R} \right) \)に対して、\(g\)の\(f\)に沿った引き戻しに相当する線形汎関数\(f^{t}\left(g\right) \in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} \right) \)を像として定める写像\begin{equation*}f^{t}:\hom \left( \mathbb{R} ^{m},\mathbb{R} \right) \rightarrow \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の転置（transpose）や転置写像（transpose mapping）などと呼びます。

線形汎関数とその標準ベクトルは1対1で対応するため、線形汎関数とベクトルを同一視できます。つまり、線形汎関数\(g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{m},\mathbb{R} \right) \)を指定することと、その標準ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{m}\)を指定することは実質的に等しいため、双対ベクトル空間\(\hom \left( \mathbb{R} ^{m},\mathbb{R} \right) \)と実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)を同一視しても一般性は失われません。同様に、\(\hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} \right) \)と\(\mathbb{R} ^{n}\)を同一視しても一般性は失われません。このような事情を踏まえると、線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の転置を、\begin{equation*}f^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表現しても一般性は失われません。つまり、2つのベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{m}\)および\(w\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f^{t}\left( v\right) =w
\end{equation*}が成り立つこととは、標準ベクトルが\(v\)であるような線形汎関数\(g_{v}\)の\(f\)による引き戻しに相当する線形汎関数\(f^{t}\left( g_{v}\right) \)の標準ベクトルが\(w\)であることを意味します。

以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。

以上の命題より、線形写像の転置は、行列の転置と実質的に等しいことが明らかになりました。したがって、行列の転置に関して成り立つ性質はそのまま線形写像の転置に関する性質として引き継がれます。以下では代表的な性質を提示します。

転置写像は線形写像

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列が\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)である場合、転置写像\(f^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(v\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して定める像は、\begin{equation*}f^{t}\left( v\right) =A^{t}v
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。以上の事実は、\(f^{t}\)は標準行列が\(A^{t}\)であるような線形写像であることを意味します。

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の転置行列が\(f^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。上の命題より\(f^{t}\)は線形写像であるため、\(f^{t}\)は加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v,w\in \mathbb{R} ^{m}:f^{t}\left( v+w\right) =f^{t}\left( v\right) +f^{t}\left( w\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall v\in \mathbb{R} ^{m}:f^{t}\left( kv\right) =kf^{t}\left( v\right)
\end{eqnarray*}をともに満たしますが、これは具体的に何を意味するのでしょうか。

まずは\(f^{t}\)が加法性を満たすことの意味を解説します。線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の転置写像\(f^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。2つのベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。これは、\(v\)を標準ベクトルとする線形汎関数\(g_{v}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)と\(w\)を標準ベクトルとする線形汎関数\(g_{w}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)を指定することと同義です。つまり、\begin{eqnarray*}g_{v}\left( x\right) &=&v\cdot x \\
g_{w}\left( x\right) &=&w\cdot x
\end{eqnarray*}です。これらの\(f\)による引き戻しは、\begin{eqnarray*}f^{t}\left( g_{v}\right) &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
f^{t}\left( g_{w}\right) &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}です。一方、\(v+w\)を標準ベクトルとする線形汎関数\(g_{v+w}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}g_{v+w}\left( x\right) =\left( v+w\right) \cdot x
\end{equation*}であり、\(f\)による引き戻しは、\begin{equation*}f^{t}\left( g_{v+w}\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。このとき、\(f^{t}\)の加法性より、\begin{equation*}f^{t}\left( g_{v+w}\right) =f^{t}\left( g_{v}\right) +f^{t}\left(
g_{w}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、線形写像\(f\)による2つの線形汎関数の和の引き戻し（左辺）は、\(f\)による個々の線形汎関数の引き戻しの和（右辺）と一致するということです。

続いて\(f^{t}\)が斉次性を満たすことの意味を解説します。線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の転置写像\(f^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。スカラー\(k\in \mathbb{R} \)とベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。これは、\(v\)を標準ベクトルとする線形汎関数\(g_{v}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)を指定することと同義です。つまり、\begin{equation*}g_{v}\left( x\right) =v\cdot x
\end{equation*}です。\(f\)による引き戻しは、\begin{equation*}f^{t}\left( g_{v}\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。一方、\(kv\)を標準ベクトルとする線形汎関数\(g_{kv}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}g_{kv}\left( x\right) =\left( kv\right) \cdot x
\end{equation*}であり、\(f\)による引き戻しは、\begin{equation*}f^{t}\left( g_{kv}\right) :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。このとき、\(f^{t}\)の斉次性より、\begin{equation*}f^{t}\left( g_{kv}\right) =kf^{t}\left( g_{v}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、線形写像\(f\)による線形汎関数のスカラー倍の引き戻し（左辺）は、\(f\)による線形汎関数の引き戻しのスカラー倍（右辺）と一致するということです。

転置写像の転置写像

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、その転置写像\(f^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)をとることができますが、\(f^{t}\)もまた線形写像であるため、さらにその転置写像\(\left(f^{t}\right) ^{t}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)をとることができます。これはもとの線形写像\(f\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( f^{t}\right) ^{t}=f
\end{equation*}が成り立つということです。転置写像の転置写像はもとの線形写像と一致します。

線形写像の和の転置

定義域と終集合を共有する2つの線形写像\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それらの和\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}もまた線形写像になるため、その転置行列\begin{equation*}
\left( f+g\right) ^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}をとることができます。これは、もとの線形写像\(f,g\)の転置写像\begin{eqnarray*}f^{t} &:&\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n} \\
g^{t} &:&\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}の和\begin{equation*}
f^{t}+g^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と一致することが保証されます。線形写像の和の転置は線形写像の転置の和と一致するということです。

線形写像のスカラー倍の転置

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、スカラー倍\begin{equation*}kf:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}もまた線形写像になるため、その転置行列\begin{equation*}
\left( kf\right) ^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}をとることができます。これは、もとの線形写像\(f\)の転置写像\begin{equation*}f^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}のスカラー倍\begin{equation*}
kf^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と一致することが保証されます。線形写像のスカラー倍の転置は線形写像の転置のスカラー倍と一致するということです。

線形写像の合成の転置

線形写像\(f\)の終集合の次元と線形写像\(g\)の定義域の次元が一致する場合には、つまり、\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{p} \\
g &:&\mathbb{R} ^{p}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}である場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能ですが、線形写像どうしの合成写像は線形写像であるため\(g\circ f\)は線形写像であり、したがって、その転置写像\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}をとることができます。同時に、\(f,g\)の転置は、\begin{eqnarray*}f^{t} &:&\mathbb{R} ^{p}\rightarrow \mathbb{R} ^{n} \\
g^{t} &:&\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{p}
\end{eqnarray*}であるため、これらの合成写像\begin{equation*}
f^{t}\circ g^{t}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能ですが、これは\(\left( g\circ f\right) ^{t}\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) ^{t}=f^{t}\circ g^{t}
\end{equation*}が成り立つということです。線形写像どうしの合成の転置は転置の合成と一致します。

内積を用いた転置写像の定義

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの線形汎関数\(g\in \hom \left( \mathbb{R} ^{m},\mathbb{R} \right) \)に対して、\(g\)の\(f\)に沿った引き戻しに相当する線形汎関数\(f^{t}\left(g\right) \in \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} \right) \)を像として定める写像\begin{equation*}f^{t}:\hom \left( \mathbb{R} ^{m},\mathbb{R} \right) \rightarrow \hom \left( \mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} \right)
\end{equation*}として転置写像を定義しましたが、内積の概念を用いて転置写像を以下のように定義することもできます。